「旋轉」是現實生活和生產中廣泛存在的現象，是現實世界運動變化的最簡捷的形式之一，它不僅是探索圖形一些性質的必要手段，而且也是解決現實世界中的具體問題以及進行數學交流的重要工具. 它既有利於考查學生的動手操作能力和空間思維能力，又培養了學生的創新意識和綜合運用知識的能力，因此成為近年來中考命題的熱點。多以圖形為載體、以旋轉為手段考查同學們操作、想像、探究能力的中考題層出不窮，今舉數例，供參考，期待的關注。
類型1 網格作圖問題
例1．正方形網格中（網格中的每個小正方形邊長是1），△ABC的頂點均在格點上，請在所給的直角坐標系中解答下列問題：
（1）作出△ABC繞點A逆時針旋轉90°的△AB1C1．
（2）作出△ABC關於原點O成中心對稱的△A1B2C2．
（3）請直接寫出以A1、B2、C2為頂點的平行四邊形的第四個頂點D的坐標．
【分析】（1）作出A、B、C的對應點A、B1、C1即可解決問題；
（2）作出A、B、C的對應點A1、B2、C2即可解決問題；
（3）畫出點D的位置，寫出坐標即可；
【解答】（1）如圖，△AB1C1為所作；
（2）如圖，△A1B2C2為所作；
（3）點D的坐標為（5，3）或（﹣1，1）或（3，﹣1）．
故答案為：（5，3）或（﹣1，1）或（3，﹣1）．
【點評】本題考查作圖﹣旋轉變換、平行四邊形的判定和性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬於中考常考題型．
類型2 規律探究問題
例2.如圖所示，在平面直角坐標系中，已知點A（﹣4，0）、B（0，3），對△AOB連續作旋轉變換可以依次得到三角形（1）、（2）、（3）、（4）、…請你仔細觀察圖形，並解決以下問題：
（1）第（2）個三角形的直角頂點坐標是_______；
（2）第（5）個三角形的直角頂點坐標是________；
（3）第（2018）個三角形的直角頂點坐標是________．
【分析】利用勾股定理列式求出AB的長，再根據圖形寫出第（3）個三角形的直角頂點的坐標即可；觀察圖形不難發現，每3個三角形為一個循環組依次循環，用2018除以3，根據商和餘數的情況確定出第（2018）個三角形的直角頂點的坐標即可．
【解答】∵點A（﹣4，0），B（0，3），∴OA=4，OB=3，
【點評】本題考查了坐標與圖形變化﹣旋轉，勾股定理的應用，觀察圖形，發現每3個三角形為一個循環組依次循環是解題的關鍵．
類型3 圖形操作問題
例3．我們數學上將內角度數小於180°的四邊形叫做凹凸四邊形，
形如圖（1），（2），（4）是凸四邊形，（3）不是凸四邊形．
操作：已知如圖，兩個全等的三角形紙片△ABC和△DEF，其中AB=6，AC=3，BC=4，按照下列要求把這兩個三角形紙片無縫拼接，且沒有重疊，畫出所有可能的示意圖，並寫出所拼出圖形的周長．
（1）拼接成軸對稱的凸四邊形，寫出對應的周長．
（2）拼接成中心對稱的凸四邊形，寫出對應的周長．
【解答】根據旋轉的性質進行結合題目所給材料，理解凸四邊的特點就是每一個內角都小於180°．結合題目所給的△ABC和△DEF三邊的數值或者觀察，可知∠ACB=∠DFE＞90°．第一問中，要組成軸對稱圖形，考慮對稱性和不重疊的關係，所以有以下情況：
第一種A、C兩點分別與D、F兩點對應重合；
第二種C、B兩點分別與F、E兩點對應重合；
第三種A、B兩點分別與D、E兩點對應重合．
但是第一種和第二種不屬於凸四邊形，只有第三種符合題意要求．
在第二問中，要求組成中心對稱圖形，所以有以下情況：
第一種A、C兩點分別與F、D兩點對應重合，且此時四邊形ABCE為平行四邊形；
第二種C、B兩點分別與E、F兩點對應重合，同理得到四邊形ABDC為平行四邊形；
第三種A、B兩點分別與E、D兩點對應重合，同理得到四邊形DCEF為平行四邊形．
故答案為：（1）周長為14
（2）第一種周長為20；第二種周長為18；第三種周長為14．
【點評】此題考查利用旋轉設計圖案問題，關鍵是理解凸四邊的特點和旋轉的性質解答．
類型4 類比探究問題
例4．如圖，在正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN繞點A順時針旋轉，它的兩邊分別交CB，DC（或它們的延長線）於點M、N．AH⊥MN於點H．
