高中數學答題方法+解題思想

一． 十九種數學解題方法

1.函數

函數題目，先直接思考後建立三者的聯繫。首先考慮定義域，其次使用「三合一定理」。

2.方程或不等式

如果在方程或是不等式中出現超越式，優先選擇數形結合的思想方法；

3.初等函數

面對含有參數的初等函數來說，在研究的時候應該抓住參數沒有影響到的不變的性質。如

所過的定點，二次函數的對稱軸或是……；

4.選擇與填空中的不等式

選擇與填空中出現不等式的題目，優選特殊值法；

5.參數的取值範圍

求參數的取值範圍，應該建立關於參數的等式或是不等式，用函數的定義域或是值域或是

解不等式完成，在對式子變形的過程中，優先選擇分離參數的方法；

6.恆成立問題

恆成立問題或是它的反面，可以轉化為最值問題，注意二次函數的應用，靈活使用閉區間上

的最值，分類討論的思想，分類討論應該不重複不遺漏；

7.圓錐曲線問題

圓錐曲線的題目優先選擇它們的定義完成，直線與圓錐曲線相交問題，若與弦的中點有關，

選擇設而不求點差法，與弦的中點無關，選擇韋達定理公式法；使用韋達定理必須先考慮是

否為二次及根的判別式；

8.曲線方程

求曲線方程的題目，如果知道曲線的形狀，則可選擇待定係數法，如果不知道曲線的形狀，

則所用的步驟為建系、設點、列式、化簡（注意去掉不符合條件的特殊點）；

9.離心率

求橢圓或是雙曲線的離心率，建立關於 a、b、c 之間的關係等式即可；

10.三角函數

三角函數求周期、單調區間或是最值，優先考慮化為一次同角弦函數，然後使用輔助角公式

解答；解三角形的題目，重視內角和定理的使用；與向量聯繫的題目，注意向量角的範圍；

11.數列問題

數列的題目與和有關，優選和通公式，優選作差的方法；注意歸納、猜想之後證明；猜想

的方向是兩種特殊數列；解答的時候注意使用通項公式及前 n 項和公式，體會方程的思想；

12.立體幾何問題

立體幾何第一問如果是為建系服務的，一定用傳統做法完成，如果不是，可以從第一問開始

就建系完成；注意向量角與線線角、線面角、面面角都不相同，熟練掌握它們之間的三角函

數值的轉化；錐體體積的計算注意係數 1/3，而三角形面積的計算注意係數 1/2 ；與球有關

的題目也不得不防，注意連接「心心距」創造直角三角形解題；

13.導數

導數的題目常規的一般不難，但要注意解題的層次與步驟，如果要用構造函數證明不等式，

可從已知或是前問中找到突破口，必要時應該放棄；重視幾何意義的應用，注意點是否在曲

線上；14.概率

概率的題目如果出解答題，應該先設事件，然後寫出使用公式的理由，當然要注意步驟的

多少決定解答的詳略；如果有分布列，則概率和為 1 是檢驗正確與否的重要途徑；

15.換元法

遇到複雜的式子可以用換元法，使用換元法必須注意新元的取值範圍，有勾股定理型的已知，

可使用三角換元來完成；

16.二項分布

注意概率分布中的二項分布，二項式定理中的通項公式的使用與賦值的方法，排列組合中

的枚舉法，全稱與特稱命題的否定寫法，取值範或是不等式的解的端點能否取到需單獨驗

證，用點斜式或斜截式方程的時候考慮斜率是否存在等；

17.絕對值問題

絕對值問題優先選擇去絕對值，去絕對值優先選擇使用定義；

18.平移

與平移有關的，注意口訣「左加右減，上加下減」只用於函數，沿向量平移一定要使用平移

公式完成；

19.中心對稱

關於中心對稱問題，只需使用中點坐標公式就可以，關於軸對稱問題，注意兩個等式的運

用：一是垂直，一是中點在對稱軸上。

二． 六種數學解題思想

1.函數與方程思想

函數與方程的思想是中學數學最基本的思想。所謂函數的思想是指用運動變化的觀點去分析

和研究數學中的數量關係，建立函數關係或構造函數，再運用函數的圖像與性質去分析、解

決相關的問題。而所謂方程的思想是分析數學中的等量關係，去構建方程或方程組，通過

求解或利用方程的性質去分析解決問題。

2.數形結合思想

