【今年早些時候，
一篇題為《我們看到的地圖一直都錯得離譜……》的文章在朋友圈裡莫名流行起來，裡面列舉了橫麥氏地圖的種種「謬誤」。小編知道，其實地圖冊裡最常見的世界地圖並非橫麥氏地圖，而是這樣的：
但有人指出：「等差分緯線多圓錐投影是一種任意投影，所以也是沒法兒保障等積的……」
地球是一個3維的球體（並不準確但暫且管它叫球體吧），而地圖是一個2維的平面。把3維球體的表面轉換到2維的平面的過程叫做投影。投影的種類有很多種，每一個種類都有自己的數學規則。在投影的過程中。因為維度的改變，投影過程中，圖形的形變扭曲是無法避免的。因此，在世界地圖上，面積、形狀、方向和距離的準確性無法全面顧及。
有些人感覺俄羅斯的面積和非洲一樣大，應該是看到了麥卡託投影。在這種投影裡，俄羅斯顯得相當巨大，是大於非洲的。而格林蘭島則是和非洲顯得差不多大。我們就從麥卡託投影說起。
麥（墨）卡託投影（Mercator Projection）是在繪製世界地圖的時候常用的投影之一。它的效果圖如下：
麥卡託投影是圓柱投影的一種，是由地理學家麥卡託於16世紀發明的。和所有其它的圓柱投影一樣，麥卡託投影的世界地圖中，地球緯線是左右方向平行的，長度一樣，覆蓋整個地圖的畫幅；而經線是上下方向平行，垂直於緯線。然而在現實世界裡，這顯然是不對的：如果你拿來一個地球儀仔細觀察，就能發現地球的緯線雖然是平行的，但長度卻不一樣：赤道最長，越往兩級方向越短。而經線雖然都是一樣長的，但它們並不平行，而是在南極和北極交匯成點。
那麼，麥卡託為什麼要對地球作這樣的改變呢？我們首先來看麥卡託投影這種圓柱投影是怎麼操作的。如圖：
把一張紙（平面）以如圖所示的方式包住地球儀，形成一個圓柱體。地球儀的赤道和紙面相切。假設地球儀表面透明，且它的球心有光源，那麼地球儀表面的大陸輪廓就被投影到了紙面上。用筆在紙面上記錄下輪廓後，將紙面展開，就得到了麥卡託投影的世界地圖。這樣的投影，真實地記錄下了大陸和島嶼的輪廓形狀。在赤道上，由於地球儀和紙面相切，因此面積和方向也是完全真實的。然而，在往兩極方向，我們可以明顯看出，大陸圖案的面積發生了形變。比如下圖：
南北方向上，地球表面的真實面積如紅色區域所示，然而投影到紙面以後，擴大成了藍色的區域。而對於南極點和北極點來說，通過它們的光線與紙面是平行的，因此它們被無限形變，從兩個點變成了兩條直線（也就是麥卡託投影的世界地圖的上下兩條邊界）。
從數學的角度，我們也可以解釋這種形變。以北緯60度為例，如圖所示：
R是赤道半徑，r是北緯六十度緯線的半徑。r/R=sin （90-60）度=1/2，周長=2*pi*半徑，因此赤道的半徑是北緯六十度的2倍。然而，在麥卡託投影的世界地圖裡，北緯六十度和赤道是一樣長的。因此為了保持大陸的形狀，在北緯六十度，地圖的南北方向也被拉長了2倍。這樣，大陸的形狀被完美地記錄了下來，但是面積就無法顧全了。
越往北極走，真實的緯線越短，因此畫在地圖上以後，南北方向就需要拉長得更多。形變也就越大。
一般來說，麥卡託投影的地圖在南緯15度到北緯15度區間內的面積，可信度還是比較高的。中緯度地區有一定的面積形變。高緯度地區的面積變化很大。俄羅斯、加拿大和格林蘭的緯度都很高，中國和美國的緯度適中，而非洲、東南亞和墨西哥的緯度很低。
由此，麥卡託地圖上的格林蘭島看起來和非洲差不多大，但實際上它只有非洲的1/12左右。加拿大和俄羅斯本來面積就不小，再加上緯度高，因此在麥卡託投影的地圖上，這兩個國家顯得無比的大。美國的本土48個州在中緯度，形變比較適中，然而它最大的州阿拉斯加在高緯度地區，因此也顯得十分巨大。很多美國中小學的老師都提議，教材裡要儘量少用麥卡託投影的地圖，因為這種地圖經常誤導小朋友，讓他們以為阿拉斯加真的如此巨大。
