三角函數、三角公式與坐標系

2021-02-19 曹廣福的數學茶館

    上文說到三角公式的重要性，這種重要性體現在兩個方面。

     一方面，很多數學演算離不開三角公式，僅就中學數學而言，三角公式發揮了無可替代的重要作用，不僅很多三角函數式的恆等變換需要這些公式，很多幾何問題也跟它們有關係。不過這裡要說的不是恆等式的變換，而是指三角公式是數學研究中不可或缺的常用工具。簡單到三角函數的求導，複雜到級數收斂性分析以及求和，都離不開三角公式。眾所周知，傅立葉分析是應用最為廣泛的數學理論，也是對數學產生深遠影響的理論，調和分析、泛函分析、微分方程等理論都與它密切相關。如果我們對三角公式比較生疏，能學明白這些理論是不可思議的事情。我們與其在中學教一些半生不熟的微積分、概率統計，為什麼不把力氣用在這些基本功的培養上呢？和尚進廟學武功尚且知道先從掃地擔水練力氣開始，沒有數學的基本功學一些花拳繡腿有多大意義？

     另一方面，傅立葉分析之所以重要，與它所反映的問題有關，聲音的傳播、電磁波的傳導等大量的自然現象都可以利用傅立葉級數來描述，以至於有人說：「全部的數學，除了傅立葉分析，全是垃圾。」雖然言過其實，但傅立葉分析確實很重要！從微積分開始，一直到後來的希爾伯特空間，都無不閃現著傅立葉分析的光輝！

     那麼，三角公式在其中到底充當了什麼角色呢？要弄清楚這個問題，還得從坐標系說起。在有限維空間中，如果引入了向量的內積，便可以定義兩個向量的夾角，學習過線性代數的人自然明白我的意思，也就是說，向量的內積是可以不必按照平面或三維空間中常見的方法來定義的，完全可以擺脫其幾何直觀，抽出其本質的特徵給出公理化的定義。這個定義有什麼好處？它可以適合很廣泛的一類空間—內積空間。有了內積，就可以定義垂直的概念，有了垂直的概念就可以定義直角坐標系，有直角坐標系的空間結構就簡單了。這一思想來自哪裡？恰恰來自傅立葉分析！

    了解微積分的人應該聽說過函數的傅立葉級數展開，由於輸入公式的不方便，這裡儘量省略繁瑣的符號，希望不影響對問題的理解。閉區間上的函數如果是黎曼可積的，它必有一個傅立葉級數展開，但這個級數與函數不能輕易劃等號，即使函數是連續的，其傅立葉級數也可能不收斂到這個函數，這是一件很悲哀的事。大家為此傷透了腦筋，直到勒貝格積分誕生後，產生了L^p空間，這一問題才算搞清楚了。這裡不妨看看L^2,傅立葉級數中的函數sinmx,cosmx顯然都是連續的，其可積性自然沒有問題，微積分中有幾個著名的練習題：證明任意兩個三角函數乘積sinmxcosnx、sinmxdinnx、cosmxcosnx(n不等於m)在閉區間[-\pi,\pi]上的積分都等於0!如何證明這個問題？積化和差公式就可以幫我們解決它。我們可以在L^2中定義兩個函數的內積為這兩個函數乘積的積分，不難看出它滿足內積的所有性質。如果記

f_n(x)=sinnx, g_n(x)=cosnx

上述分析告訴我們，f_ng_m、f_nf_m(n不等於m)、g_ng_m(n不等於m)的積分都等於零。這就是說，{f_n,g_m}是一組相互垂直的向量，如果函數f等於它的傅立葉級數，相當於說f可以用{f_n,g_m}線性表示，而它的傅立葉係數就是對應的坐標分量，這與歐氏空間裡的直角坐標系何其相似！

     上面是從數學的角度看，這貨看上去如此複雜，它除了充當了坐標系的角色，現實中有意義嗎？它的意義之大，怎麼誇張都不算過分！sinmx,cosmx中的m 是什麼？是頻率，這些函數的係數（傅立葉係數）是什麼？是振幅，這個級數意味著什麼？它是各種不同頻率與振幅的波的疊加。正因為如此，傅立葉級數可以模仿任意的波形。

