初一數學《線段、射線、直線》知識點精講

北師大版七年級數學上冊知識點梳理總結

北師大版七年級數學上冊知識點精講

北師大版七年級數學下冊知識點精講

北師大版七年級數學上冊全冊教案

第一章 豐富的圖形世界

1.1 生活中的立體圖形

1.2 展開與摺疊

1.3 截一個幾何體

1.4從三個方向看物體的形狀

第二章 有理數及其運算

2.1 《有理數》

2.2《數軸》知識精講

2.10 科學計數法

2.11 有理數的混合運算

2.12用計算器進行運算

知識點總結

一．直線、射線、線段三者的區別與聯繫：

二．線段的中點：把一條線段分成兩條相等的線段的點，叫做線段的中點。

三．直線的基本性質：
1．兩條直線相交，只有一個交點；
2．經過兩點有且只有一條直線，即：兩點確定一條直線。
四．線段的性質：
所有連結兩點的線中，線段最短，即：兩點之間線段最短。
 

常見考法

（1）確定直線、線段的個數；
（2）求線段的長度。
 

誤區提醒

求線段長度時考慮不周而漏解。
【典型例題】（2010廣西柳州）如圖，點A、B、C是直線l上的三個點，圖中共有線段條數是 （   ）                                                
   A．1條        B．2條         C．3條         D．4條
    
【解析】有三條線段，分別是線段AB,BC,AC,故本題選C。

專題精析

1、基本事實1：兩點之間，線段最短．

2、距離定義：兩點之間線段的長度叫做兩點之間的距離

3、線段的兩種表示方法：

(1)用兩個端點的大寫字母：線段AB(線段BA)

(2)用一個小寫字母：線段a

4、射線表示方法：

用兩個大寫字母，端點在前：射線AB(A為端點)

5、同一射線的兩同：同端點，同方向

6、直線的兩種表示方法：

(1)用兩個大寫字母：直線AB(直線BA)

(2)用一個小寫字母：直線l

7、線段、射線、直線的聯繫與區別：

8、基本事實2： 兩點確定一條直線．

9、平面上，過1點可以畫無數條直線，過任意3點可以畫1或3條直線．

10、平面上有n個點，

11、點與直線的位置關係：

(1)點在直線上(2)點在直線外

12、線段的長短比較方法：度量法、疊合法、尺規作圖法

13、線段的和差

14、線段的中點書寫：

例：判斷正誤：

(1)直線AB和直線BA是同一條直線．

(2)射線AB和射線BA是同一條射線．

(3)線段AB和線段BA是同一條線段．

(4)畫直線AB＝3cm．

(5)畫射線CD＝2cm．

(6)延長射線PQ到點R．

(7)延長線段MN到點P．

(8)經過A、B、C三點可以畫三條直線．

(9)連接兩點的線段叫做兩點的距離．

(10)AB＝BC，則點B是線段AC的中點．

(11)過兩點有且只有一條線段．

(12)已知線段AB＝3cm，線段BC＝2cm，則A，C兩點的距離為5cm．

(1)正確，直線的兩個大寫字母順序可以交換．

(2)錯誤，同一射線需滿足同端點，這裡的兩個端點分別是A、B．

(3)正確，線段的兩個大寫字母順序可以交換．

(4)錯誤，直線長度不可度量．

(5)錯誤，射線長度不可度量．

(6)錯誤，射線只可以反向延長．

(7)正確，線段兩端均可延長．

(8)錯誤，若A、B、C三點在同一直線上，則只能畫一條直線．

(9)錯誤，連接兩點的線段的長度叫做兩點的距離．

(10)錯誤，必須強調，點B在線段AC上，否則會出現如下的反例：

(11)錯誤，過兩點有且只有一條直線，否則會出現如下的反例：

過BC的線段有AD，AE兩條

(B、C不作為線段端點的情況下)

(12)錯誤，點C可能在線段AB上，也可能在線段AB的延長線上，也可能在線段AB外，反例如下：

根據三角形三邊關係，可得AC的長度範圍，1cm≤AC≤5cm．

如圖，延長線段AB到點C，使BC＝2AB，D是AB的中點，點E、F在BC上，且BE：EF：FC＝1：2：5，AC＝36，求DE和DF的長．

本題中，已知3條線段長度的比例關係，我們可以馬上設x表示3線段的長度，從而可求3線段和的BC的長度，再根據BC與AB的數量關係，表示出AB的長度，建立關於x的方程，從而可求其餘線段．

設BE＝x，EF＝2x，FC＝5x，

∴BC＝BE＋EF＋FC＝8x，

∵BC＝2AB，∴AB＝4x，

∵D為AB中點，∴DB＝2x，

AC＝AB＋BC＝12x＝36，∴x＝3．

∴DF＝DB＋BE＋EF＝5x＝15．

DE＝DB＋BE＝3x＝9．

如圖，已知AC＝200，BC＝3AB，且BM：MN＝2：3，MN：NC＝2：5，求BN的長．

分析：

本題與例1如出一轍，我們可以設x表示AB，BC的長，建立方程求解，再將BM，MN，NC的連比求出，繼續設未知數表示從而求解．

本題中，點C的位置是確定的，但點D的位置不確定，它在直線AB上，可能在線段AB上，也可能在延長線上，因此，可以有2解．

已知線段AB＝10，M為AB的中點，在AB所在直線上有一點P，N為AP的中點，若MN＝1.5，求AP的長．

分析：

本題也與例2類似，M點的位置確定，但N點的位置不定，可能在點M左側，也可能在點M右側，因此，本題也有2解，為了讓同學們自己思考，筆者就不畫圖，只給出過程了．

已知線段AB＝8，點M為直線AB上除AB外任意一點，點C是AM的中點，點D是BM的中點，求線段CD的長．

這是典型的雙中點問題，點M的位置不確定，可以在線段AB上，也可以在線段AB的延長線上，也可以在線段BA的延長線上，但是，無論怎樣，答案都是不變的！

線段CD的長，必定看作其它線段長的和或差，這裡教給大家一個訣竅，點C是AM的中點，點D是BM的中點，這裡的點M出現了兩次，那麼CD的長必然為CM和DM的和或差，不信我們來看解答過程．

概念：繃緊的琴弦、黑板的邊沿都可以近似地看作線段，如果把「線段」作為最簡單、最基本原始概念，則用「線段」定義射線和直線如下：

（1）將線段向一個方向無限延長就形成了射線.