（1）當∠MAN繞點A旋轉到BM=DN時，請你直接寫出線段AH與AB的數量關係_______．（不需證明）
（2）當∠MAN繞點A旋轉到BM≠DN時，問（1）中線段AH與AB的數量關係還成立嗎？若成立，給出證明，若不成立，說明理由．
【分析】（1）根據全等三角形的性質即可判斷；
（2）成立．延長CB至E，使BE=DN．想辦法證明△AEM≌△ANM（SAS）即可解決問題；
【解答】（1）AH=AB （或相等）；
理由：∵AB=AD，∠B=∠D，BM=DN，
∴△ABM≌△ADN（SAS），
∴∠BAM=∠DAN，AM=AN，
∵AH⊥MN，∠MAN=45°，
∴∠BAM=∠MAH=22.5°，
∵AM=AM，∠B=∠AHM=90°，
∴△ABM≌△AHM（ASA），
∴AB=AH．
故答案為AH=AB（ 或相等）．
（2）成立．
證明：延長CB至E，使BE=DN．
∵AB=AD，BE=DN，∠ABE=∠D=90°，
∴△ABE≌△ADN（SAS），
（或 將△ADN繞點A順時針旋轉90°得△ABE也可）
∴AN=AE，∠BAE=∠DAN，
∵∠MAN=45°，
∴∠BAM+∠DAN=45°即∠BAM+∠BAE=45°，
∴∠EAM=∠MAN=45°且AM=AM，AE=AN，
∴△AEM≌△ANM（SAS），
∴EM=MN，S△AEM=S△ANM，
∴1/2AB×EM=1/2AH×MN，
∴AB=AH．
【點評】本題考查旋轉變換、正方形的性質、全等三角形的判定和性質、三角形的面積等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬於中考常考題型．
類型5 閱讀探究問題
例5.閱讀理解：課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：
如圖1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC邊上的中線AD的取值範圍．
小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到E，使得DE=AD，再連接BE（或將△ACD繞點D逆時針旋轉180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三邊關係可得2＜AE＜8，則1＜AD＜4．
感悟：解題時，條件中若出現「中點」「中線」字樣，可以考慮構造以中點為對稱中心的中心對稱圖形，把分散的已知條件和所求證的結論集中到同一個三角形中．
（1）問題解決：受到（1）的啟發，請你證明下面命題：如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE⊥DF，DE交AB於點E，DF交AC於點F，連接EF．
①求證：BE+CF＞EF；②若∠A=90°，探索線段BE、CF、EF之間的等量關係，並加以證明；
（2）問題拓展：如圖3，在平行四邊形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中點，作CE⊥AB，垂足E在線段AB上，聯結EF、CF，那麼下列結論①∠DCF=1/2∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．中一定成立是______（填序號）．
【分析】（1）問題解決：①延長FD到G，使得DG=DF，連接BG、EG．（或把△CFD繞點D逆時針旋轉180°得到△BGD），利用三角形的三邊關係即可解決問題；
②若∠A=90°，則∠EBC+∠FCB=90°，在Rt△EBG中，根據BE^2+BG^2=EG^2，即可解決問題；
（2）問題拓展：由在平行四邊形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中點，易得AF=FD=CD，繼而證得①∠DCF=1/2∠BCD；然後延長EF，交CD延長線於M，分別利用平行四邊形的性質以及全等三角形的判定與性質得出△AEF≌△DMF（ASA），得出對應線段之間關係進而得出答案．
