在上篇文章中，我總結了概率論學習當中一些基礎概念，這一篇主要關注隨機變量。
1
隨機變量
現實生活中我們往往關心的不是一個隨機試驗的結果，比如說扔色子不是關注一個結果，往往是兩個色子點數的和，這是由很多組合構成的。
除此之外，儘管我們可以在邏輯中理解那些概率的算法，但那不是數學語言。在數學世界裡，你不能說硬幣是正面還是反面，這個需要一個轉換，而轉換則用到了函數。
函數本身就是數學世界和真實世界的轉換器。
一個隨機試驗的樣本空間是S，實驗結果是E，定義一個函數X(E)，那麼它的定義域則是S，值域則是整個實數，也就是將現實世界的事件和數字聯繫在一起。
函數X(E)本身叫做隨機變量。
2
離散型隨機變量
有些隨機變量,它全部可能取到的不相同的值是有限個或可列無限多個，也可以說概率1以一定的規律分布在各個可能值上。這種隨機變量稱為"離散型隨機變量"。
對於一個離散型的隨機變量X，我們定義X的概率分布列(簡稱分布列，probability mass function) P(a):
P(a)=P{X=a}
P(a)是在有限個a上取正值，所以有以下性質：
P(a)≥0所有的P(a)的和為1
上圖就是一個隨機變量的函數分布列。
典型的離散型隨機變量有以下幾個：
伯努利分布：每次結果為兩個的單次實驗二項分布：每次結果有兩個的n次實驗多項分布：每次結果多於兩個的n次實驗泊松分布：單位時間內隨機事件的個數(後續會有詳細解讀，本文暫不涉及)
3
期望
離散型隨機變量的期望如下圖所示：
簡單來講，離散型隨機變量的期望就是X的加權平均。
從定義可以看出期望有以下基本性質：
如果每一個結果值大於等於0，則最後的期望一定也是大於等於0。如果目標值在一定範圍內，則期望一定也在這個範圍內。如果數值是不變的，期望等於1.現在理解期望可以認為期望是很多次的情況下的每一次可能的結果，從某種意義上也是一種平均值，但是這種平均值是虛擬的，很可能現實的值沒有對應的。
思考1：如何計算隨機變量函數的期望？
方法一：隨機變量的函數仍然還是隨機變量，並且有自己的概率分布列，根據函數變化後新的x和新的P(X)可以算出期望值。
方法二：當X=x時，函數g(X)=g(x),因此很直觀的可以認為E(g(x))就是在算g(x)的加權平均，權重還是之前的概率分布列。如下圖：
上面的公式除了直觀理解外還可以用數學進行證明，過程如下：
上面的推導基於合併相同的g(x)值的思想。
思考2：隨機變量線性變化後的期望值？
求E[aX+b]的期望值？證明如下：
4
小結
本文主要初步總結了隨機變量以及離散型隨機變量的特徵，下一篇將繼續離散型隨機變量的學習。