【線性無關與線性相關】要點
重點記住線性相關與線性無關的定義式，其他種種皆可由此推導引申出來。
這節希望大家能理解向量從二三維擴展到n維的思路過程，當對於空間的理解不能再用幾何意義來描述時，代數的表示就擴展了向量的深度與廣度，從而可以滿足工程和經濟模型分析的需要。
從幾何到代數，就是從低維到高維抽象的線性代數方法論。
本節需要大家掌握的要點是：
【向量組的秩】要點
我們說過，如果一個向量組中向量的個數非常多時，要去研究這個龐大的向量組是很困難的。此時，如果有一個向量個數較少的向量組同樣能反映這個大向量組的性質，那麼我們在實際工程計算中就可以大大簡化計算量和工作量了。極大無關組就是屬於向量組中與其等價的無關向量組中向量最少的一個，我們可以通過研究該向量組的極大無關組來研究這個大向量組。
而我們在這節課學的一系列定理和證明，其實就是證明以上的思路是可行的，且還推導得出一個求極大無關組和秩比較簡便的算法。
【n維向量空間】要點
1. 構成向量空間必須滿足：非空集合且對加法與數乘封閉，即該空間內的向量線性組合成的向量仍然存在於這個空間。
看了基的定義，是不是非常眼熟啊？？
對了，就是跟極大無關組相同哦，不過一個是以空間闡述，一個是代數上的闡述。此處，注意把單個向量分量的維度與空間的維度區分開。比如，u=(2,1),v=(4,2)都是2維向量，可是因為他倆線性相關，張成的空間降維了，構成的卻是一維空間哦。
以上基與維數的定義就解答了以下幾個問題：空間的維度是幾維？空間又是由什麼生成的呢？
可以生成空間的基不唯一，而每一組基一旦確定，其餘向量在這組基中的坐標也就唯一確定了。
那麼，既然基不唯一，如果我換一組基，某向量原來在這組基的坐標是不是也就轉換了呢？
基與坐標的含義呢，其實就可以理解為，如果我們在一個空間中找的參照物不同，那麼對應該參照物角度的坐標就會不同的意思。
比如，俺們大西電的觀光塔還是那個三維空間的塔，可是如果我選擇從綜合樓的角度去拍照，和選擇在情人坑的角度拍照，它對應於不同參照的坐標值就發生變化了。可塔還是那個塔，仍然是這個空間裡的一個向量沒有變化，僅僅是我們看待它的角度變了。
有時，工程計算中就會用到這種線性變換，比如太空中的衛星，它相對於地球是一個坐標，而相對於太陽又是另一個坐標，假設要研究這個衛星對地運行和對日運行的軌跡，那麼就有可能要用到坐標變換。
在對第四章主體內容進行講解時，我其實把主體部分分解成了三大塊（如上圖所示）。在上圖中，第一大塊的內容主要從代數角度給大家講解了向量組中極大無關組及其秩的概念，同時，在這部分的內容裡我們進行了大量定理的證明。雖然證明講解很讓大家頭疼，但是我們說了，只要記住其核心意義就可以了，也就是，我們通過代數部分的推理和證明，知道我們可以用矩陣的初等行變換來求解與驗證向量組的相關性。也知道了，我們可以用與原向量組等價且含有最少無關向量的極大無關組來替代原向量組的很多計算，從而簡化了工程建模的工作量。
而第四章的第二塊，就是從代數角度升華到了空間角度，一大堆向量組成代數表示上的向量組，而從空間角度來說，這一大堆向量裡面就可以找到一個極大無關組（在空間中，就稱為基）來張成（生成）一個空間。如果這個空間，還對加法和數乘封閉的話（空間中任意兩個向量相加，以及用任意數k乘以其中一個向量，其結果仍然還屬於這個空間），我們就稱其為向量空間。而張成這個空間的基，就是我們原來的極大無關組，而極大無關組中向量的個數就是這個空間的維數，其實也就是向量組的秩。
（也不知道說清楚了沒有，還是把你們繞得更暈了。。orz。。。）
總之，在前半部分的內容中主要就是講解了第一張圖中的藍色和橙色部分的聯繫，而第四章最重要的內容，就是紅色部分的第三大塊——線性方程組解的結構。
【線性方程組解的結構】要點
我們在第三章的學習中就已經知道了，線性方程組在係數矩陣的秩與增廣矩陣的秩相等且秩還小於變量的個數時（R(A)=R(A，b)<n），方程組會有無窮多的解。
那麼，通過簡單的推理可知，因為對加法和數乘封閉，所以齊次線性方程組（Ax=0）的解空間是向量空間。既然是向量空間，就會有基，在方程組的解空間裡，此時的基叫做基礎解系。
而本部分的重點就是，一定要掌握求得方程組基礎解系的算法！！！
另外，由於對加法和數乘不封閉（任何兩個解的線性組合不屬於其解空間）
，故而非齊次線性方程組（Ax=b）的解空間不是向量空間，其通解只能由其導出組（Ax=0）的基礎解系來導出。
我們說，線性代數的終極目標之一就是求解線性方程組，那麼在本章之前的所有的抽象推理，都是為了說明線性方程組解的結構的。而在課堂上給大家舉的例子也可以看出，我們在本章學習的只是以空間的視角來理解向量(解向量）之間的關係，但落到具體計算方法上，其實我們用到的還是前三章的知識，主體仍然是用初等行變換化行最簡形。
而課程後續的第五章和第六章，雖然是一些新概念的學習，但計算方法還是我們前三章的知識。
初等行變換求解方程組，將會持續貫穿第五章和第六章的計算，請童鞋們務必務必務必，切記切記切記，確定一定以及肯定要掌握該算法！！！！
【向量的內積與正交矩陣】要點
第四章最後一節的內容，可以用上圖的橫軸圖來展示，講的是在空間中向量的度量，向量的長度，長度為1就叫單位向量啦；向量之間的夾角，夾角90°就叫做正交啦，用代數形式表示，就是向量的內積為0啦；正交向量相互垂直就線性無關啦；如果空間的一組基，其中的基向量相互正交且長度都為1就叫做標準（規範）正交基啦；正交矩陣的行向量組和列向量組都是兩兩正交的單位向量啦。
這一小節的內容其實是第五章和第六章內容的前期鋪墊，重點就是記住「正交」與「正交矩陣」的概念。
在之前的討論中，向量的運算只涉及線性運算，它不能描述向量的度量性質，如長度和夾角等。而我們這節課的內容其實學習用內積和夾角的真正目的是理解正交矩陣。
也就是說，當兩個向量內積為0，則這兩個向量正交。而且通過定理可知，只要正交的向量就相互線性無關。那麼，對於線性無關的向量如何轉換為正交向量呢，就通過下面這個方法。
我們說過，如果能把一組線性無關的基向量通過一定的轉換變成兩兩正交的基向量，那麼，在空間理解和實際運算上，就會大大簡化。因此，我們就需要了解什麼叫規範正交基。
最後一個正交矩陣才是我們的重點（請牢記其性質），看過前面的體系介紹就應該知道我們後面會學一個正交變換法化標準二次型，而這個正交矩陣就是到時需要的空間轉換器。
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延伸複習連結：【教學筆記】第四章 向量空間 | 要點總結（1）
【教學筆記】第四章 向量空間 | 要點總結（2）
【教學筆記】第四章 向量空間 | 典型習題解析（1）
【教學筆記】第四章 向量空間 | 典型習題解析（2）
【教學筆記】第四章與第三章已學定理的串聯
【教學筆記】線性相關與線性無關的判別總結