用MATLAB巧解微分方程實例分析

MATLAB巧解微分方程實例分析

王少華 西安電子科技大學

 微分方程求解難，

字母一堆看著煩。

寫錯數字一時爽，

一直寫錯一直爽。

還記得那是大一第一學期快結束了，學到微分方程那了，學時挺高興的，看老師那刷刷地，那麼長的方程半個黑板就解完了，黑板上那叫一個主次分明，結構清晰，什麼特徵方程，齊次通解，非齊次特解，然後倆一加就是非齊次通解。心想挺簡單的嘛。（後來自己算時才知道什麼叫「真香」）

回去有作業題，第一道是齊次微分方程，立刻換元，化成可分離變量的微分方程，一會兒結果就出來了。然後就是一道二階非齊次常係數線性微分方程，那不就是死套路嘛，照著解不就行了。提筆算來，算起雖然繁瑣，但好歹多半張演算紙還是算出來了，一對答案，不對。emmmm，頓時眉頭一皺，提筆再算一遍。一會兒，對答案，不僅和答案不一樣，和第一次算出來得也不一樣，這就有點酸爽了，算第三遍時，心就有點著急了，這怎麼就算不對呢？越想越著急，越著急，式子寫得越亂，然後那兩個小時就基本上沒幹其他事了。

大二選了matlab課，感覺這玩意兒tql（太強了），然後突發奇想，用這軟體不恰可以撫慰我那被微分方程傷害了的幼小得心靈嘛。

說弄就弄：

解決我們的微分方程就要用到dsolve()這個重要的函數。其完整形式為：

dsolve(『eqn』,』cond』,』var』)

沒接觸過matlab的小兄弟可能看著有點懵，這是啥。暫且聽我慢慢道來：eqn代表微分方程，cond代表初始條件（無初始條件可以預設），var代表微分方程中的自變量（默認為t）。

對了，重要的一階導，二階導，等高階導怎麼表示呢？別著急，也很簡單。該命令中可以用D表示倒數符號，其中D2表示二階導數，D3表示三階導數，以此類推。

說了這麼多，來看一個實例，來求求下面這個式子的通解：

你只需要在命令行窗口輸入

dsolve('D2y=Dy+x','x')

然後輕點回車鍵答案就出來了。 

圖1-1

讓我們更進一步，如果我們要求特解，那麼我們在函數中加上初始條件就可以嘍。讓我們再看一個實例：

你只需要在命令行窗口輸入

dsolve('D2y=Dy+x','y(1)=1','Dy(1)=0','x')

然後輕點回車鍵答案就出來了。

圖1-2

相信，掌握了dsolve()這個函數，大部分的微分方程都會迎刃而解的。

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

挖坑一時爽，

填坑火葬場。

不是我不填，

坑多填不完。

填坑一：如果你沒有用過matlab這個軟體，那麼可以參考網上教程先安裝一個。

參考教程：https://blog.csdn.net/LeonSUST/ article/details/ 84038216

填坑二：其實有的常微分方程用dslove()這個函數是無法求出解析解的。（//小編已經逃到你打不到地方嘍）解釋一下原因：函數dsolve()是求常微分方程的精確解法（求出來的是解析解），但是有大量的常微分方程雖然從理論上講，其解是存在的，但實際上我們卻無法用matlab求出來。

填坑三：那對於那些求不出來解析解的常微分方程，我們該怎麼辦呢？其實我們還可嘗試求其數值解。至於怎樣用matlab求數值解，大家可以自行百度哦。（//在作死邊緣瘋狂試探）

填坑四：對於要考高數的「難兄難弟」們，認真總結各種微分方程的解法是必要的，切記：投機取巧一時爽，卷子下來火葬場。

下圖為小編自己的筆記，雖然醜，但是對小編背誦各種方程的解法還是有用的。

圖1-3

填坑四：下面補充一些用matlab解微分方程的例子供大家參考。

(1) 可分離變量型

Matlab解法：

圖1-4

Ps:咱們需要對原方程進行適當的變換。

 

(2) 齊次方程

Matlab解法： 

圖1-5

Ps：無解析解，所以還是乖乖按老師講的方法做吧。

 

(3) 一階線性微分方程

Matlab解法：

圖1-6

Ps:matlab中的ln（）使用log（）表示。

 

(4) 伯努利方程

Matlab解法：

圖1-7

(5) 可降階的高階微分方程

Matlab解法：

圖1-8

Ps：大家可以自己用筆算算對對答案嘛。

 

(6) 常係數齊次線性微分方程

Matlab解法：

圖1-9

 

(7) 常係數非齊次線性微分方程

Matlab解法：

圖1-10

Ps:exp()代表e的多少次方。

 

(8) 歐拉方程

Matlab解法：

 圖1-11

聲明：作者只是一名大二學生，學識有限，如有錯誤，請評論出來，咱會及時糾正；如有建議，也可以評論出來，咱會擇優採納；如想吐槽，也可評論出來，咱看了也不會生氣。

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

最後，「難兄難弟」們

道路千萬條，

上課第一條。

上課不規範，

大四兩行淚。