說到麥卡託投影，就不得不提一個常見的誤區：地圖上兩點之間最短的路徑不一定是連接它們的直線段。比如，經常可以看到，從英國倫敦飛到美國西雅圖的民航航線是這樣的：
從上海到舊金山的海上航線是本文文首圖。
弧線是航班路線。很多人以為選擇這條弧線而不是直線是因為天氣因素或者別的什麼因素。但事實上，圖中這條弧線才是兩座城市間的最近距離。看看地球儀，或者換一種投影的地圖，就一目了然了。
地圖投影遠不止麥卡託投影這一種。麥卡託投影是圓柱投影（Cylindrical Projection）的一種。圓柱投影的製作方法大同小異，但是如果基準線的選擇不同，那做出來的地圖效果就大不一樣。
前面說過，麥卡託投影的基準線是赤道。而橫向麥卡託投影（Transverse Mercator Projection）的基準線則是一對形成大圓的經線（完全相對的兩條經線）。如圖所示：
這樣一來，被選中的兩條組成大圓的經線（包括兩個極點）在地圖上就成了直直的一條基準線。緯線則圍繞著兩個極點形成了兩組被拉長的同心圓。赤道被切成3段，分別位於地圖中央，上沿和下沿。比如，一幅以本初子午線所在的大圓為基準的橫向麥卡託投影，畫出來是這樣子的（其中每一個紅色圓圈所代表的區域，在真實世界中是面積一樣大的）：
這幅地圖中，基準線附近的非洲、歐洲和南極洲的形狀和相對大小保持得不錯，但離基準線較遠的東亞和美洲則悲劇了。因此選擇基準線很重要。在採用橫向麥卡託投影的時候，世界各地各國都會採用不同的基準線，這也就形成了一套製圖領域很重要的UTM系統（全球橫向麥卡託投影系統）。
當然，還有的圓柱投影的地圖卻有不止一條基準線。比如下圖：
這種是利用割線投影，有兩條基準線。如果基準線選擇得恰當，就能有效地降低地圖重要部分的面積變形。
除了圓柱投影以外，按照製作方法，還有圓錐投影（Conical Projection）和方位角投影(Azimuthal Projection)等大類。圓錐投影多數情況下是給像中國和美國這些中緯度的國家使用的。它的原理和圓柱投影很類似。但是，圓柱投影一般是用一張矩形的紙來捲成一個圓柱形，進行投影。而圓錐投影一般是採用扇形的紙張。它也可以選用1條基準線（相切）或2條基準線（相割）。它的原理如下圖，可以自己體會一下：
為什麼它適合像中國或美國這樣的中緯度國家，以及它有什麼缺點，想必已經一目了然了吧。這種地圖一般只畫出基準線所在半球，因為另一個半球的形變會相當大。
方位角投影有時也叫做平面投影（Planar Projection）一般用於高緯度、兩極的地圖或導航地圖，它們也有不少種類，原理如下：
最著名的一個方位角投影的地圖，估計就是聯合國的旗幟上那個了。聯合國旗幟上的地圖的投影是方位角投影中的一種，叫做球極平面投影（Stereographic Projection）。
除了按照製作方法分類，投影還可以按照繪製出的地圖的效果分類。
保持角度關係不變：
根據投影效果，第一種投影的大類是等角度投影（Conformal Projection）。
在一張等角度投影的地圖上，任意一點的所有方向的比例是相同的。地球儀上兩條垂直的線，到了等角度投影的地圖上，也是垂直的。前面說的麥卡託投影按照這種分類方法就是等角度投影的一種，它保持了經緯線之間的九十度交角，從而保證了大陸和島嶼輪廓形狀的準確。球極平面投影也是一種等角度投影，它保持了緯線之間的平行關係和經線的放射關係。
