初二上學期,旋轉60°和90°角內的線段,構造全等三角形

2020-12-14 勤十二談數學

在一個等邊三角形、等腰直角三角形或正方形中,如果有一條與解題相關的線段或一個三角形,可以將這條線段或三角形進行旋轉60°(或90°),然後和另外一條邊構成全等三角形。也就是我們常說的,半角模型或旋轉模型。這是構造全等三角形比較常見的一種輔助線,難度相對來說比較大,因為一般需要構造多條輔助線。

例題1:如圖,已知在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,點D是BC上的任意一點,探究:BD^2+CD^2與AD^2的關係,並證明你的結論

分析:

本題證明的是三條線段平方的關係,應該用到的是勾股定理,並且可以發現三條線段不在同一個三角形中。因此,我們首要的任務是:將三條線段放到一個三角形中,然後再去證明這個三角形是直角三角形。那麼,我們需要做輔助線,用「等量代換」的思想將不在一個三角形中的三條線段放在同一個三角形裡。通過已知條件,可知△ABC是等腰直角三角形,利用旋轉的思想將△BAD繞著點A逆時針旋轉90°,使得線段AB與線段AC重合。

當然,如果不用旋轉全等來解該題也是可以的。數學上一道題目往往可以有多種解題方法,我們也可以試著用其它方法來解答該題。

例題2:已知:△ABC是正三角形,P是三角形內一點,PA=3,PB=4,PC=5.求:∠APB的度數.

分析:

和例題1一樣,解題的關鍵是考慮把PA、PB、PC放在一個三角形中,而旋轉恰好能實現這一目標.先把△ABP旋轉60°得到△BCQ,連接PQ,根據旋轉性質可知△BCQ≌△BAP,由於∠PBQ=60°,BP=BQ,易知△BPQ是等邊三角形,從而有PQ=PB=4,而PC=5,CQ=3,根據勾股定理逆定理易證△PQC是直角三角形,即∠PQC=90°,進而可求∠APB。

