高等工程數學:工程問題解決方案的數學基礎

「雙一流」建設是新時代我國高等教育的重大改革舉措，是高等學校進入新時期、邁入新高度的重要機遇. 隨著研究生招生數量的提高，勢必帶來研究生教育的各項改革措施. 針對目前研究生培養工作的特點 (有全日制學術學位、全日制專業學位、非全日制學位)，為迎合國家「供給側」改革的戰略形勢，進行研究生數學課程教學改革勢在必行.目前科技正以加速的方式發展，數學也經歷了一場深刻的革命，新的數學思想、數學分支層出不窮，各種理論和方法相互交叉、互相滲透，使數學在實際應用中顯示出了超強的活力. 在科學技術領域數學的地位正不斷提高，科學計算、理論研究和科學實驗已成為科學研究的三大支柱. 同時，數學教育在高校研究生教育中的地位與作用也正在發生變化，數學不再僅僅是學習後續課程與工程計算的工具，而是成為培養研究生理性思想和文化素質的重要載體，成為探索和創新的必備素養.在理工科專業 (非數學專業) 研究生中統一開設必修的基礎數學課程「高等工程數學」是研究生基礎教學的重要改革措施. 為配合教學需求，我們組織有相關課程教學經驗的教師編寫了本教材. 教材內容在注重基本數學理論的基礎上，以基本數學方法為重點. 通過該課程的教學，可使研究生掌握矩陣分析、線性方程組求解、優化方法、微分方程求解、數據擬合、統計分析等方面的知識，使其能夠熟練應用這些數學方法解決學科研究中面臨的相關問題. 《高等工程數學》適合作為工科高校研究生教材，也可給理科或管理學等學科的研究生、教師、有關研究者作為教學與研究參考書.本書是雙一流院校多年教學講義的系統性呈現，案例驅動，緊密聯繫實際，結合工科教育特點，強調基礎，注重應用，引入了當下各學科的前沿話題，弱化推理和證明，強調應用分析和實例.

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本文摘編自朱元國、範金華、張軍等編《高等工程數學》一書，內容有刪節，標題為編者所加。

南京理工大學數學系教授，博士生導師，系主任，清華大學數學科學系博士畢業。曾任中國運籌學會智能計算分會第二屆理事會理事長、不確定系統分會第四屆理事會副理事長，現為中國運籌學會理事、中國數學會計算數學分會委員、江蘇省運籌學會副理事長、江蘇省數學會計算數學分會常務理事。任SCI期刊Fuzzy Optimization and Decision Making副主編、SCI期刊Journal of Industrial and Management Optimization編委。享受國務院特殊津貼專家，獲評全國師德先進個人和省優秀教師。獲中國運籌學會「運籌新人獎」、「鍾家慶運籌學獎」和「不確定理論傑出貢獻獎」。現主要研究方向為不確定最優控制、不確定優化、不確定系統分析、智能計算。主持多項國家、省自然科學基金課題。在國內外學術期刊及會議上發表110餘篇學術論文，在Springer出版專著一部。

《高等工程數學》內容體現經典與現代的緊密結合, 符合高校工科專業對數學的基本需求. 主要內容有距離與範數, 包括向量範數與矩陣範數; 矩陣的標準形與特徵值計算, 包括矩陣的Jordan 標準形及特徵值的冪迭代法; 矩陣分解與廣義逆矩陣, 包括三角分解、滿秩分解和奇異值分解; 線性方程組的數值解法, 包括直接解法與迭代解法; 最優化方法, 包括單純形法、最優性條件、牛頓法、共軛梯度法、罰函數法、組合優化問題的模擬退火算法與遺傳算法; 函數逼近與數據擬合, 包括多項式插值、最小二乘法、小波變換; 偏微分方程及其數值解法, 包括定解問題、解析方法、有限差分法、有限元方法; 統計分析, 包括一元及多元線性回歸、貝葉斯統計、多元正態分布的參數估計與假設檢驗.

本書適合作為工科高校研究生教材, 也可作為理科、管理學等學科研究生、教師、相關研究人員的參考書.

