初二數學,三角形中動點的最值問題怎麼求?這樣用勾股定理很簡單

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利用勾股定理可以求解等邊三角形中動點的最值問題，這是初二數學的重要題型，本文就例題詳細解析這類題型的解題思路，希望能給初二學生的數學學習帶來幫助。

例題

如圖，正三角形ABC的邊長為2，M是AB邊上的中點，P是BC邊上任意一點，PA+PM的最大值和最小值分別記作S和T，求S^2-T^2的值。

解題過程：

作A點關於直線BC的對稱點D，連接PD，BD

根據題目中的條件：A、D兩點關於直線BC對稱，則△ABP和△DBP關於直線BC成軸對稱；

根據題目中的條件：A、D兩點關於直線BC對稱，則△ABP和△DBP關於直線BC成軸對稱；

根據軸對稱的性質和結論：成軸對稱的圖形全等，△ABP和△DBP關於直線BC成軸對稱，則△ABP≌△DBP；

根據全等三角形的性質和結論：全等三角形的對應邊相等，對應角相等，△ABP≌△DBP，則PA=PD，BA=BD，∠ABP=∠DBP；

根據結論：PA=PD，則PA+PM=PD+PM，所以，當P、A、M三點在一條直線上，取到最小值；

過點D作DE⊥AB，交AB的延長線於點E

點擊

根據全等三角形的性質和題目中的條件：等邊三角形的三邊相等，三個角都為60°，正三角形ABC的邊長為2，則AB=BC=AC=2，∠ABC=∠ACB=60°；

根據結論：∠ABC=60°，∠ABC=∠DBP，則∠DBP=60°；

根據題目中的條件和結論：∠ABC+∠DBP+∠DBE=180°，∠ABC=∠DBP=60°，則∠DBE=60°；

根據題目中的條件：DE⊥AB，則∠E=90°；

根據題目中的條件和結論：∠DBE+∠E+∠BDE=180°，∠DBE=60°，∠E=90°，則∠BDE=30°；

根據直角三角形的性質和結論：直角三角形中，30°角直角邊所對的直角邊為斜邊的一半，∠BDE=30°，∠E=90°，則BE=BD/2；

根據結論：BA=BD，AB=2，則BD=2；

根據結論：BD=2，BE=BD/2，則BE=1；

根據勾股定理和結論：∠E=90°，BD^2=BE^2+DE^2，BD=2，BE=1，則DE=√3；

根據題目中的條件和結論：M是AB邊上的中點，AB=2，則BM=AB/2=1；

根據結論：BM=1，BE=1，ME=BM+BE，則ME=2；

根據勾股定理和結論：∠E=90°，ME=2，DE=√3，MD^2=ME^2+DE^2，則MD=√7；

所以，PA+PM的最小值T=√7。

當P點與C點重合時，PA、PD均取到最大值，則PA+PM取到最大值S

根據等邊三角形的性質和題目中的條件：等邊三角形底邊上的中線是底邊上的高，也是頂角的平分線，△ABC為等邊三角形，M是AB邊上的中點，則CM⊥AB，∠BCM=∠ACB/2；

根據結論：∠BCM=∠ACB/2，∠ACB=60°，則∠BCM=30°；

根據直角三角形的性質和結論：直角三角形中，30°角直角邊所對的直角邊為斜邊的一半，∠BCM=30°，CM⊥AB，則BM=BC/2；

根據結論：BM=BC/2，BC=2，則BM=1；

根據勾股定理和結論：CM⊥AB，BC=2，BM=1，BC^2=BM^2+CM^2，則CM=√3；

根據全等三角形的性質和結論：全等三角形的對應邊相等，△ABP≌△DBP，則AC=DC；

根據結論：AC=DC，AC=2，則DC=2；

根據結論：DC=2，CM=√3，則DC+CM=2+√3；

所以，PA+PM的最大值S=2+√3。

根據結論：T=√7，S=2+√3，則S^2-T^2=7+4√3-7=4√3。

結語

解決本題的關鍵是構造直角三角形和軸對稱圖形，利用輔助線構造軸對稱圖形，求得PA與PM取到最大和最小值時的P點位置，再根據勾股定理求解相應的最值。