中國目前初中數學教育大綱基於以下這個情況，即絕大多數人現實生活中只會用到三年級以下的數學，因此難度下降很大，屬於普遍教育。而高中數學的難度並沒有下降，因此初高中之間的銜接存在著很大的困難。
我曾經遇到過本地區最好的公辦初中的一個學生，她在初中排在年級前20名（年級總共500多學生），但是進入高中後感覺非常吃力，跟不上進度。和她交流後我一句話概括，現在的初中數學要求太低，難度太低。
本系列專題講座的習題和例題都來自各年中考題以及重點高中的自招題，難度高於中考的平均程度，差不多是重點高中的自招難度。
系列裡面許多解題方法和擴展的知識對進入高中後的數學學習是極其必要的補充。
系列的習題和例題都在不斷豐富和更新中。
初中數學培優 七年級下 第五講 整式的乘法
二、重點難點分析
1. 冪的運算法則：同底數冪相乘，底數不變，指數相加；冪的乘方，底數不變，指數相乘；積的乘方是將幾個因數分別乘方再相乘。
2.單項式乘單項式結果還是單項式，相系時把係數和相同字母分別相系，即轉化為數的運算和同底冪的運算。
3.單項式乘多項式、多項式乘多項式，實際上是運用了乘法的分配律，轉化為單項式的乘法，其結果還是多項式，所以冪的運算法則是單項式相乘的基礎，而單項式相乘的法則是整式乘法的基礎,
4.冪的運算法則中的底數a既可以是一個數,也可以是一個單項式，還可以是一個多項式，即應該把它看作一個"整體"。
5.冪的運算法則中的同底數冪的個數、累的指數個數、積中的因數個數都可以推廣，比如[ ( a m) n]p = amnp .
6.幾個單項式相乘，積的符號由負因式的個數決定。單項式與多項式、多項式與多項式相乘時，根據乘法分配律不要漏乘，對於整式的混合運算，其運算順序與數的運算順序相同，先乘方和開方，再乘除，後加減。
三、例題精選
例1（1）（y4）3（y2）5； （2） （2a2b）3
(3)2·(24)3-(23)4； (4)[-2(x-y)2] (y-x)3.解析：冪的運算法則運算,計算時注意選擇合適的法則,注意係數及係數的符號.若不是同底數,則應先進行適當的變形化成同底數。
解題過程 (1)原式=y12·y10=y22.(2)原式=-(-8a6b3)=8a6b3.
(3)原式=2·212-212=212.
(4)原式=4(x-y)4.(y-x)3=4(y-x)4 (y-x)3=4(y-x)7
在進行同底數冪的乘法運算時要注意以下幾點:(1)先確定是否是同底數冪相乘,若是,則直接用法則進行計算;若不是,則應先化為同底數暴,再相乘;(2)同底數冪中底數可以是單項式也可以是多項式;(3)當三個或三個以上同底數冪相乘時,法則可以推廣。易錯誤區 要熟練掌握冪的運算法則,避免出現y3·y4=y12,213-212=2這一類錯誤. 例2計算:
(1) -5ab2.()； (2)(ab-b2+)·(-2a)2；
（3）5x（x2-2x+4）-x2（5x-3）； （4）（2a2-b）(a-4b)(a+3b)(a-4b)
解析：根據運算法則運算,對於多項式乘多項式或混合運算，先根據法則去括號，再合併同類項。(1)原式=a3b3c;
(2)原式=2a3b-4a2b2a2;
(3)原式=-7x+20x;
(4)原式=2a3-8a2bab+4b2(a2-ab-12b2)=2a3-8a2b-a2+16b2.
例3(1)已知ax=5,ax+y=25,求ax+ay的值;
(2)已知10a=5,10b=6,求103a+2b的值。
解析：(1)先根據同底數冪乘法運算的逆運算得出ax+y=ax·ay=25,根據(1ax=5可得ay=5,代入即可求解;
(2)將原式利用同底數冪乘法運算的逆運算變形為(10)3a (10)2b,即可求解。
解答（1）原式=10 （2）原式=4500.
例4 設m=2100，n=375，為了比較大小，由於底數2和3是互質的，不可能換成同底冪，因此可以嘗試將指數化成一樣，100和75的最大公約數為25， 則m=2100=
（24）25=1625，n=（33）25=2725，因此mn。
試用此方法，比較430和340的大小。
解：430340。
例5 已知（2x-3）（x2+mx+n）的展開後不含x2和x項，求m+n的值。
解析：不含x2和x項，說明這兩項的係數為零，我們可以採用待定係數法，建立方程組，求出m和n的值。（有時候m和n的值求不出來，但是題目中要求的m+n可以直接求出）
原多項式展開後得：原式=2x3+（2m-3）x2+（2n-3m）x-3n；
由題意：，觀察題目後發現，①*2.5+②後可直接得m+n=3.75。
當然也可以求出：.
例6已知ax=by=1994z,a,b是自然數，且滿足,求2a+b。
解析：分析題目，題目中有那麼我們就要想辦法構造出、；
由ax=1994z，兩邊開x次方，則a=，同理b=，即ab===1994=2*997=1*1994（997是個質數，無法繼續分解）。
因此,則2a+b=1996,或，則2a+b=1001，或者，則2a+b=1996，或者，則2a+b=3989.
四、練一練
1、（1）已知xn=2，yn=3，求（x2y）2n的值。（2）已知4*23m44m=29，求m的值。
2、小華和小明同時計算一道整式乘法題(2x+a)(3x+b),小華把第一個多項式中的a抄成了a,得到結果為6x2+11x-10;小明把第二個多項式中的3x抄成了x,得到結果為2x2-9x+10.
(1)你知道式子中a,b的值各是多少嗎?
(2)請你計算出這道題的正確結果。
3. 已知代數式(mx2+2mx-1)(xm+3nx+2)化簡以後是一個四次多項式,並且不含二次項，
分別求出m,n的值,並求出一次項係數。
答案1、（1）144 （2）
2、按步驟分兩次求解：
小華：(2x-a)(3x+b)=6x2+（2b-3a）x-ab=6x2+11x-10;得；
小明：(2x+a)(x+b)=2x2+（2b+a）x+ab=2x2-9x+10；得；
聯立①②解得.
展開後正確答案: (2x-5)(3x-2)=6x2-19x+10
3、不能拿來就展開，首先得分析題目，展開後得四次多項項的話，說明m=2，代入原式後展開，能夠簡化題目。
原式=（2x2+4x-1）（x2+3nx+2）
此題不要求展開式，介紹一個新的方法。展開後的二次項有三個來源：一、（2x2+4x-1）中的二次項和（x2+3nx+2）的常數項（零次項）的乘積；二、（2x2+4x-1）中的一次項和（x2+3nx+2）的一次項的乘積；三、（2x2+4x-1）中的常數項和（x2+3nx+2）的二次項的乘積；∴二次項係數=4+12n-1=0，即n=.
同理，一次項係數=8-3n=。