除了這兩種投影以外，蘭伯特等角投影（Lambert Conformal Projection）也是一種常用的等角度投影。它是一種圓錐投影，選用兩條基準線，製作過程中保證了地圖上有效範圍內的任意兩點之間的相對方向的準確性。但是距離基準線越遠，形狀和面積的變化就越大。前面說過，圓錐投影對中緯度地區的國家比較適用。中國的很多地圖就是採用的蘭伯特等角投影。其中，每個省份的分省地圖，選擇的兩條基準線都不一樣，這樣才能做到在保證角度的同時，形變量最小。蘭伯特等角投影的效果如下：
保持面積關係不變：
第二大類的地圖投影可以保持面積，叫做等面積投影（Equal Area Projection）。等面積投影中，比較出名的是摩爾威德投影（Mollweide Projection）、阿爾伯斯等面積投影（Albers Equal-area Conic Projection）和蘭伯特等面積投影（Lambert Equal-Area Projection）。
摩爾威德投影是德國數學家摩爾威德創造的。它是一種偽圓柱投影，和圓柱投影有相似之處，但又用數學方法進行了優化。這種投影方法保持了面積的準確性，也在較大的程度上控制了形狀的形變量。它選擇一條經線最作為基準，然後把這條經線向東和向西各90度的兩條組成大圓的經線在地圖上畫成一個圓，效果如圖所示：
由圖可知俄羅斯、非洲和格林蘭島真正的面積關係。
阿爾伯斯等面積投影是一種圓錐投影。雖然用它畫世界地圖比較少見，但是美國人經常用它來畫美國地圖，特別是一些以郡或州為單位的專題地圖，比如行政區劃、投票形勢、收入水平分布等，對面積比例要求高，但對輪廓形狀要求並不高的圖。這樣，每個郡或每個州的面積是如實的，能讓看圖的人更好地看清形勢。它的效果如下，可以看到這種投影下的俄羅斯、非洲和格林蘭島的面積關係：
從這裡也可以看到，格林蘭島其實很小，俄羅斯的面積和北非地區差不多。
有人可能覺得阿爾伯特投影和前面看到的蘭伯特等角投影沒什麼區別。對於美國和中國的地圖來說，如果基準線選擇恰當，這兩種投影的區別確實很小。但是總體來說，在形狀和面積兩個方面，蘭伯特等角投影更優先滿足前者，而阿爾伯特投影更優先滿足後者。
蘭伯特等面積投影（注意不要和蘭伯特等角投影弄混了）是一種等面積的平面投影，它不僅可以精確記錄面積，也能不改變方向，一般用於繪製精度要求較高的地質圖或導航圖。這種投影一般不會把整個世界劃在同一張圖上，因為地圖外圍的區域形變會比較大（外圍會在遠離基準點的方向壓縮，導致輪廓變得很扁）。它一般只包括某個半球、某個大陸甚至某個區域。大家感受下這種投影下的俄羅斯、非洲和格林蘭島（北極點為基準點）：
保持兩點間距離不變：
還有一種投影的大類叫做等距離投影（Equidistant Projection）。顧名思義，等距離投影是為了保持地圖上兩點之間的距離的準確。然而，等距離投影的地圖上，並非任意兩點之間的距離都是準確的，而是在某一個方向上的任意兩點間距離保持準確（例如東西方向、南北方向或某個角度的方向），或者以某個點為基準，其它點到它的距離保持準確。
等距離投影中，最有名的一種叫做等距離圓柱投影（Equidistant Cylindrical Projection）。它是公認的所有地圖投影裡，數學變換最簡單的一種。它看起來和麥卡託投影相似，實際不然：麥卡託投影在高緯度地區為了保持形狀的準確而將緯線之間的距離拉長；等距離圓錐投影的所有相鄰經線和緯線之間的距離都是一樣的。因此，在南北方向上，地圖上任意兩點的距離是保持精確的。這種地圖缺點很多，既不保持形狀的準確，也不保證面積的準確。但因為它製作簡單，因此很多時候它被用作索引地圖（例如世界各國列表）或示意地圖（例如時區、貨幣分布、國際組織成員分布等地圖）的投影。這是這種地圖的效果：