目錄

前言
常用符號
第1章 距離與範數 1
1.1 距離空間、極限與連續性 1 
1.2 距離空間的可分性、完備性與緊性 4 
1.2.1 可數集 4 
1.2.2 距離空間的可分性 6 
1.2.3 距離空間的完備性 6 
1.2.4 距離空間的列緊性 8 
1.3 壓縮映射原理 9 
1.4 範數與賦范空間, Banach空間 12 
1.4.1 範數與賦范線性空間 12 
1.4.2 賦范線性空間的性質 12
1.4.3 有限維賦范線性空間 14
1.5 Hilbert空間, 正交系 16 
1.5.1 內積的一般概念 16 
1.5.2 正交系 17 
1.6 向量範數, 矩陣範數及其性質 20 
1.6.1 向量範數 20 
1.6.2 矩陣範數及其性質 22 
1.6.3 向量範數、矩陣範數的相容性 28 
1.7 矩陣的譜半徑, 條件數 30 
1.7.1 矩陣的譜半徑 30 
1.7.2 矩陣序列及矩陣級數 31 
1.7.3 矩陣的條件數 36 
1.7.4 矩陣的條件數在誤差估計中的應用 36 
第1章 習題 39 
第2章 矩陣的標準形與特徵值計算 42 
2.1 λ-矩陣及標準形、不變因子和初等因子 42
2.1.1 λ-矩陣的概念 43 
2.1.2 λ-矩陣的Smith標準形、不變因子和行列式因子 44 
2.1.3 初等因子 47 
2.2 Jordan標準形 48
2.2.1 矩陣相似的條件 48 
2.2.2 矩陣的Jordan標準形 48 
2.2.3 Jordan標準形的應用 53
2.3 酉相似標準形 55 
2.3.1 正規矩陣對角化 56 
2.3.2 正定矩陣 59 
2.4 特徵值的隔離 61 
2.4.1 蓋爾圓定理 61 
2.4.2 特徵值的隔離 63 
2.5 特徵值的冪迭代法、逆冪迭代法 65 
2.5.1 冪迭代法 65 
2.5.2 冪迭代法的加速 69 
2.5.3 逆冪迭代法 69 
第2章 習題 71 
第3章 矩陣分解與廣義逆矩陣 74 
3.1 三角分解、滿秩分解和奇異值分解 74 
3.1.1 Doolittle分解 74 
3.1.2 選列主元的Doolittle分解 76 
3.1.3 Cholesky分解 78 
3.1.4 矩陣的QR分解 79 
3.1.5 矩陣的滿秩分解 80 
3.1.6 矩陣的奇異值分解 84 
3.2 Penrose方程及其Moore-Penrose逆的計算 86 
3.2.1 Penrose方程 86 
3.2.2 Moore-Penrose逆的計算 87
3.3 Moore-Penrose逆的性質 94 
第3章 習題 98 
第4章 線性方程組數值解法 100 
4.1 線性方程組的直接解法 100 
4.1.1 Gauss消去法 100 
4.1.2 直接三角分解解法 105 
4.2 廣義逆矩陣求解矛盾方程組 111 
4.2.1 基本理論結果 112 
4.2.2 列滿秩的LS問題 114 
4.2.3 秩虧損的LS問題 116
4.3 線性方程組的迭代解法 117 
4.3.1 迭代法的一般概念 117 
4.3.2 J迭代法和G-S迭代法 120
4.3.3 超鬆弛迭代方法 125 
4.4 極小化方法 126
4.4.1 與方程組等價的變分問題 126 
4.4.2 最速下降法與共軛梯度法的定義 128 
4.4.3 共軛梯度法的計算公式 130 
4.4.4 共軛梯度法的性質 133 
4.4.5 預處理共軛梯度法 135 
第4章 習題 136 
第5章 最優化方法 139 
5.1 線性規劃與單純形法 139 
5.1.1 線性規劃標準形及最優基本可行解 139
5.1.2 單純形方法原理 140 
5.1.3 單純形表格法 143 
5.1.4 兩階段法和大M法 146 
5.2 非線性規劃的最優性條件 149 
5.2.1 無約束規劃問題的最優性條件 149 
5.2.2 帶約束規劃問題的最優性條件 151
