我發現了一個美妙的證明，但由於空白太小而沒有寫下來。——費馬
0 注
0.1 文章中每一節都有標題，標【基礎知識】的內容，已經了解的同學可以跳過。
0.2 標【*】的內容與主線無關，看不懂或是不感興趣也可以跳過。
0.3 本文主要涉及幾何光學（把光視為理想的光線）。實際上，光程這一概念在波動光學中的作用更加重大。
1 基礎知識
1.1 不正確的表述
2018年8月17日，是「業餘數學家之王」皮埃爾·德·費馬（Pierre de Fermat）誕辰417周年。雖然身為全職律師，他卻比同時代的大多數專業數學家更有成就。和他有關的除了費馬大定理，最廣為人知的就是費馬原理了。我們便從這裡開始說起。對於費馬原理，一個流傳甚廣卻不甚正確的表述如下：
空間中兩點間光線實際的路徑，是光程最短（需時最少）的路徑。
1.2 什麼是光程【物理基礎知識】
1.2.1 折射率
我們知道，光在真空中的速度為c，而在不同介質中有著小於ｃ的不同速度ｖ。對於特定環境（溫度、壓強等）下的均質介質和特定波長的光，對應的速度ｖ是一定的。
我們把c/v這個比值定義為該介質對該光的（絕對）折射率，又稱（絕對）折光率，符號為n。
顯然，光在真空中的折射率為1。
一般來說，介質的溫度越低，光線的波長越短，折射率越大。
1.2.2相對摺射率【*】
同樣的，如果某波長的光在介質1（絕對摺射率為n1）下的速度為v1，在介質2（絕對摺射率為n2）下的速度為v2，則介質1相對介質2的相對摺射率為：
可見，某介質絕對摺射率即為該介質相對真空的相對摺射率。
1.2.3 光程
光程是一個折合量，可理解為在相同時間內光線在真空中傳播的距離，習慣上符號為Δ或δ（大小寫delta）。設折射率為n的介質中從點P到點Q光走的路程為s，則對應的光程為：
當光線經過幾種折射率不同介質時，對應的光程為：
【*】折射率連續變化時，對應的光程為（設光線路徑為L）：
1.2.4 為什麼要引入光程
因為有的時候我們討論光的時間比較麻煩，便將其轉化成光程，方便計算與理解。只要光在兩個介質中走過的時間相等，則光程就相等，比較時間等價於比較光程，二者只不過差了一個光速c而已。光程最短的路徑即需時最少的路徑。
1.3 導數與極值【數學基礎知識】
大約在1629年，費馬研究了作曲線的切線和求函數極值的方法；1637年左右，他寫一篇手稿《求最大值與最小值的方法》。這可以看作是微積分的起源。
注意：這一節並不嚴謹，只是讓沒學過相關知識的同學有一個直觀上的理解。
學過的同學可以跳過這一節，直接到2.1。
1.3.1 切線
P和Q是曲線C上鄰近的兩點，P是定點，當Q點沿著曲線C無限地接近P點時，割線PQ的極限位置PT叫做曲線C在點P的切線，P點叫做切點。
在geogebra中可以演示這一過程，圖中的藍線是直接做出的切線。
【*】經過切點P並且垂直於切線PT的直線PN叫做曲線C在點P的法線。
1.3.2 導數
導數是微積分中的重要基礎概念。當函數y=f(x)的自變量x在一點x0上產生一個增量Δx時，函數輸出值的增量Δy與自變量增量Δx的比值在Δx趨於0時的極限a如果存在，a即為f(x)在x0處的導數。
由定義可知Δy與Δx的比值即為過(x0, f(x0))和(x0 + Δx, f(x0 + Δx))兩點的斜率，無限逼近時則為過(x0, f(x0))的切線的斜率。
如圖在ggb中演示這一過程：
1.繪製一函數f(x)（比如圖中的三次函數f(x) = x³ - 2x² + x + 1）
2.建立兩個滑動條x0和Δx
3.在輸入欄中直接輸入坐標，新建點A (x0, f(x0))，點B (x0 + Δx, f(x0 + Δx))