（2）將線段向兩個方向無限延長就形成了直線．

要點詮釋：

（1）線段有兩個端點，可以度量，可以比較長短．

（2）射線只向一方無限延伸，有一個端點，不能度量，不能比較大小.

（3）直線是向兩方無限延伸的，無端點，不可度量，不能比較大小.

（4）線段、射線、直線都沒有粗細．

表示方法：如圖1、圖2、圖3，線段、射線、直線的表示方法都有兩種：它們都可以用兩個大寫字母表示，也可以一個小寫字母表示.

要點詮釋：

（1）從表示方法上看，雖然它們都可以用一個小寫字母表示，也可以用兩個大寫字母表示，但直線取的是直線上任意兩點的字母，線段用的是兩個端點的字母，射線用的是一個端點和任意一點的字母，而直線和線段的兩個大寫字母沒有順序之分，但射線的兩個大寫字母有順序之分，第一個大寫字母必須是表示端點.即端點相同，而延伸方向不同，表示不同的射線．如下圖4中射線OA，射線OB是不同的射線；端點相同且延伸方向也相同的射線，表示同一條射線．如下圖5中射線OA、射線OB、射線OC都表示同一條射線．

（2）表示直線、射線與線段時，勿忘在字母的前面寫上「直線」「射線」「線段」字樣．

3.線段、射線、直線的區別與聯繫

線段

射線

直線

圖示

表示方法

線段AB或線段a

射線OA或射線a

直線AB或直線a

端點

兩個

一個

無

長度

可度量

不可度量

不可度量

延伸性

不向兩方延伸　

向一方無限延伸

向兩方無限延伸

下列說法中，正確的是(   ) .

     A．射線OA與射線AO是同一條射線.

     B．線段AB與線段BA是同一條線段.

     C．過一點只能畫一條直線.

     D．三條直線兩兩相交，必有三個交點.

【答案】B

【解析】射線OA的端點是O，射線AO的端點是A，所以射線OA與射線AO不是同一條射線，故A錯誤；過一點能畫無數條直線，所以C錯誤；三條直線兩兩相交，有三個交點或一個交點(三條直線相交於一點時)，所以D錯誤；線段AB與線段BA是同一條線段，所以B正確．

【總結升華】直線和線段用兩個大寫字母表示時，與字母的前後順序無關，但射線必須是表示端點的字母寫在前面，不能互換．

舉一反三：

【變式1】以下說法中正確的是  （     ）.

A．延長線段AB到C                     B．延長射線AB

C．直線AB的端點之一是A               D．延長射線OA到C 

【答案】A

 

直線：過兩點有且只有一條直線．簡單說成：兩點確定一條直線．

要點詮釋：

（1）點和直線的位置關係有兩種：

①點在直線上，或者說直線經過這個點.如圖6中，點O在直線l上，也可以說成是直線l經過點O；

②點在直線外，或者說直線不經過這個點.如圖6中，點P在直線l外，也可以說直線l不經過點P.

（2）兩條不同直線相交：當兩條不同的直線只有一個公共點時，稱這兩條直線相交，這個公共點叫做它們的交點.

2.線段：兩點之間的所有連線中，線段最短．簡記為：兩點之間，線段最短．

如圖7所示，在A，B兩點所連的線中，線段AB的長度是最短的．

要點詮釋：

（1）連接兩點間的線段的長度，叫做這兩點的距離．

（2）兩條線段可能無公共點，可能有一個公共點，也可能有無窮多個公共點.

如圖，A、B、C、D為平面內任意三點都不在同一條直線上的四點，那麼過其中兩點，可畫出      條直線.

【思路點撥】根據兩點確定一條直線即可計算出直線的條數．

【答案】6條直線

【解析】由兩點確定一條直線知，點A與B,C,D三點各確定一條直線，同理點B與C、D各確定一條直線，C與D確定一條直線，綜上：共有直線：3+2+1=6（條）.

【總結升華】平面上有個點，其中任意三點不在一條直線上，則最多確定的直線條數為：

舉一反三：

【變式1】如圖所示，已知線段AB上有三個定點C、D、E．

  (1)圖中共有幾條線段？ 

(2)如果在線段CD上增加一點，則增加了幾條線段？你能從中發現什麼規律嗎？

【答案】

解：(1)線段的條數：4＋3＋2＋1＝10(條)； 

(2)如果在線段CD上增加一點P，則P與其它五個點各組成一條線段，因此，增加了5條線段.

（註解：若在線段AB上增加一點，則增加2條線段，此時線段總條數為1＋2；若再增加一點，則又增加了3條線段，此時線段總條數為1＋2＋3；…；當線段AB上增加到n個點(即增加n－2個點)時，線段的總條數為1＋2＋……＋(n－1)＝n(n－1) .）

【變式2】如圖直線m上有4個點A、B、C、D，則圖中共有________條射線．

 

 【答案】8  

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