遇到60°、90°角時,可以試著利用旋轉構造全等三角形來解決問題。

相關焦點

  • 初二上學期,以角平分線為對稱軸構造全等三角形,常見輔助線之一
    在初二上學期,我們又遇到了角平分線,這次結論就比較多了。首先有角平分線的性質定理和判定定理,這也是角平分線很常見的輔助線之一。角平分線上的點到角兩邊的距離相等,過角平分線上任意一點作角兩邊的垂線,得到垂線段相等。再有三線合一,也是看到角平分線需要的想到的輔助線之一。
  • 中考熱點:構造全等三角形之旋轉法,高效突破重難點
    在解決等腰直角三角形、等邊三角形、正方形、頂角為特殊角的等腰三角形問題時,若已知條件較為分散,可以考慮利用旋轉知識來構造全等三角形來解題,可高效突破有關難題,舉例說明如下。類型2 發現圖形特徵,通過旋轉構造全等三角形此突破口破解難題例3. 如圖,等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點M,N在邊BC上,且∠MAN=45°.若BM=1,CN=3,則MN的長為______.
  • 全等三角形旋轉拼接法構造半角模型證明線段和差問題
    1.旋轉拼接法:是初中數學幾何中一種輔助線的添加方法,也是把幾何題化難為易的一種思想。通過旋轉拼接得到一個新三角形,證明它與某三角形全等,從而解決問題的方法。2.常見題型:在一個大角中,用它的一半進行旋轉,從而探究某些線段之間的關係。(概括為:大角裡面轉半角,旋轉拼接證全等。)
  • 初二上學期,連接法構造全等三角形,最基礎卻很重要的輔助線
    全等三角形中有很多輔助線的做法,連接法構造全等三角形是我們在學習全等三角形時第一個遇到的輔助線的做法,雖然基礎卻很重要,在軸對稱這一章節中也出現了利用連接法構造全等三角形的知識點。根據已知條件無法直接證明△AOC≌△BOD,不要自己增加條件證明,因此想到添加輔助線,可連接線段CD或線段AB,通過SSS證明兩個三角形全等。
  • 初二數學,利用輔助線構造全等三角形,輕鬆求解平行線間線段長度
    勾股定理是初二數學的重要知識點,求平行線段間的距離是常見題型,本文就例題詳細解析利用這類題型的輔助線作法和解題思路,希望能給初二學生的數學學習帶來幫助。例題如圖,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,三角形的頂點在相互平行的三條直線l1,l2,l3上,且l1,l2之間的距離為1,l2,l3之間的距離為2,求AC的長。
  • 圖形分析|巧旋轉造條件證全等三角形
    旋轉變換,在三角形中,證明線段相等,通常是利用全等三角形。在題目圖形中,找尋線段所在的兩個三角形,也可以通過變換手段來構造出線段所在的新三角形。訓練對圖形的改造,拓寬三角形,增強圖形內涵。如圖,三角形ABC中,邊AC=BC,角C=20度,角ADB=30度,求證線段AB=CD。
  • 談談全等三角形中的輔助線構造
    【類型2 截取法構全等】【方法】利用對稱性,在角的兩邊截取相等的線段,構造全等三角形;】【方法點撥】遇到三角形的中線,倍長中線,使延長線段與原中線長相等,構造全等三角形.,把分散的已知條件和所求證的結論集合到同一個三角形中.
  • 初二數學期中複習,這道證明題好難,學會構造全等三角形輕鬆求解
    添加輔助線是初二幾何證明計算題的難點,構造全等三角形、等邊三角形是證明線段相等的重要途徑,本文就例題詳細解析利用截長補短法證明線段相等的輔助線作法和解題思路,希望能給初二學生的數學學習帶來幫助。例題(1)已知:△ABC為等腰三角形,其底邊長是BC,點D在線段AB上,E是直線BC上一點,且∠DEC=∠DCE,若∠A=60°(如圖1),求證:EB=AD。(2)若將(1)中的「點D在線段AB上」改為「點D在線段AB的延長線上」,其他條件不變(如圖2),(1)中的結論是否成立?
  • 全等三角形解題方法、思路及技巧匯總
    全等三角形是初中數學中非常重要的內容,今天我們就把初二數學中,與全等三角形相關的方法、思路及技巧都來整理一下。一、全等三角形的性質與判定。三、構造全等三角形的一般方法1、題目中出現角平分線(1)通過角平分線上的某個已知點,向兩邊作垂線,這是利用角平分線的性質定理或者逆定理來構造的全等三角形(2)在角平分線的某個已知點,作角平分線的垂線和兩邊相交,構造全等三角形
  • 八年級數學-構造旋轉型全等
