費馬點的探索與應用

2021-02-08 VOA數學

「懸」而未決

「轉」出精彩

【問題提出】如圖△ABC所有的內角都小於120度，在△ABC內部有一點P，連接PA、PB、PC，當PA+PB+PC的值最小時，求此時∠APB與∠APC的度數。

【問題分析】關於求幾何最值問題，我們一般可以藉助以下兩個公理來處理：

（1）定點到定點：兩點之間線段最短；

（2）定點到直線：垂線段最短。

因此，我們要想辦法把PA、PB、PC這三條分散的線段轉化為連續的折線，然後藉助兩點之間線段最短找到符合條件的點P。在解決幾何最值問題過程中，我們常藉助對稱變換、平移變換和旋轉變換，本題牽涉三條線段，因此我們可以考慮旋轉變換。


【問題處理】

【問題歸納】符合條件的點P,我們把它叫做費馬點。 所謂的「費馬點」就是法國著名業餘數學家費馬在給數學朋友的一封信中提出關於三角形的一個有趣問題：「在三角形所在平面上，求一點，使該點到三角形三個頂點距離之和最小．」讓朋友思考,並自稱已經證明了。這是費馬通信的一貫作風。人們稱這個點為「費馬點」。還有像著名的費馬大定理（當整數n >2時，關於x, y, z的方程 x^n + y^n = z^n 沒有正整數解。）也是這樣，給歐拉的信中提出的，自稱已經「有了非常巧妙的證明」。直到離開也沒告訴人家這個所謂證明，結果困擾世界數學界三百多年。


費馬點就是到三角形的三個頂點的距離之和最小的點．費馬點結論：對於一個各角不超過120°的三角形，費馬點是對各邊的張角都是120°的點；對於有一個角超過120°的三角形，費馬點就是這個內角的頂點．

 

【相關應用】



【小結與思考】

通過旋轉變換，可以改變線段的位置，優化圖形的結構。一般地，當題目出現等腰三角形/等邊三角形或正方形條件時，可將圖形作旋轉60°或90°的幾何變換，將不規則圖形變為規則圖形，或將分散的條件集中在一起，以便挖掘隱含條件，從而解決問題。此外，大家還可以思考如何尋找不規則四邊形或n邊形的「費馬點」！

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