數學集訓營 | NO.10 對數與對數運算的考點考法

高考考查的內容包括：指數式與對數式的互換,對數的基本運算,換底公式的應用。

考查題型為選擇題、填空題，分值情況為5分。

(1)指數式與對數式的互化是對數運算中的難點,=N與logaN=b的互化規則是「底數不變,左右交換」。這是指在保證指數式與對數式書寫形式不變的前提下遵循:
冪值相等的指數式問題,求解時一般設相等的指數式為同一個常數,利用取對數的方法求解。

(1)對於同底數的對數式,化簡的常用方法是:

①「收」,即逆用對數的運算性質將同底對數的和(差)「收」成積(商)的對數,即把多個對數式轉化為一個對數式;

②「拆」,即正用對數的運算性質將對數式「拆」成較小真數的對數的和(差)。(2)對常用對數的化簡要創設情境,要充分利用「lg5+lg2=1」來解題。(3)對含有多重對數符號的對數,應從內向外逐層化簡。(4)當真數是形如「√±√」的式子時,常用方法是「先平方後開方」或「取倒數」。

解題通法

(1)正用公式:將式中積、商、冪、方根的對數運用對數的運算性質分別化為對數的和、差、積、商,然後化簡求值;
(2)逆用公式:將式中對數的和、差、積、商運用對數的運算性質將它們分別化為積、商、冪、方根的對數,然後化簡求值。對數在實際問題中的應用十分廣泛,因而與對數相關的應用題也是高考的熱點,解決這類問題的關鍵在於利用對數的有關知識分析問題。

解題通法

對數運算在實際中的應用

對數運算在實際考察中應用廣泛,其應用問題大致可分為兩類:一類是已知對數應用模型(公式),在此基礎上進行一些實際求值,計算時要注意利用「指、對數互化」;另一類是先建立指數函數應用模型,再進行指數求值,此時往往將等式兩邊取對數進行運算。

說明☆

由於對數運算是一個降級運算,它能將平方開方轉化為乘法。乘除轉化為加減運算。因此一般地,求指數的運算或乘除數字特別大時會選擇對數計算。

化簡對數式主要有如下兩條途徑:

一是「正向」,利用積、商、冪、方根的對數運算法則,把各對數化成更為基本的一系列對數的代數和,由於某些對數能相互抵消,使所給對數式得到化簡;二是「逆向」,運用對數運算法則,把同底的各對數合併成一個對數,由於真數部分的約分化簡,使所給對數式得到化簡。

上述兩條途徑,簡單地說,一是「分」,二是「合」。

解題通法

對數的化簡求值一般是正用或逆用公式,對真數進行處理,選哪種策略化簡,取決於問題的實際情況,一般本著便於真數化簡的原則進行。①「收」,將同底的兩對數的和(差)收成積(商)的對數;②「拆」,將積(商)的對數拆成同底的兩對數的和(差)。

易錯防範

對數本身的限定條件為底數大於0且不等於1,做題時常因忽略此條件而出錯,要特別注意底數中含有字母的情況。對數的運算性質是解決對數運算、化簡及證明的重要依據,但對數式中的限定條件及運算性質較多,往往由於對其掌握不準確而導致錯誤。要把握住對數運算性質的本質特徵,防止應用時出現錯誤,初學者常犯的錯誤:②loga(MN②loga(aM②loga(aN②loga(在將對數方程化為代數方程的過程中,未知數的範圍擴大或縮小就容易產生增根。故解對數方程必須把所求的解代入原方程進行檢驗,否則易產生增根,造成解題錯誤。也可以像本題的求解過程這樣,在限制條件下去求解。在求解含有對數式的問題時,一定要注意真數的取值範圍,保證真數大於零。求解過程不等價時,在求出答案後需進行檢驗。

晚安好夢~