巧用射影定理解決問題，在複雜圖形中找出模型圖

射影定理不是什麼摸不著看不見的高深定理，其實這個定理應用還是比較廣泛的，該模型圖又稱為「子母型圖」、「雙垂直圖」等。

（1）兩對相等的銳角、三個直角

由∠ACB=∠CDB=90°，可得∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD+∠B=90°，即∠ACD=∠B；

由∠ACB=∠CDA=90°，可得∠ACD+∠BCD=90°，∠ACD+∠A=90°，即∠BCD=∠A。

（2）三對相似三角形

由∠B=∠ACD，∠BDC=∠ADC，可得△BDC∽△CDA；

由∠CBD=∠ABC，∠BDC=∠BCA，可得△BDC∽△BCA；

由∠CAD=∠BAC，∠ADC=∠ACB，可得△ADC∽△ACB。

（3）三組等積式

由△BDC∽△CDA可得BD：CD=CD：AD，比例式化為等積式可得：CD^2=AD·BD；

由△BDC∽△BCA可得BC：BA=BD：BC，比例式化為等積式可得：BC^2=AB·BD；

由△ADC∽△ACB可得AC：AB=AD：AC，比例式化為等積式可得：AC^2=AB·AD。

即直角邊的平方是其在斜邊上的射影與斜邊的乘積（直角邊為其在斜邊上的射影與斜邊的比例中項）；斜邊上高的平方等於兩直角邊在斜邊上射影的乘積（斜邊上的高等為兩直角邊在斜邊上上射影的比例中項）。

（4）銳角三角函數

tan∠B=tan∠ACD=CD：BD=AD：CD；

cosB=BD：BC=BC：AB；cosA=AD：AC=AC：AB。

例題1：如圖，在△ABC中，AD、BF分別是BC、AC邊上的高，過D作AB的垂線交AB於E，交BF於G，交AC的延長線於H，求證：DE^2＝EG·EH.

分析：先將等積式化為比例式可得，DE：EG=EH：DE，發現不存在△DEG和△DEH，也沒有線段可以等量代換。通過觀察圖形，發現有三垂直圖，根據射影定理可以得到，DE=AE·BE，那麼只需要證明AE·BE=EG·EH即可。將其轉化為比例式，為AE：EH=EG：BE，找到△AEH和△BEG，通過判定定理1可證明兩個三角形相似。

證明：∵在Rt△ABD和Rt△DBE中，DE⊥AB，∠ABD=∠DBE，

∴△DBE∽ADE，

∴DE：AE=BE：DE，即DE^2=AE·BE，

∵在Rt△EBG和Rt△EHA中，∠EBG=∠AHG，

∴Rt△EBG∽Rt△EHA，

∴AE：EG=EH：EB，即EG·EH=AE·EB，

∴DE^2=EG·EH．

例題2：如圖，已知CE是Rt△ABC斜邊AB上的高，在EC的延長線上任取一點P，連接AP，作BG⊥AP，垂足為G，交CE於D，求證：CE＝PE·DE.

分析：首先證Rt△ACE∽Rt△CBE，得出CE^2=AE·BE（即射影定理）；再通過證△AEP∽△BED，得出PE·DE=AE·BE，聯立上述兩式即可得出本題要證的結論．