數學上著名的「ABC猜想」

2020-12-13 天極網資訊

    科普中國——科學原理一點通

 

    著名的「ABC猜想」究竟是什麼鬼？

 

    提到「ABC」，你會想到什麼？沒錯，它們是國人學習英語的入門級字母；現在，大家也會用它來戲稱出生在美國的中國人（American Born Chinese）；但是，如果你立即想到的是中國農業銀行（Agricultural Bank of China，簡稱ABC），我只能問候您：農行的員工，您吃了沒？

    今天我們要說的是，數學上著名的「ABC猜想」，保證你看了不是似曾相識的輕鬆，而是不知所云的頭疼。那麼，什麼是「ABC猜想」呢？

    簡言之，這是一個有關素數間關係的問題。

    素數，大家都很熟悉，除了1和它本身以外沒有別的因數。我們知道，很多正整數可以分解為其他數的乘積，比如9=3×3，6=2×3等等，這些是合數。但是像11、13、17、19等這些數就做不到上述分解，它們就是素數。若是說兩個數互素，指的就是兩個整數在素數分解中沒有公共的素數因子，比如6=2×3和55=5×11，則稱6和55互素。

    對於數論來說，素數是核心概念，「梅森素數」、「孿生素數」等都有著各自的性質和應用，當然這是後話，繼續回到「ABC猜想」上來。定義了合數、素數，相信大家對「數學中所有大於1的正整數都可以分解為素數的乘積」這一說法，應該沒有異議：合數自然能分解，素數可以看作自己的分解(1乘以它本身)。

    這裡還需要弄明白一個概念——無平方因子數，這對於一些人來說可能比較陌生。所謂的無平方因子數，就是一個不能被任何整數的平方(除了1以外)整除的數。舉個例子，15和19就是無平方因子數，而16和45卻不是，它們分別能被16(即42)和9(即32)整除。

    當一個數n不是無平方因子時，我們作如下處理，提取其「無平方因子」——rad(n)，即用n的素數因子相乘得到最大無平方因子數，比如rad(45)=3×5=15。

    

    至此，準備工作結束，接下來進入正題：

    既然名曰「ABC猜想」，那麼肯定有3個整數A、B、C，先考慮它們三者的乘積，記作ABC，再提取個乘積的無平方因子部分rad(ABC)，此時我們選取A、B、C中較大的一個數值和rad(ABC)比較大小。舉個例子，假如A=16，B=17，因此C=33，rad(ABC)=2244，2244遠遠大於33，再找一些其他的數字來，你會發現出現了相同的結果，這是規律嗎？或者就是定理，這麼想你可就錯了，反例不僅存在而且有無窮多個，比如令A=3，B=125，C=128，rad(ABC)=30<125<128，這時的結果和前例恰恰相反。

    看到這裡，是不是有點不知所云？研究這樣一個正反都成立的式子，數學家這是想做什麼？不要著急，「ABC猜想」現身：數學家們猜測，如果把rad(ABC)放大一下，用它的一個大於1的r次冪來替換(r只需要大於1，哪怕只大一點點，1.00000...0001都行)，這時，會不會發生點兒什麼變化呢？即使不一定會大於A、B、C三個數字裡面最大的那個，但是會把反例的數目控制為有限多個。

    「ABC」猜想對於數論研究者來說意義重大，但是對我們普通人來說有點難以理解，就像跟一個17世紀的普通人講解牛頓慣性定律一樣。這一猜想是由大衛·麥瑟爾和約瑟夫·厄斯特勒在1985年分別獨立提出的。儘管沒有費馬大定理知名度高，但它有自己的獨特作用，如果「ABC猜想「得到證實，將一舉解決眾多著名的丟番圖問題，這其中就包括「費馬大定理」哦。

    作者：張連敏

    未經許可，不得轉載

（作者：科普中國責任編輯：天極科普君）

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