【解答】（1）①延長FD到G，使得DG=DF，連接BG、EG．（或把△CFD繞點D逆時針旋轉180°得到△BGD），
∴CF=BG，DF=DG，
∵DE⊥DF，
∴EF=EG．
在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．
②若∠A=90°，則∠EBC+∠FCB=90°，
由①知∠FCD=∠DBG，EF=EG，
∴∠EBC+∠DBG=90°，即∠EBG=90°，
∴在Rt△EBG中，BE^2+BG^2=EG^2，
∴BE^2+CF^2=EF^2；
（2）：①∵F是AD的中點，
∴AF=FD，
∵在ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF=1/2∠BCD，故此選項正確；
②延長EF，交CD延長線於M，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F為AD中點，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，∠A=∠MDF，AF=DF, ∠AFE=∠DFM,
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴FC=EF=FM，故②正確；
③∵EF=FM，
∴S△EFC=S△CFM，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC
故S△BEC=2S△CEF錯誤；
④設∠FEC=x，則∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，
∴∠EFC=180°﹣2x，
∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，
∵∠AEF=90°﹣x，
∴∠DFE=3∠AEF，故此選項正確．
故答案為①②④．
【點評】本題考查四邊形綜合題、平行四邊形的性質、全等三角形的判定和性質、三角形的三邊關係、勾股定理、三角形的面積等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬於中考壓軸題．
類型6 新定義探究問題
例6.我們定義：如圖1、圖2、圖3，在△ABC中，把AB繞點A順時針旋轉α（0°＜α＜180°）得到AB′，把AC繞點A逆時針旋轉β得到AC′，連接B′C′，當α+β=180°時，我們稱△AB'C′是△ABC的「旋補三角形」，△AB′C′邊B'C′上的中線AD叫做△ABC的「旋補中線」，點A叫做「旋補中心」．圖1、圖2、圖3中的△AB′C′均是△ABC的「旋補三角形」．
（1）①如圖2，當△ABC為等邊三角形時，「旋補中線」AD與BC的數量關係為：AD=___ BC；
②如圖3，當∠BAC=90°，BC=8時，則「旋補中線」AD長為_____．
（2）在圖1中，當△ABC為任意三角形時，猜想「旋補中線」AD與BC的數量關係，並給予證明．
【分析】（1）①首先證明△ADB′是含有30°是直角三角形，可得AD=AB′即可解決問題；
②首先證明△BAC≌△B′AC′，根據直角三角形斜邊中線定理即可解決問題；
（2）結論：AD=BC．如圖1中，延長AD到M，使得AD=DM，連接B′M，C′M，首先證明四邊形AC′MB′是平行四邊形，再證明△BAC≌△AB′M，即可解決問題；
【解答】（1）①如圖2中，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC=AB′=AC′，
∵DB′=DC′，
∴AD⊥B′C′，
∵∠BAC=60°，∠BAC+∠B′AC′=180°，
∴∠B′AC′=120°，
∴∠B′=∠C′=30°，
∴AD=1/2AB′=1/2BC，
故答案為1/2．
②如圖3中，
∵∠BAC=90°，∠BAC+∠B′AC′=180°，
∴∠B′AC′=∠BAC=90°，
∵AB=AB′，AC=AC′，
∴△BAC≌△B′AC′，
∴BC=B′C′，
∵B′D=DC′，
∴AD=1/2B′C′=1/2BC=4，
故答案為4．
（2）結論：AD=1/2BC．
