引例
有甲乙丙三個村莊，要在中間建一供水站向三地送水，現要確定供水站的位置以使所需管道總長最小？
將此問題用數學模型抽象出來即為：
在如下圖的△ ABC（3個內角均小於120°）中確定一點P，使P到三頂點的距離之和PA+PB+PC最小。
求解方法：先看下面的旋轉動態圖，
得到的靜態圖如下：
即得到這樣的靜態圖：
得到的結論真奇妙！即：
當的每一個內角都小於120°時，所求的點P對三角形每邊的張角都是120°.
反思1：這個旋轉60°構造全等的方法是怎麼想到的？
或者依據什麼想到的？
……
反思2：現在費馬點得到了證明，那麼假設給出一個三角形，如何作圖把該點作出來呢？
如上圖，分別以三角形的三邊向外作等邊三角形，然後作這些等邊三角形的外接圓，外接圓的交點即是所求的費馬點P.
真是太漂亮了！
定義：數學上稱，到三角形3個頂點距離之和最小的點為費馬點。
它是這樣確定的：
1. 如果三角形有一個內角大於或等於120°，這個內角的頂點就是費馬點；
2. 如果3個內角均小於120°，則在三角形內部對3邊張角均為120°的點，是三角形的費馬點。
3. 費馬點與3個頂點連成的線段是溝通3點的最短路線，容易理解，這個路線是唯一的。
我們稱這一結果為最短路線原理。
性質——費馬點有如下主要性質：
1． 費馬點到三角形三個頂點距離之和最小。
2． 費馬點連接三頂點所成的三夾角皆為120°。
3． 費馬點為三角形中能量最低點。
4． 三力平衡時三力夾角皆為120°，所以費馬點是三力平衡的點。
應用
1．（2019秋永定區期中）（1）如圖1，點P是等邊△ABC內一點，已知PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度數．
分析：要直接求∠A的度數顯然很因難，注意到條件中的三邊長恰好是一組勾股數，因此考慮藉助旋轉把這三邊集中到一個三角形內．
解：如圖2，作∠PAD＝60°使AD＝AP，連接PD，CD，則△PAD是等邊三角形．
∴ ＝AD＝AP＝3，∠ADP＝∠PAD＝60°
∵△ABC是等邊三角形
∴AC＝AB，∠BAC＝60°.
∴∠BAP＝_________,
∴△ABP≌△ACD
∴BP＝CD＝4，______＝∠ADC
∵在△PCD中，PD＝3，PC＝5，CD＝4，PD2+CD2＝PC2
∴∠PDC＝______ °
∴∠APB＝∠ADC＝∠ADP+∠PDC＝60°+90°＝150°
（2）如圖3，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，點P是△ABC內一點，PA＝1，PB＝2，PC＝3，求∠APB的度數．
（3）拓展應用．如圖（4），△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝4，BC＝5，P是△ABC內部的任意一點，連接PA，PB，PC，則PA+PB+PC的最小值為_______．
【解析】（1）根據全等三角形的判定和性質解決問題即可．故答案為：PD，∠CAD，∠APB，90．
（2）∵∠ABC＝90°，BC＝AB，
∴把△PBC繞B點逆時針旋轉90°得到△DBA，如圖，
∴AD＝PC＝3，BD＝BP＝2，
∵∠PBD＝90°，
∴△APD為直角三角形，∴∠APD＝90°，
∴∠APB＝∠APD+∠DPB＝90°+45°＝135°．
（3）如圖4中，將△ABP繞著點B逆時針旋轉60°，得到△DBE，連接EP，CD，
∴△ABP≌△DBE
∴∠ABP＝∠DBE，BD＝AB＝4，∠PBE＝60°，BE＝PE，AP＝DE，
∴△BPE是等邊三角形，∴EP＝BP.
∴AP+BP+PC＝PC+EP+DE,
∴當點D，點E，點P，點C共線時，PA+PB+PC有最小值CD
∵∠ABC＝30°＝∠ABP+∠PBC,
∴∠DBE+∠PBC＝30°.
∴∠DBC＝90°.