    角平分線上;②∠MEN=90°.由角平分線得EP=EQ,由∠MEN=90°=∠PEQ,得∠PEM=∠QEN.至於手連心模型中的旋轉型全等,則可看成是建立在鄰邊相等、對角互補基礎上的旋轉構造.02旋轉構造-對角互補四邊形旋轉構造如圖,在四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD+∠BCD=180°,則可將△ABC繞點A旋轉得△ADE,其中C、D、E共線,且△ACE是等腰三角形.
  • 從初二幾何全等三角形角度證明手拉手模型的12個結論
    所以必須先把上圖,這基礎的內容弄懂,理解透徹手拉手模型,在三角形全等、相似、等邊三角形判定、等腰三角形判定、截長補短、角平分線性質、四點共圓的性質與判定等幾何問題中常用。現在我們從三角形全等的角度來學習手拉手模型。手拉手模型到底有什麼用?怎麼用?
  • 全等三角形專題——截長補短法構造全等
    截長補短法構造介紹若遇到證明線段的和差倍分關係時,通常考慮截長補短法,構造全等三角形。,比如同在三角形中,或者同在一條直線上。在BC線段上截取BE,連接DE,這樣∠BAD和∠BCD就有辦法聯繫在一起了。
  • 初中八年級幾何全等三角形——截長補短法證明線段和差問題
    全等三角形——截長補短法證明線段和差問題對於初中八年級同學來說,幾何已經不單純的是畫平行線,了解三角形的一些基本特徵就可以了。之所以說初二難,主要就是初二幾何難度在加深,要求同學們要轉變思維方式。所以要學好初二數學,必須要學會做輔助線,創造完善條件,來證明。今天就以——截長補短法輔助線的做法來進行示例截長補短法,是初中數學幾何題中一種輔助線的添加方法,也是把幾何題化難為易的種思想。截長就是在一長邊上截取一段等於某條短邊,補短就是在一條短邊上延長,使其等於最長邊。
  • 半角模型——全等三角形的輔助線也能這樣做?
    圖中是90°角的半角模型,即45°角!當然,還有120°角的半角模型,以及60°角的半角模型。而這些角,毫無疑問,都是特殊角!怎麼解決半角模型?在半角模型的題目中,常用的方法是構造全等三角形。下面介紹幾種常見的方法!
  • 「中考」全等三角形6大類模型(帶例題)教你秒殺初中幾何!
    6.圖形補全法:有一個角為60度或120度的把該角添線後構成等邊三角形。7.角度數為30、60度的作垂線法:遇到三角形中的一個角為30度或60度,可以從角一邊上一點向角的另一邊作垂線,目的是構成30-60-90的特殊直角三角形,然後計算邊的長度與角的度數,這樣可以得到在數值上相等的二條邊或二個角。
  • 利用輔助線構造全等三角形的方法一:倍長中線法
    在全等三角形這一章中,我們常會遇到一些證明角角、邊邊關係的證明題,而在題目中又找不到現成的看起來全等的三角形,那就需要我們自己添加輔助線,構造全等三角形。那如何添加輔助線、構造出與所要證明的問題有關的全等三角形呢?
  • 初二數學,幾何題的輔助線有點難?這樣構造全等三角形原來很簡單
    全等三角形的判定和性質是初二數學的重要知識點,在幾何證明計算題中的運用相當廣泛,本文就例題詳細解析運用全等三角形知識點解題的方法和輔助線作法,希望能給初二學生的數學學習帶來幫助。解題過程:延長BD,取BE=BC,連接CE,在BC上取BF=BA,連接DF根據等邊對等角的性質和題目中的條件:三角形中相等的邊所對應的角相等,AB=AC,則∠ABC=∠ACB;根據題目中條件和結論:∠A=100°,∠
  • 初二暑假預習,利用全等三角形測量距離,選對判定定理很重要
    那就需要藉助全等三角形,把無法測量的線段轉化為能夠測量的線段,在確定方案前,選對判定定理很重要。寫出你的設計方案並將圖畫在右邊的圖形上。【分析】利用三角形全等,巧妙地用SAS證明△ACB≌△DCE,藉助兩個三角形全等,量出DE的長度就是AB的長度。還可以用三角形的中位線來設計方案,三角形的中位線等於第三邊的一半。
  • 全等三角形專題——角平分線構造全等
    配套視頻:《》通過角平分線構造全等三角形的原由要證三角形全等,就要滿足SSS,SAS,AAS和SAS,而角平分線可以得到一對角相等以及一條公共邊,那麼只要在找一條邊就可以有全等,也就是說,有了角平分線,就容易得到全等三角形
  • 八年級上學期,等邊三角形的性質與判定,與全等三角形相結合
    例題1:如圖,已知點B、C、D在同一條直線上,△ABC和△CDE都是等邊三角形.BE交AC於F,AD交CE於H.(1)求證:△BCE≌△ACD;(2)求證:FH∥BD.如果將其中一個等邊三角形繞著點C進行旋轉,也會得到一系列的結論。