除了上述的投影方式外，還有一些其它重要的世界地圖投影。
按照效果劃分，以上這三類投影是最常見的投影類型。但是在常見的世界地圖中，其實還有其它的一些投影種類。例如，題主提到有時候看到俄羅斯被畫得比較扁。這種情況下，估計題主是看到了用一種叫「空投影」（Plate Carree）的方法製作的地圖，效果如下：
還有一種比較經典的世界地圖投影叫做羅賓遜投影（Robinson Projection）。前面一直在討論，在把3維的地球轉化為2維的地圖的過程中，面積、形狀、角度、距離等方面的精確度不能個個都保全。於是，製圖學家們開始尋找有沒有折中方案，讓這幾方面的變形程度儘可能最小化。羅賓遜投影就是這些嘗試的其中一個結果。它的效果如下：
【背景資料】
首先要說的是，我們平時看到的地圖，都是這樣的：
這就是我們的世界。
今天要告訴你的是，你看到的這個地圖，其實是錯誤的，至少在一定程度上是錯的。
我們目前採用的「橫麥氏投影地圖」其實是來自1569年一個地圖製作者製作的，連google map都是採用這個樣式。但其實在這個地圖裡地球各個國家的大小都嚴重失真。
至於原因和原理，以下是來自網上的解釋：
「因為這種地圖為了讓所有地方的北邊朝上，必須將每一條緯線都拉得跟赤道一樣長。然而，緯線的長度是赤道長度乘以cos （緯度）。例如，60 度的緯線長度只有赤道的一半（cos 60o = 0.5），拉得跟赤道一樣長的意思就是放大兩倍。此外，這種地圖的另一個特色是要維持方位的正確性，緯線放大兩倍，經線也要放大兩倍，才不會變形。於是，緯線60度上的面積被放大成四倍。緯度愈高,放大倍數愈誇張。到了兩極，放大倍數是無限大。」
沒看懂沒關係，反正就是應想跟大家表達，地球不是平的。
我們還是用事實說話吧，國外有個叫thetruesize.com的網站就把地圖修正，讓我們看到了每個國家的真正大小。
先來說說非洲，在目前地圖版本的非洲，感覺好像就比中國的版圖大一些，但事實是：非洲的面積比西歐，美國，阿根廷，印度，中國的面積總和還要大！是世界第二大洲。
如果把中國，美國和印度三個大國家放進非洲，是這樣的：
美國最大的三個州放非洲裡：
格陵蘭（80萬平方英裡）在現在的地圖看起來跟非洲（1160萬平方英裡）差不多大，其實非洲面積是格陵蘭的14倍。
事實是格陵蘭就跟非洲裡一個國家差不多大。
格陵蘭比印度小一點，可是兩者在現在地圖上。
對了，印度的大小就差不多是整個歐洲的大小。可想而知非洲比歐洲大多少。
澳大利亞覆蓋整個歐洲了。
俄羅斯很大吧？在地圖上是這樣的。
可是拉到非洲的緯度,變回原來的真正大小後。
虧我還曾經替那些立志遊遍自己國家的俄羅斯人擔心。
俄羅斯和中國。
反之中國拉到俄羅斯的位置。。一樣嚇shi人！
此為國外網站thetruesize.com的地圖，並未顯示中國臺灣省地區，請大家批評閱讀（堅決支持一個中國原則！）
中國和加拿大。
此為國外網站thetruesize.com的地圖，並未顯示中國臺灣省地區，請大家批評閱讀（堅決支持一個中國原則！）
中國和歐洲，完全覆蓋綽綽有餘。（本來就覆蓋了）
此為國外網站thetruesize.com的地圖，並未顯示中國臺灣省地區，請大家批評閱讀（堅決支持一個中國原則！）
中國和美國顯示比例倒是挺接近的。
此為國外網站thetruesize.com的地圖，並未顯示中國臺灣地區，請大家批評閱讀（堅決支持一個中國原則！）
至於地圖上比中國還大的格陵蘭島，事實不忍直視。
或者地球其實應該是這樣的吧。
感覺好像去到了一個新的世界，我的世界觀……
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