2．（2019秋蔡甸區期中）在△ABC中，∠ABC＝60°
（1）AB＝AC，PA＝5，PB＝3
①如圖1，若點P是△ABC內一點，且PC＝4，求∠BPC的度數．
②如圖2，若點P是△ABC外一點，且∠APB＝60°，求PC的長．
（2）如圖3，AB＜AC，點P是△ABC內一點，AB＝6，BC＝8，則PA+PB+PC的最小值是____．
【解析】（1）①如圖1，將△ABP繞點B順時針旋轉60°得到△CBP′，連接PP′，利用勾股定理的逆定理證明△CPP′是直角三角形即可解決問題．∠BPC＝150°
②如圖2中，以AP為邊向上作等邊△PAE，作EF⊥BP交BP的延長線於F．利用全等三角形的性質證明BE＝PC，解直角三角形求出BE即可解決問題．PC＝7．
（2）如圖3中，將△PBF繞點B逆時針旋轉60°得到△BFE，作EH⊥CB交CB的延長線於H．
∵∠ABC＝60°，∠PBF＝60°，
∵∠ABP＝∠EBF，∴∠EBF+∠BC＝60°，∴∠EBC＝120°，
∵PB＝BF，∠PBF＝60°，
∴△PBF是等邊三角形，∴PB＝PF，
∵PA＝EF，∴PA+PB+PC＝CP+PF+EF，
根據兩點之間線段最短可知，當E，F，P，C共線時，PA+PB+PC的值最小，最小值＝EC的長，
在Rt△EBH中，∵∠EBH＝60°，EB＝6，
3.（2019雁塔區校級模擬）問題提出
（1）如圖①，在△ABC中，BC＝2，將△ABC繞點B順時針旋轉60°得到△A′B′C′，則CC′＝______；
問題探究
（2）如圖②，在△ABC中，AB＝BC＝3，∠ABC＝30°，點P為△ABC內一點，連接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值，並說明理由；
問題解決
（3）如圖③，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝6，AD＝4，∠ABC＝∠BCD＝60°．在四邊形ABCD內部有一點，滿足∠APD＝120°，連接BP、CP，點Q為△BPC內的任意一點，是否存在一點P和一點Q，使得PQ+BQ+CQ有最小值？若存在，請求出這個最小值；若不存在，請說明理由．
【解析】（1）如圖①，根據等邊三角形的判定和性質解決問題即可．故答案為2．
（2）如圖②，將△ABP繞點B逆時針旋轉60°得到△BFE，連接PF，EC．
由旋轉的性質可知：△PBF是等邊三角形，
∴PB＝PF，
∵PA＝EF，
∴PA+PB+PC＝PC+PF+EF，
∵PC+PF+EF≥EC，
∴當P，F在直線EC上時，PA+PB+PC的值最小，
易證BC＝BE＝BA＝3，∠CBE＝90°，
∵EB⊥BC，
∴EC＝√2BC＝3√2，
∴PA+PB+PC的最小值為3√2．
（3）如圖③﹣1中，將△PBQ繞點B逆時針旋轉60°得到△EBG，則PQ＝EG，△BQG是等邊三角形，
∴BQ＝QG，PQ＝EG，
∴PQ+BQ+CQ＝EG+GQ+QC≥EC，
∴EC的值最小時，QP+QB+QC的值最小，
如圖③﹣2中，延長BA交CD的延長線於G，作△ADG的外接圓⊙O，將線段BO，BP繞點B逆時針旋轉60°得到線段BQ′，BE，連接EO′，OB，OP．
易證△BEO′≌△BPO（SAS），
∴EO′＝OP，
∵∠APD+∠AGD＝180°，
∴A，P，D，G四點共圓，
∴OP＝4√3/3，
∴EO′＝4√3/3，
∴點E的運動軌跡是以O′為圓心，4√3/3為半徑的圓，∴當點E在線段CO′上時，EC的值最小，最小值＝CO′﹣EO′，
連接OO′，延長OO′到R，使得O′R＝OO′，連接BR，則∠OBR＝90°，作RH⊥CB交CB的延長線於H，O′T⊥CH於T，OM⊥BC於M．
歸納
有關幾何綜合探究問他在，常常出現或構造出三角形或四邊形繞一個點旋轉的形式出現，在旋轉過程中會出現變化的元素與不變的元素，在旋轉過程中常常會隱含著一些「秘密」，並把看似散漫的已知條件集中起來，了解並掌握這些「秘密」可以使自己快速找到相應線段或角之間的關係，從而快速找到解題途徑。