在一個等邊三角形、等腰直角三角形或正方形中,如果有一條與解題相關的線段或一個三角形,可以將這條線段或三角形進行旋轉60°(或90°),然後和另外一條邊構成全等三角形。也就是我們常說的,半角模型或旋轉模型。這是構造全等三角形比較常見的一種輔助線,難度相對來說比較大,因為一般需要構造多條輔助線。
例題1:如圖,已知在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,點D是BC上的任意一點,探究:BD^2+CD^2與AD^2的關係,並證明你的結論
分析:
本題證明的是三條線段平方的關係,應該用到的是勾股定理,並且可以發現三條線段不在同一個三角形中。因此,我們首要的任務是:將三條線段放到一個三角形中,然後再去證明這個三角形是直角三角形。那麼,我們需要做輔助線,用「等量代換」的思想將不在一個三角形中的三條線段放在同一個三角形裡。通過已知條件,可知△ABC是等腰直角三角形,利用旋轉的思想將△BAD繞著點A逆時針旋轉90°,使得線段AB與線段AC重合。
當然,如果不用旋轉全等來解該題也是可以的。數學上一道題目往往可以有多種解題方法,我們也可以試著用其它方法來解答該題。
例題2:已知:△ABC是正三角形,P是三角形內一點,PA=3,PB=4,PC=5.求:∠APB的度數.
分析:
和例題1一樣,解題的關鍵是考慮把PA、PB、PC放在一個三角形中,而旋轉恰好能實現這一目標.先把△ABP旋轉60°得到△BCQ,連接PQ,根據旋轉性質可知△BCQ≌△BAP,由於∠PBQ=60°,BP=BQ,易知△BPQ是等邊三角形,從而有PQ=PB=4,而PC=5,CQ=3,根據勾股定理逆定理易證△PQC是直角三角形,即∠PQC=90°,進而可求∠APB。
遇到60°、90°角時,可以試著利用旋轉構造全等三角形來解決問題。