從簡單到複雜——從分形中感受數學之美

數學是美的。亞里斯多德說：「雖然數學沒有明顯地提到善和美，但善和美也不能和數學完全分離，因為美的主要形式就是秩序、勻稱和確定性，這些正是數學研究的原則。」而分形幾何，恰恰為隱藏在數學中的這種美作了最好的註解。

美不意味著必須要是光滑的，規則的。且看天空中自在漂浮的雲朵、連綿起伏的山巒、 參差披拂的樹木等等，正是在其形態各異、千變萬化中展現出大自然的綽約風姿。不難想像，如果我們周遭的物事都如刀削般平整，如斧劈般規則，那麼這個世界將會多麼無趣！然而，看似繁雜無序，粗獷不拘的表象下，一切又顯得如此和諧完美，有條不紊。是否可以認為，在複雜的現象背後，有一種規律在默默地支配著一切？這種規律，能否用某種數學的語言來加以描述？

在人們的印象中，總是認為自然界中的複雜形式都是由複雜過程產生的，而描述這一過程的數學一定也複雜無比。其實不然。數學的一大效用就是用高度抽象化的最精煉最簡潔的語言去刻畫事物的變化規律。數學是用來簡化生活的，而非將其複雜化。當我們觀察仔細一朵雲，一棵樹，面對如此曲折「粗糙」的邊界，要想從數學上描述它們，關鍵是發現不規則後面的規律性，從簡單再到複雜；而簡化事情的最快途徑，是去發現被研究對象的不變性或對稱性，也就是從一個研究對象到另一個對象所具有的那些保持不變的根本屬性。讓我們先從一棵花椰菜、一片蕨葉、一根羽毛看起，答案也許就隱匿其中：

花椰菜

蕨類植物

羽毛

可以看到，花椰菜的一個小的分支，幾乎就是整棵花椰菜的翻版；而每一個小的分支，又可以分成更小的分岔，而形狀幾乎不變，只不過是在更小的尺度下；同樣的情形也發生在蕨葉和羽毛身上：每個細小的分支都與包含它的更大的部分有著驚人的相似。事實上，只要稍作留意，就可以發現，這樣的例子數不勝數：比如肺是由一些更小的肺葉構成，肝臟由更小的肝小葉構成，一根樹枝可以看成是一棵大樹的縮影，一個土堆依稀就是一座大山的模樣。

分形幾何仿佛就是為描述這種特徵應運而生的。分形有一類特殊的不變性或對稱性，將整體與局部相連起來：整體可以被分割成更小的部分，而每個部分又是整體的重複，這就是自相似性。分形幾何就是要發現這些重複的「基本模塊」是什麼，然後將這些模塊按照一定的規則「拼接」起來，並以此為基底，在分形上去建立解析幾何、數學分析、動力系統、隨機過程等研究，這無疑為我們探知真實世界的客觀規律性開啟了新的一扇窗戶。

分形是一個分析與集成的工具，至今仍沒有嚴格的定義。組成分形的「模塊」可以有很多不同的形式。它可以如花椰菜的一個細小分支那樣，是一個在更小尺度下不斷重複的一個具體形狀，也可以是抽象的統計形式，比如某個隨機事件的概率。

讓我們來看看分形幾何中的典型範例。

分形雪花

Sierpinski三角

Barnsley蕨葉

可以看到，這些分形儘管看起來變化繁複，然而他們都起始於簡單的幾何對象：例如一條線段，一個三角等等；這稱為分形的初始元；接著是在初始元基礎上形成分形的「模板」，稱為生成元，它可以是一段折線，一個角形等等；最後按一個生成規則，例如用按一定尺度縮小的生成元去替代初始元，並將此過程無限重複下去（此過程稱為迭代），即可生成美麗的分形曲線。

如果對以上確定的迭代規則稍加改變，分形將變得更加妙趣橫生； 例如以隨機概率改變生成元的大小或間隔；甚而至於，不考慮幾何模型，而代之以抽象的概念來構築分形，如股票價格的漲跌，社會財富的不均衡分配，網絡傳輸的時滯長短等，都可視作不規則而又包含規律性的分形結構；它們有一個共同的特徵：局部與整體的自相似性或自仿射性，即局部是整體在所有方向或不同方向按一定比例進行伸縮的翻版；而當分形在不同的點上以不同的標度對整體進行伸縮，就可得到多重分形。

分形的生成元及生成規則是簡單的，然而由於其生成過程可以無限重複，其數學屬性可以變得極其複雜，這就好比由簡單的DNA，就可以產生出異常美麗和複雜的生物。分形的奇異性表現在：它可以是一根一維的曲線，卻能填充滿二維的平面；它可以把一條實線轉化為無量綱的點塵；它還可以是一條處處連續卻處處不可導的無比粗糙的曲線；它也可以如魔鬼的階梯，每往前邁一步就會落入萬劫不復的深淵……

從複雜中獲取簡單的本質，從簡單中幻化出複雜的內涵，這就是數學的魅力。或許正如龐加萊所說：感覺到數學的美，感覺到數與形的協調，感覺到幾何的優雅，這是所有真正的數學家都清楚的真實的美的感覺。