理由：如圖1中，延長AD到M，使得AD=DM，連接B′M，C′M
∵B′D=DC′，AD=DM，
∴四邊形AC′MB′是平行四邊形，
∴AC′=B′M=AC，
∵∠BAC+∠B′AC′=180°，∠B′AC′+∠AB′M=180°，
∴∠BAC=∠MB′A，∵AB=AB′，
∴△BAC≌△AB′M，
∴BC=AM，
∴AD=1/2BC．
【點評】本題是四邊形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質、平行四邊形的判定和性質、直角三角形30度角性質、等邊三角形的判定和性質、矩形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬於中考壓軸題．
類型7 最值探究問題
例7.如圖，△ABC中，AC=BC=4，點D、E分別是AC、BC邊上中點，將△DEC繞點C旋轉角度α（0°＜α＜360°）得到△D′E′C，連接AD，BE．
（1）如圖一，若∠C=60°，在旋轉過程中，求證：AD′=BE′；
（2）如圖二，在（1）的旋轉過程中，邊D′E′的中點為P，連接AP，求AP最大值．
（3）如圖三，若∠C=90°，△CDE繞點C順時針旋轉，得到△CD′E′，設旋轉角為α（0＜α≤180°），直線AD′與BE′的交點為P，連接PC，直接寫出△PBC面積的最大值為_______．
【分析】（1）欲證明AD′=BE′，只要證明△BCE′≌△ACD′（SAS）即可；
（2）如圖二中，連接PC．求出PC的值，利用三角形的三邊關係即可解決問題；
（3）如圖三中，設AC交BP於K．首先證明∠APK=90°由∠E′CD′+∠E′PD′=180°，推出P，E′，C，D′四點共圓，直徑是D′E′=2√2，推出當四邊形PE′CD′是正方形時，PC的值最大，PC=D′E′=2√2，此時PC⊥BC，由此即可解決問題；
【解答】（1）如圖一中，
∵CA=CB，∠ACB=60°，
∴△ACB是等邊三角形，
∵點D、E分別是AC、BC邊上中點，
∴CE=CE′=CD=CD′，
∵∠ACB=∠D′CE′=60°，
∴∠BCE′=∠ACD′，
∴△BCE′≌△ACD′（SAS），
∴AD′=BE′．
（2）如圖二中，連接PC．
∵CE′=CD′，∠E′CD′=60°，
∴△E′CD′是等邊三角形，
∵PD′=PE′，
∴PC⊥D′E′，
∵CD′=2，PE′=1，
∴由勾股定理可求得PC=√3，
∵AC=4，
∴4﹣√3≤PA≤4+√3，
∴PA的最大值為4+√3．
（3）如圖三中，設AC交BP於K．
∵CB=CA，CE′=CD′，∠BCA=∠E′CD′=90°，
∴∠BCE′=∠ACD′，
∴△BCE′≌△ACD′，
∴∠CBE′=∠CAD′，
∵∠CBK+∠CKB=90°，∠CKB=∠AKP，
∴∠AKP+∠PAK=90°，
∴∠APK=90°
∴∠E′CD′+∠E′PD′=180°，
∴P，E′，C，D′四點共圓，直徑是D′E′=2√2，
∴當四邊形PE′CD′是正方形時，PC的值最大，PC=D′E′=2√2，此時PC⊥BC，
∴△PBC的面積的最大值為1/2×4×2√2=4√2．
故答案為4．
【點評】本題考查幾何變換綜合題、旋轉變換、全等三角形的判定和性質、等邊三角形的性質、等腰直角三角形的性質、四點共圓等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬於中考壓軸題．
從以上幾例可以看出，解決這類問題的關鍵是要把握以下三點：
1.在解題時，認真觀察圖形，不放過一個細節，看清旋轉的角度和方向，找準旋轉前後的相關的角與邊，在旋轉的過程中，弄清變與不變的量；
2.解決這類問題時，我們通常將其轉換成全等形求解，根據旋轉變換的特徵，找到對應的全等形，通過線段、角的轉換達到求解的目的.
3.當條件比較分散時，可通過旋轉變換把分散的條件集中在一個三角形，其中旋轉的角度是構圖的關鍵．通常把圖形旋轉到特定的位置或是特殊的角度，當三角形繞某一頂點旋轉90°時，可出現等腰直角三角形，當三角形繞某一頂點旋轉60°時，可出現等邊三角形．於是可把陌生問題轉化為熟悉問題，把複雜問題轉化為簡單問題．