射影定理在直角三角形中的應用

題目：廣元市2019中考數學第23題

（10分）如圖，AB是⊙O的直徑，點P是BA延長線上一點，過點P作⊙O的切線PC，切點是C，過點C作弦CD⊥AB於E，連接CO，CB．

（1）求證：PD是⊙O的切線；

（2）若AB＝10，tanB=1/2，求PA的長；

（3）試探究線段AB，OE，OP之間的數量關係，並說明理由．

（1）點D在圓上，已知半徑求垂直，連結OD

∵CD⊥AB於E

∴由垂徑定理可知CE=ED

Rt△CEP≌Rt△DEP（SAS）

PC=PD

△PCO≌Rt△PDO（SSS）

∠PCO=∠PDO

∵PC與圓切於C點

∴∠PCO=∠PDO=90°

∴PD是⊙O的切線

（2）直徑所對的圓周角是直角，聯結AC

∠ACB=90°，條件AB＝10，tanB=1/2都用上，

求出AC=2根號5，BC=4根號5

三角形CEB又是直角三角形

EC=4，EB=8，AE=2，EO=3，EC=4

Rt△OEC的三邊比是3:4:5

∠1=∠5

求出PE=16/3，PA=10/3

（3）找到AB、OE、OP

AB=2R，R=AB/2

根據射影定理可知，

OC的平方=OE*OP（沒學過用直角三角形相似）

OC=R

∴ AB的平方=4 OE*OP

三條線段長，注意不要簡單認為A=B+C，注意可能是有係數影響的。