高中數學三角函數公式輕鬆記:三角函數和差化積公式的快速記憶法

三角函數和差化積公式輕鬆記憶

三角函數的和差化積公式也是眾多高中生學習三角函數公式感到有些困難的內容，一則是公式記憶不容易，二是如何運用公式解決具體問題也是一大困難。

這裡重點介紹如何快速有效地記憶和掌握三角函數和差化積公式，並且還要從最基本的兩角和差公式推導出和差化積公式，這樣就知道公式之所由來，有利於加深理解和記憶。最後還是從觀察發現的規律特點出發指導如何直接記憶公式，這樣便於直接運用公式解題。

三角函數和差化積公式

如上圖，是否一看眾多公式就感到頭疼呢？

圖中還有兩個是同角的和差化積公式，這個內容也是必須要掌握的。

當然以上眾多公式中，最關鍵的是正弦和餘弦的和差化積公式。一般而言需要掌握的和差化積公式如下圖：

三角函數和差化積公式

僅僅看公式本身即便是記住了，學習運用也不會很得心應手，因為不知道公式所由來。因為公式所由來本身就是具體解決問題時所需具備的一種思路或說是能力。

因為它本身就是一種分析解決問題的思路，是一種視角，是可以在具體問題解決過程中運用的。

俗話說「思考從發現問題開始」，現在我們看著三角函數和差化積公式，就可以以具體的公式為起點，通過觀察分析，找出如何得到該公式的方式或途徑，也就是這個公式本身就給我們提供了得到這個公式的線索。

下面就讓我們開始進行吧！

正弦的和差化積公式

正弦和差化積公式

提示：開始下面介紹之前，大家需要先熟練掌握兩角和差公式，並且正弦和餘弦的兩角和差公式的口訣記憶如何發現的也需要先掌握。

如果這些還不熟練的，可以先複習鞏固下。

高中數學三角函數公式輕鬆記：正弦餘弦的兩角和差公式「口訣」記

通過觀察我們發現，公式左邊的為正弦的和或者差（分別是兩個不同的角α和β的正弦形式），右邊則是正弦和餘弦組成的一項的2倍。

這一點對我們的提示就是該公式的產生應該與正弦的兩角和差公式有關。

另外我們觀察等式兩邊的角，發現左邊是α和β，但是右邊的角都有除以2這種共同的形式，也就是說α和β都是半角形式出現，而不是如左邊一樣是完整的角的形式。

這一點是否暗示我們如果要想從正弦的和差得到化積的公式，需要把角轉化成半角形式來進行，這就需要對α和β進行半角的轉換工作了。

另外根據等式右邊的正弦餘弦同組相異角的乘積形式，我們可以確定等式左邊的α和β這兩個角一定要轉換成等式右邊

這樣我們就有了思路，即如何從等式左邊的正弦的和差轉換成右邊的積。

我們也可以用同樣的方式推導正弦差化積的公式，大家不妨自己試試。

上面是推導，那我們是否可以直接記住公式呢？

答案是肯定的。

由於α和β是兩個不同的角，所以sinα和sinβ的和差要想轉化成積必須要讓兩者扯上關係，並且最好的方式是兩個角中都轉化成含有對方的角形式表示自己。

由於α和β都是單獨的一個角，所以無法直接用兩角和差公式，那麼就只有從半倍角公式切入了。因為除了兩角和差公式，對於同一個角可以採用半倍角公式。

這樣α和β都可以進行如下轉換：

α=α/2+α/2 ; β=β/2+β/2.

但是由於每個角構成自身結果的形式中也必須要含有另一個角，並且另一個角的和一定是0，只有這樣一個角最終結果還是自己，沒有變化。

根據上面我們已經把兩個角分別變成半角之和來表示自己。

由於α這個角的轉換中需要含有β這個角，β也需要有α這個角，並且含有對方後最終結果還是自身不變。

所以α=α/2+α/2就可以加入（β/2-β/2），這樣結果還是α，沒有變化。同樣 β=β/2+β/2也可以加入（α/2-α/2）。

這樣α=（α+β）/2 +（α-β）/2 ，β=（α+β）/2 -（α-β）/2。

這樣也可以推出兩個異角的對應轉換角的表現形式。

通過兩個角的轉換形式，我們發現，兩者首項都是相同的，末項互為相反數，也就是兩者末項之和為零。

再根據兩角和差公式，我們就知道正弦和化積的公式就是正異同首項的2倍了。

正弦差化積的公式就是正異同的末項的2倍了。（切記沒有負號，負負得正）

以上推導的思路必須要熟練掌握喲，因為在結合題目具體運用中，思路也是如此。

餘弦和差化積公式

餘弦和差化積公式中兩個異角α和β的轉換與正弦和差化積中介紹的方式一樣，並且轉換的結果也是一樣的，所以這裡不再重複。

具體代入餘弦的兩角和差公式推導出和差化積公式的過程這裡也不再展開，大家可以自己推導下。

因為思路與正弦和差化積一樣。

那我們如何如何直接根據餘弦和差寫出對應的化積的公式呢？

根據餘弦兩角和差公式的口訣「餘同異」，我們知道餘弦兩角和差展開式中前後符號是相異的。

由此我們就可以直接得出兩個異角的餘弦和的結果是首項的2倍，因為末項有兩個，互為相反數，其和是零。

然後根據口訣記憶法中介紹的觀察特點得出的方法，知道首項就是cos開始的，並且「餘同」告訴我們異角的也是cos形式，兩者組成一項即首項。由於前面文章已經介紹，這裡不再重複。

餘弦差化積的公式，由於餘弦是差，所以根據餘弦兩角和差公式中口訣「餘同異」知道符號相異，所以餘弦差化積的結果就是同是sin的項，也就是末項的2倍。

這裡需要意識到α和β轉換的角的結果形式一個是兩者的和，一個是兩者的差，這是要切記的，否則容易混淆。

強調的是餘弦差化積的結果是末項的2倍，千萬不要把符號給丟了！

想想如何根據口訣及角的和差關係確定所化積的結果形式及符號呢？

這些都需要對前文介紹的方法做到熟練才行。這樣才能把握要點，思路不混亂。

正餘切的和差化積公式

正切和餘切的和差化積公式不再詳細論述，不過也是可以用以上思路快速找到一些規律，從而能讓我們快速掌握和運用。

為了讓大家也能運用介紹的方法，這裡稍作提示。

1.記得正切和餘切公式中正弦和餘弦對應的位置，這很關鍵。

2.正切和差化積中，分子是正弦，並且角直接是正切對應兩角的和差，分母都是雙餘。為何分母用雙餘呢？想想原因。

3.如果對比正切和餘切的和差化積公式，我們發現兩者的分子都是相同的，不同的是分母，正切是雙餘，餘切是雙正（正弦與正弦在一起組成一項）。

為了更好地掌握3，我們還是利用同組來記就可以了。比如正切的和差化積，分子是正弦與餘切相同，但是分母是雙餘可以利用「正異」來記。因為正切是「正」，而正對應的同組中另一個就是「餘」，所以分母就是兩個餘弦乘積在一起。同樣餘切的和差化積分母就只能是「雙正」，因為餘切是「餘」，其同組中另一個就是「正」。這樣就可以根據已知的內容推出需要記的內容，大大提升記憶的效果和學習的效率。