將物體填充到二維平面上。即便填充區域不限制為正方形，圓作為填充圖形仍然是極其糟糕的選擇。因為不管怎麼排列，它們之間總會留下空隙。
而一些圖形，比如六邊形，可以無縫填充。當然，這是最高效的填充方式。裝修過浴室的人都知道，所有瓷磚都可以鋪滿整面牆，不會留下難看的空隙。
在數學中，這種用圖形覆蓋整個空白平面的行為稱為鑲嵌（tiling）。它和另外一個更為人熟悉的數學名詞「密鋪」（tessellation）稍有不同，後者要求鑲嵌的圖形種類和位置排列具有一定的規律。鑲嵌不僅包括密鋪，還包括隨意的不留縫隙的排列。我將使用這個範圍更廣泛的術語。
人們已經發現了許多鑲嵌平面的絕妙方法，但距離發現所有鑲嵌方法還有很長的路要走。有些鑲嵌的方法非常無聊，比如全用正方形或者全用三角形。
我們還有更好的方法。我最喜歡的一個選擇是一種不規則的九邊形，它能在整個平面鑲嵌出螺旋圖案。我們也可以使用多種圖形，如正方形和三角形組合在一起可以形成扭稜正方形鑲嵌（snub square tiling），六邊形、正方形和三角形組合在一起可以形成小斜方截半六邊形鑲嵌（rhombitrihexagonal tiling）。
知道有這麼多無比絕妙的鑲嵌方法之後，每當看到浴室那乏味的正方形瓷磚，我都會感到非常失望。
下面要說的這個問題是我認為從提出到解決時間相距最長的圖形填充難題。這個問題的解在人類出現之前就已經存在，但直到2001年才被完全證明。
這個難題就是：填充二維平面最優的形狀是什麼？這裡的「最優」是指圖形互相之間沒有空隙，在周長給定的情況下，它們能覆蓋最多面積。
最佳的選擇是六邊形，而且它遠在人類的數學思想萌芽前就已經被蜜蜂發現，因此這個問題被稱為蜂窩猜想（honeycomb conjecture）。直到幾百萬年後，美國數學家託馬斯·黑爾斯（Thomas Hales）才證明，不管你設計怎樣怪異的邊界，構造怎樣瘋狂的填充形狀，其填充效果永遠不如六邊形。
六邊形是最好的填充圖形，那麼有沒有最差的填充圖形？不幸的是，這又是一個人們還沒解決的問題。我們已經知道，用圓填充平面的效果非常糟糕（在最理想的情況下，即使所有圓都緊密排列，也只能覆蓋曲面表面積的90.7%），但是還有比圓更糟糕的圖形——圓角八邊形（smoothed octagon）。
取一個八邊形，將每個角替換為一段雙曲線（雙曲線和圓、橢圓是一家，親密程度大約為堂表親級別）。你會發現，不管你怎麼排列，圓角八邊形的覆蓋率都不會超過90.24%。然而， 可能還有比圓角八邊形更差的圖形，只是我們至今還沒有發現而已。
這個螺旋圖案是由九邊形不斷重複鑲嵌得到的
扭稜正方形鑲嵌和小斜方截半六邊形鑲嵌
與圓形相比，圓角八邊形留下的空隙更大