中國目前初中數學教育大綱基於以下這個情況，即絕大多數人現實生活中只會用到三年級以下的數學，因此難度下降很大，屬於普遍教育。而高中數學的難度並沒有下降，因此初高中之間的銜接存在著很大的困難。
我曾經遇到過本地區最好的公辦初中的一個學生，她在初中排在年級前20名（年級總共500多學生），但是進入高中後感覺非常吃力，跟不上進度。和她交流後我一句話概括，現在的初中數學要求太低，難度太低。
本系列專題講座的習題和例題都來自各年中考題以及重點高中的自招題，難度高於中考的平均程度，差不多是重點高中的自招難度。
系列裡面許多解題方法和擴展的知識對進入高中後的數學學習是極其必要的補充。
系列的習題和例題都在不斷豐富和更新中。
初中數學培優 七年級下 第六講 乘法公式
二、重點難點分析
1.平方差公式是形如"(口+O)"和"(口-O)"的兩個多項式相乘（展開後整理即得），即兩個多項式一項相同，一項互為相反數，結果等於"口2-O2"(相同項的平方減去相反項的平方)。
2.完全平方公式表示一個二項式的平方,可根據"首平方、尾平方、積的兩倍放中央"的口訣記憶，結果是三項式，首尾兩項符號為正，中間項當首尾兩項的底數同號時為正，異號時為負。
3.乘法公式在代數式的運算中能起到化繁為簡的作用，在代數式恆等變形中扮演重要角色。代數式的有些性質通過乘法公式就能簡潔地揭示出來。
4. 乘法公式可以逆向運用,也可以變式運用,特別注意完全平方公式將a+b，a-b，ab及a2+b2四個式子緊密聯繫,只要知道其中兩個式子的值就可以求出另兩個式子的值。經常考。
5.補充幾個重點高中自招常考的公式：
（1）立方差和立方和公式:a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)；a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；
（2）xn+1-1=（x-1）（xn+xn-1+...+x+1）;
（3）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（4）（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2= 2（a2+b2+c2-ab-ac-bc）。
三、例題精選
例1應用乘法公式計算：
（1）（a2-1）（a2+1）； （2）（-x-y2）（y2-x）；
(3)（ ）2； (4)（-b2）（b2-）.
解析：平方差公式中的a、b既可以是一個字母或者數字，也可以是一個單項式、還可以是一個多項式。要靈活運用。比如（2）中的a就是-x。
完全平方公式中的a、b也是如此。
解題過程 (1)原式=a4-1；
(2)原式=（-x）2-y4=x2-y4；
(3)原式=x2-xy+y2；
(4)原式=3ab2-a2-b4.
例2利用乘法公式計算或求值:
(1) 50； (2)19992；
（3）（2y-x-3z）（-x-2y-3z）； （4）（3a-2b+4）(2b-3a+4)+(a-6b)2。
解析：例1中說過a和b可以是數字，可以是多項式。(1)原式=（50+）（50-）=2500-=2499;
(2)原式=（2000-1）2=4000000+1-4000=3996001;
(3)原式=（-x-3z）2-4y2=x2+6xz+9z2-4y2;
(4)原式=16-（3a-2b）2+a2+36b2-12ab=16-9a2+12ab-4b2+a2+36b2-12ab=16-8a2+32b2.
例3(1)已知a+b=5,ab=,求a2+b2和（a-b）2的值;
(2)若（3-a）（2-a）=6，求（3-a）2+（2-a）2的值。
解析：常見題型。整體思想分析題2， 3-a和a-2（已知條件進行變形，因為求值部分（2-a）2=（a-2）2）分別看做一個整體，設為x、y，則xy=-6，x+y=1，則利用完全平方公式就可以求值。
(1) a2+b2=（a+b）2-2ab=22；（a-b）2=（a+b）2-4ab=19；
(2)由分析得：原式=12-2*（-6）=13
例4 我們在計算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）時，發現直接計算非常麻煩，若在算式前乘以（2-1），則原式值不變，可以利用平方差公式，最後結果為264-1.
