頻域自適應濾波理論分析獲進展

2021-12-27 聲振之家

來源：中國科學院聲學研究所，作者：中科院噪聲與振動重點實驗室 楊飛然。

自適應濾波是信號處理學科的一個重要分支，它在聲頻工程、通信和雷達等很多領域獲得廣泛的應用。在聲學系統辨識和建模（如主動噪聲控制、回聲抵消、嘯叫抑制和房間均衡等）應用中，頻域自適應濾波算法因具有較低的複雜度和較好的收斂性能已成為標準解決方案。在過去的四十年裡，科研人員針對頻域自適應算法做了很多理論分析工作。但是，已有的理論分析大多針對特定類型輸入信號且採用了大量的強假設，並缺乏對一些基本問題的回答。

近年來，中國科學院聲學研究所的楊飛然、楊軍研究員與德國波鴻魯爾大學通信聲學研究所的科研人員合作，提出了一種通用的統計分析方法，實現了對一大類頻域自適應濾波算法的精確理論分析。該理論模型解決了一些長期懸而未決的問題，糾正了現有的一些錯誤觀點，加深了科研人員對這一類自適應算法收斂行為的理解。

在這項研究中，科研人員們對頻域自適應算法和分塊頻域自適應算法的收斂性能進行了分析，具體如下。

頻域自適應濾波算法收斂性能分析：科研人員用一種新統計分析方法，提供了四種不同版本頻域自適應算法的瞬態和穩態收斂性能閉式解，並得到了保證算法穩定的步長上界。該研究適用於具有任意概率密度函數的輸入信號，克服了已有研究只對高斯或白噪聲信號有效的缺陷；該研究在穩定性步長範圍內獲得了目前最為準確的理論解，克服了過去分析只對小步長有效的局限。該研究成果2019年1月在線發表於 IEEE Transactions on Signal Processing 。

欠定頻域自適應濾波算法收斂性能分析：當自適應濾波器階數小於實際系統的階數時，無約束的頻域算法收斂到無約束的維納解，而約束的版本則不能，這使得無約束算法比約束算法具有更低的最小MSE (Mean-Square Error)。科研人員也證實均值最優並不一定帶來MSE最優，這糾正了先前一些研究成果中的錯誤結論，並強調了MSD (Mean-Square Deviation) 和MSE兩個技術指標不一定正相關。該研究成果先後2019年6月和10月在線發表於 IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Regular Papers 和 Signal Processing 。

分塊頻域自適應濾波算法收斂性能分析：該研究在充分建模場景下建立了一類分塊頻域自適應算法的嚴格理論模型。研究表明約束分塊頻域自適應算法可以在均值意義上收斂到真實的系統脈衝響應，無約束的版本則總是收斂到有偏解，研究人員給出了該解的表達式，並指出約束和無約束的分塊頻域算法都可以收斂到維納解。該結論事實上否定了經典專著 (S. Haykin的 Adaptive Filter Theory 和A. Sayed的 Fundamentals of Adaptive Filtering) 認為無約束頻域算法不能收斂到維納解的觀點。該研究成果2021年8月在線發表於 IEEE Transactions on Signal Processing 。

圖1 步長歸一化的標準頻域自適應算法在欠定建模時的穩態MSD和EMSE（Excess Mean-Square Error）。均勻分布的自回歸（Autoregressive，AR）過程作為輸入。約束的頻域算法總是比無約束的版本具有更低的MSD。當步長小於某個值時，無約束頻域算法具有更低的EMSE；但當步長大於該值時，約束版本則具有更低的EMSE（圖/中科院聲學所）

圖2 步長歸一化的分塊頻域自適應算法的穩態均值權係數。均勻分布的AR過程作為輸入。上圖表明約束的分塊頻域自適應算法能均值收斂到真實的系統脈衝響應；下圖表明無約束的版本則收斂到有偏解（圖/中科院聲學所）

該系列研究得到了中國科學院青年創新促進會和中國科學院聲學研究所青年英才計劃等項目支持。

參考文獻：

[1] F. Yang, G. Enzner, and J. Yang, 「A unified approach to the statistical convergence analysis of frequency-domain adaptive filters,」 IEEE Trans. Signal Process., vol. 67, no. 7, pp. 1785–1796, Apr. 2019.

[2] F. Yang and J. Yang, 「Convergence analysis of deficient-length frequency-domain adaptive filters,」 IEEE Trans. Circuits Syst. I, vol. 66, no. 11, pp. 4242–4255, Nov. 2019.

[3] F. Yang and J. Yang, 「Mean-square performance of the modified frequency-domain block LMS algorithm,」 Signal Process., vol. 163, pp 18–25, Oct. 2019.

[4] F. Yang, G. Enzner, and J. Yang, 「On the convergence behavior of partitioned-block frequency-domain adaptive filters,」 IEEE Trans. Signal Process., vol. 69, 2021.


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