4.過AB兩點做直線g，度量其斜率a——在輸入欄中輸入a=斜率(g)
5.Δx無限趨近0時，B也無限趨近A，此時a即為f(x)在x0處的導數，也為過A點切線的斜率
1.3.3 極大值和極小值
極值是一個函數的極大值或極小值。如果一個函數在一點附近（嚴格來說是鄰域）處處都有確定的值，而以該點處的值為最大（小），這函數在該點處的值就是一個極大（小）值。
極值點的導數要麼不存在，要麼為0。然而導數為0的點卻不一定是極值點，比如f(x) = x³中的原點，該點導數為0，但卻不是極值。對於常函數來說，導數處處為0，但處處都不是極值。
在ggb中可以求給定函數的極值點。
1.4 費馬原理的簡單應用
費馬原理可以看作是幾何光學的基本原理，我們可以從該原理推導出幾何光學三定律：
1.光的直線傳播（均勻介質或真空）
2.光的反射定律
3.光的折射定律
接下來，我們來看看最開始的表述為什麼不正確。
2 費馬原理的表述
2.1 較準確的表述
我們再來看一下費馬原理不正確的表述：
空間中兩點間光線實際的路徑，是光程最短的路徑。
那麼問題在哪呢？
2.1.1 空間中只有A和B兩點（默認真空或介質勻質）
在這種情況下，這個表述是成立的，我們可以由此推出光的直線傳播。
2.1.2 平面反射鏡
如圖，從A發出的光線，經過平面鏡的反射到達B點，這條光線是可以存在的，然而光程卻不是最短的。當然光程最短的那條光線也是存在的。此時這條反射光線並不是光程最小值，而是光程極小值（三角形兩邊之和大於第三邊）。（後面會提到，實際上這裡「極小值」的表述也是不準確的。）
2.1.3 橢圓反射鏡
如圖，由橢圓的性質可知，過橢圓上任意一點D的切線即為角ADB的外角平分線。因此從橢圓的一個焦點A出發的光線，經過橢圓反射鏡上任意一點的反射，一定會匯聚到另一個焦點B。這時從A 到B有無數條可能存在的光線，其中經橢圓反射鏡反射一次的光線的光程都是相等的（由橢圓定義可知）。
【思考與練習1】對於拋物反射鏡和雙曲反射鏡，情況又如何呢？過兩焦點的這些光線的光程是不是相等的呢？可以用ggb試試看。（提示：對於拋物線而言，可以把另一個焦點視作無窮遠點，過該點的光為平行光）
2.1.4 總結
我們現在可以把最開始的表述修正為：
空間中兩點間光線實際的路徑，是光程取極大值、極小值或恆定值的路徑。
【思考與練習2】試著探究費馬原理和折射定律的關係。
2.2 準確表述
上面的表述是一個比較準確的表述，但仍然有問題。以橢圓反射鏡為例，雖然光程是恆定值，但如果直線的光線稍微一彎曲，光程就會變得更長，從這個角度來講，這又是一種極小值了。可以類比一個半圓柱形的凹槽，凹槽底部有一個小球，則小球的高度（或勢能）在一個方向上是恆定值，但在另一個方向上是極小值（在一個方向上隨遇平衡，在另一個方向上穩定平衡）。再比如說馬鞍面的鞍點（z=xy），既是極大值又是極小值（也可以說都不是）。
2.2.1 經典表述
實際上，費馬原理最經典的表述為：
空間中兩點間光線實際的路徑，是光程平穩的路徑。
而對於「平穩」解釋最為準確的表述應該為：
空間中兩點間光線實際的路徑，是光程變分為0的路徑。
2.2.2 泛函與變分（僅僅直觀解釋以供理解）
什麼是函數？函數是數集到數集的映射。
什麼是泛函？泛函是函數集到數集的映射。
光的路徑就是函數。光的所有路徑的集合就是一個函數集。我們可以把路徑看作是自變量，光程看作是因變量，它們之間構成泛函關係。
導數之於函數類似於變分之於泛函。變分為0類似於導數為0。這樣，我們就把費馬原理的種種情況包括在內了。