數與形在一定的條件下可以轉化。如某些代數問題、三角問題往往有幾何背景，可以藉助幾

何特徵去解決相關的代數三角問題；而某些幾何問題也往往可以通過數量的結構特徵用代數

的方法去解決。因此數形結合的思想對問題的解決有舉足輕重的作用。

解題類型

①「由形化數」：就是藉助所給的圖形，仔細觀察研究，提示出圖形中蘊含的數量關係，反映

幾何圖形內在的屬性。

②「由數化形」 ：就是根據題設條件正確繪製相應的圖形，使圖形能充分反映出它們相應的

數量關係，提示出數與式的本質特徵。

③「數形轉換」 ：就是根據「數」與「形」既對立，又統一的特徵，觀察圖形的形狀，分析數與式

的結構，引起聯想，適時將它們相互轉換，化抽象為直觀並提示隱含的數量關係。

3.分類討論思想

分類討論的思想之所以重要，原因一是因為它的邏輯性較強，原因二是因為它的知識點的涵

蓋比較廣，原因三是因為它可培養學生的分析和解決問題的能力。原因四是實際問題中常常

需要分類討論各種可能性。

解決分類討論問題的關鍵是化整為零，在局部討論降低難度。常見的類型

類型 1：由數學概念引起的的討論，如實數、有理數、絕對值、點（直線、圓）與圓的位置

關係等概念的分類討論；

類型 2：由數學運算引起的討論，如不等式兩邊同乘一個正數還是負數的問題；

類型 3 ：由性質、定理、公式的限制條件引起的討論，如一元二次方程求根公式的應用引

起的討論；

類型 4：由圖形位置的不確定性引起的討論，如直角、銳角、鈍角三角形中的相關問題引起

的討論。

類型 5：由某些字母係數對方程的影響造成的分類討論，如二次函數中字母係數對圖象的影

響，二次項係數對圖象開口方向的影響，一次項係數對頂點坐標的影響，常數項對截距的影

響等。

分類討論思想是對數學對象進行分類尋求解答的一種思想方法，其作用在於克服思維的片面

性，全面考慮問題。分類的原則：分類不重不漏。

4.轉化與化歸思想

轉化與化歸是中學數學最基本的數學思想之一，是一切數學思想方法的核心。數形結合的思

想體現了數與形的轉化；函數與方程的思想體現了函數、方程、不等式之間的相互轉化；分

類討論思想體現了局部與整體的相互轉化，所以以上三種思想也是轉化與化歸思想的具體呈

現。

轉化包括等價轉化和非等價轉化，等價轉化要求在轉化的過程中前因和後果是充分的也是必

要的；不等價轉化就只有一種情況，因此結論要注意檢驗、調整和補充。轉化的原則是將不

熟悉和難解的問題轉為熟知的、易解的和已經解決的問題，將抽象的問題轉為具體的和直觀

的問題；將複雜的轉為簡單的問題；將一般的轉為特殊的問題；將實際的問題轉為數學的問

題等等使問題易於解決。

常見的轉化方法

①直接轉化法：把原問題直接轉化為基本定理、基本公式或基本圖形問題；

②換元法：運用「換元」把式子轉化為有理式或使整式降冪等，把較複雜的函數、方程、不等

式問題轉化為易於解決的基本問題；

③數形結合法：研究原問題中數量關係（解析式）與空間形式（圖形）關係，通過互相變換

獲得轉化途徑；

④等價轉化法：把原問題轉化為一個易於解決的等價命題，達到化歸的目的；

⑤特殊化方法：把原問題的形式向特殊化形式轉化，並證明特殊化後的問題，使結論適合原

問題；

⑥構造法：「構造」一個合適的數學模型，把問題變為易於解決的問題；

⑦坐標法：以坐標係為工具，用計算方法解決幾何問題也是轉化方法的一個重要途徑。

5.特殊與一般思想

用這種思想解選擇題有時特別有效，這是因為一個命題在普遍意義上成立時，在其特殊性

況下也必然成立，根據這一點，同學們可以直接確定選擇題中的正確選項。不僅如此，用這

種思想方法去探求主觀題的求解策略，也同樣有用。

6.極限思想極限思想解決問題的一般步驟為：一、對於所求的未知量，先設法構思一個與它有關的變量；

二、確認這變量通過無限過程的結果就是所求的未知量；三、構造函數(數列)並利用極限計

算法則得出結果或利用圖形的極限位置直接計算結果。