利用這個方法，計算（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）.
解:原式=（3-1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）
=（364-1）.
提醒：別忘記乘以.
例5 圖1是一個長為2m、寬為2n的長方形,沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形,然後按圖2的形狀拼成一個正方形。
(1)圖2中陰影部分的正方形的邊長為；
(2)請用兩種不同的方法求圖2中陰影部分的面積。
方法一：
方法二:。
(3)觀察圖2你能寫出下列三個代數式之間的等量關係嗎?
代數式:(m+n)2，(m-n)2,mn.
(4)根據第(3)題中的等量關係,解決如下問題:若a+b=7,ab=5,則(a-b)2=。
解析：（1）陰影部分正方形邊長=m-n；
（2）兩種方法求陰影部分面積：方法1、邊長的平方=（m-n）2；方法2：陰影部分面積=大正方形面積-圖1長方形面積=（m+n）2-4mn。
（3）根據題（2）（m+n）2-4mn=（m-n）2。
（4）由題（3）(a-b)2=（a+b）2-4ab=29.
例6 （1）驗證（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2= 2（a2+b2+c2-ab-ac-bc）；
（2）若a-b=2，b-c=5，求a2+b2+c2-ab-ac-bc。
解：（1）直接展開即可得結果。
（2）由題意c-a=（b-c）-（a-b）-7，
原式=22+52+（-7）2）]=39.
例7 楊輝三角的前四行是這樣的：
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
（1）根據規律試寫出楊輝三角第5行的數字。
（2）（a+b）1=a+b；
（a+b）2=a2+2ab+b2；
（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；
（a+b）4=a4+4a3b+10a2b2+4ab3+b4；
根據規律，寫出（a+b）5.
解析：楊輝三角，每行數字比上一行多一個，每個數字都是其上一行兩個數字之和，每行首尾兩個數字都是1.另外每行數字從左到右和從右到左是對稱的。
二項式展開後，第一個字母以降冪排列，第二個字母以升冪排列，各項係數即對應的楊輝三角數字。
（1）楊輝三角第5行數字：1 5 10 10 5 1
（2）根據題（1）:（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5.
四、練一練
1、如圖,已知長方形ABCD的周長為16,以長方形的長和寬為邊向外作正方形,四個正方形的面積之和為68,求長方形ABCD的面積.
2、若x+=3，則x2+=，x4+=.
3、已知a、b、c滿足a2+2b=7，b2-2c=-1，c2-6a=-17，求a+b+c的值。
4、若a、b、c滿足a-b+c=7，ab+bc+b+c2+16=0,求的值。
答案：
1、設長方形ABCD長為x，寬為y，則2（x2+y2）=68,2（x+y）=16，則長方形面積=xy=[（x+y）2-x2-y2]=15.
2、x2+（x+）2-2x（）=7,
x4+（x2+）2-2=47.
3、解題套路：一、千萬不要上來就做，觀察分析題目後試根（讀懂命題人的暗示，而且此類題答案基本上是整數）；比如這道題目，由c2-6a=-17，基本判斷a是大於等於3的整數。假設a=3（題中-6a也暗示a=3），則b=-1，c=1.二、湊完全平方公式。由假設的答案湊（a-3）2+（b+1）2+（c-1）2=0。
答案：a+b+c=3.
4、最常規做法：c=7-a+b代入整理，然後用配方法做。
0= ab+bc+b+c2+16
=ab+b(7-a+b)+b+(7-a+b)2+16
=ab+7b-ab+b2+b+49+a2+b2-14a+14b-2ab+16
=22b+2b2+65+a2-14a-2ab
=2（b2-ab+11b）+a2-14a+65（逐元配方，本題先配b）
=2[b-()]2-2()2+a2-14a+65
=2[b-()]2+(a-3)2
∴a=3,b==-4,c=0代入ab+bc+b+c2+16=0檢驗正確，防止算錯。
∴原式=