30年考研數學真題分類解析|專題一:反函數與複合函數

2020-12-16 老梁考研數學

真題及解析

【分析】分段函數的複合函數。主要注意函數複合過程中，內層函數的值域與外層函數的定義域的交集非空。

【分析】本題主要是要弄清楚反函數和原函數的定義域、值域之間的關係.

【評註】從2002年至今差不多20年，考研數學在反函數與複合函數部分並沒有單獨出題。但近些年考研數學都出現了多年未見的題型，如2018年數學一的假設檢驗，2020年數學一求函數解析式。2021年考研數學會不會在分段函數的複合函數及反函數方面習題呢？

知識點連結

一、反函數

1、定義

設 y=f(x) 的定義域為 X ，值域為 Y 。若對任意 y∈Y，都只有唯一的 x∈X，使得 y=f(x) 成立，則按這個對應關係定義的函數稱為 y=f(x) 的反函數。

2、反函數存在的條件

(1) 設 y=f(x) 的定義域為 X，值域為 Y，則 f(x) 存在反函數的充分必要條件是對X 中任意的不同元素 a,b, 都有 f(a)≠f(b)；

(2) 設 y=f(x) 的定義域為 X，值域為 Y。若 f(x) 是 X 上的單調函數，則 f(x) 在 X 上存在反函數，且反函數的具有相同的單調性。

二、複合函數

設 y=f(u) 的定義域和值域分別為 U 和 V，函數 u=g(x) 的定義域與值域分別為 X 和 Y，且 Y∩U 非空。由 y=f[g(x)] 確定的函數稱為由函數 u=g(x) 與函數 y=f(u) 構成的複合函數，變量 u 稱為中間變量。

下期預告：30年考研數學真題分類解析專題二：函數的特性

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