5.3 無約束非線性優化算法 153 
5.3.1 線性搜索 154 
5.3.2 最速下降法 155 
5.3.3 牛頓法 157 
5.3.4 共軛梯度法 161 
5.4 罰函數法 164
5.4.1 外點罰函數法 164
5.4.2 內點罰函數法 168
5.4.3 廣義乘子法 170 
5.5 組合優化問題 175 
5.6 模擬退火算法 179 
5.6.1 受熱金屬物體分子狀態分布 179 
5.6.2 基本模擬退火算法 181 
5.6.3 模擬退火算法實現技術 181 
5.7 遺傳算法 183 
5.7.1 基本遺傳算法 183 
5.7.2 遺傳算法實現技術 184 
第5章 習題 188 
第6章 函數逼近與數據擬合 190 
6.1 多項式插值 190 
6.1.1 Lagrange插值 191
6.1.2 差商與Newton插值 192
6.1.3 差分及等距節點的插值公式 195 
6.1.4 Hermite插值 197 
6.2 最小二乘法 200 
6.3 人工神經網絡BP算法 202 
6.4 小波變換簡介 205 
6.4.1 傅立葉變換與加窗傅立葉變換 206 
6.4.2 連續小波變換 208 
6.4.3 多尺度分析 210 
6.4.4 小波分解與重構算法(Mallat算法) 214 
6.4.5 小波變換的應用 217 
第6章 習題 219 
第7章 偏微分方程及其數值方法 221 
7.1 偏微分方程定解問題 221 
7.1.1 波動方程的定解問題 221 
7.1.2 熱傳導方程的定解問題 223 
7.1.3 Poisson方程的定解問題 225 
7.1.4 二階偏微分方程的分類 226 
7.2 偏微分方程的解析解 228 
7.2.1 分離變量法 228 
7.2.2 積分變換法 235 
7.2.3 格林函數法 238 
7.3 偏微分方程求解的有限差分法 242 
7.3.1 橢圓型方程的有限差分法 242 
7.3.2 拋物型方程的有限差分法 249 
7.3.3 雙曲型方程的有限差分解法 264 
7.4 偏微分方程的有限元方法 271 
7.4.1 變分方法 271 
7.4.2 偏微分方程的有限元方法 276
第7章 習題 283
第8章 統計分析 285
8.1 一元線性回歸 285
8.1.1 一元線性回歸模型 285
8.1.2 參數的最小二乘估計 286
8.1.3 線性假設的顯著性檢驗 289
8.1.4 回歸係數β1的區間估計 291
8.1.5 因變量的預測 292
8.1.6 可線性化的一元非線性回歸 294
8.2 多元線性回歸 297
8.2.1 多元線性回歸模型 297
8.2.2 參數的最小二乘估計 299
8.2.3 線性假設的顯著性檢驗 301
8.2.4 回歸係數ˉj的區間估計 302
8.2.5 因變量的預測 302
8.3 單因素方差分析 303
8.3.1 單因素方差分析模型 303
8.3.2 單因素方差分析的統計分析 304
8.3.3 未知參數的估計 307
8.4 貝葉斯(Bayes)統計分析 308
8.4.1 貝葉斯統計的基本觀點 308
8.4.2 先驗分布的選取 312
8.4.3 貝葉斯統計中的參數估計 317
8.4.4 貝葉斯統計中的假設檢驗 319
8.5 多元正態分布的參數估計與假設檢驗 321
8.5.1 多元正態分布的定義和性質 321
8.5.2 多元正態分布的參數估計 322
8.5.3 多元正態總體參數的假設檢驗 325
第8章 習題 329
參考文獻 331
附表 332
附表1 相關係數臨界值表 332
附表2 標準正態分布函數表 333
附表3 t分布上分位點表 334
附表4 x2分布上分位點表 335
附表5 F分布上分位點表 337

（本期編輯：王芳）

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