    所有這一切，都離不開一個最基礎的東西：三角公式！

   

相關焦點

  • 高中數學三角函數題型總結歸納,同角三角函數及誘導公式
    三角函數裡面的公式較多，題型也不少。所以這是高中數學裡既要記憶又要理解的章節。考點4：扇形的相關公式專題三：三角函數的定義考點5：終邊過定點問題考點6：三角函數線法解三角不等式考點7：三角函數值的符號判定
  • 2021初中數學三角函數公式:三角函數半角公式
    中考網整理了關於2021初中數學三角函數公式：三角函數半角公式，希望對同學們有所幫助，僅供參考。 　　三角函數半角公式： 　　sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) 　　cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) 　　tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((
  • 2021初中數學三角函數公式:三角函數誘導公式
    中考網整理了關於2021初中數學三角函數公式：三角函數誘導公式，希望對同學們有所幫助，僅供參考。 　　誘導公式的本質 　　所謂三角函數誘導公式，就是將角n·(π/2)±α的三角函數轉化為角α的三角函數。
  • 三角函數公式
    通常的三角函數是在平面直角坐標系中定義的。其定義域為整個實數域。另一種定義是在直角三角形中，但並不完全。現代數學把它們描述成無窮數列的極限和微分方程的解，將其定義擴展到複數系。三角函數公式看似很多、很複雜，但只要掌握了三角函數的本質及內部規律，就會發現三角函數各個公式之間有強大的聯繫。而掌握三角函數的內部規律及本質也是學好三角函數的關鍵所在。
  • 人工智慧數學基礎1：三角函數的定義、公式及固定角三角函數值
    一、三角函數的定義及名稱在直角三角形中，當平面上的三點A、B、C的連線，AB、AC、BC，構成一個直角三角形，其中∠ACB為直角。] 隨角度增大（減小）而減小（增大）三、三角函數誘導公式四、三角函數公式
  • 2021初中數學三角函數公式:三角函數萬能公式
    中考網整理了關於2021初中數學三角函數公式：三角函數萬能公式，希望對同學們有所幫助，僅供參考。 　　萬能公式 　　(1) (sinα)^2+(cosα)^2=1 　　(2) 1+(tanα)^2=(secα)^2 　　(3) 1+(cotα)^2=(cscα)^2 　　證明下面兩式,只需將一式,左右同除(sinα)^2,第二個除(cosα)^2即可 　　(4) 對於任意非直角三角形,總有
  • 三角函數公式大全 高中三角函數所有公式
    ：網絡資源 文章作者：高考網整理 2019-04-19 21:31:15 三角函數公式大全
  • 高中三角函數公式大全
    可能有很多學生都會覺得很疑惑，為什麼高中三角函數特別的重要呢？　　三角函數的重要性主要是體現在三個方面，首先要說的一個方面，就是三角函數的實用性。很多人覺得三角函數非常的難，認為它沒有任何的使用功能，凡是有這種想法的人都是沒有認識到三角函數的重要性的人，畢竟如果大家真的能夠掌握三角函數就能夠發現生活中的一個測量問題以及裝修問題都是要使用到三角函數方面的知識的。
  • 三角公式可有可無嗎?
    現行中學教材對三角公式的要求不高，遠不如過去的教材，通常介紹了誘導公式之後再介紹一點兩角和的公式，更多的公式則放在教輔材料中，
  • 2021初中數學三角函數公式:三角函數五倍角公式
    中考網整理了關於2021初中數學三角函數公式：三角函數五倍角公式，希望對同學們有所幫助，僅供參考。 　　五倍角公式 　　sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA tan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4) 　　相關推薦： 　　2021年全國各省市中考報名時間匯總
  • 初中數學公式:三角函數誘導公式
    中考網整理了關於初中數學公式：三角函數誘導公式，希望對同學們有所幫助，僅供參考。 　　所謂三角函數誘導公式，就是將角n·(π/2)±α的三角函數轉化為角α的三角函數。 　　公式一：設α為任意角，終邊相同的角的同一三角函數的值相等： 　　sin（2kπ+α）=sinαk∈z 　　cos（2kπ+α）=cosαk∈z 　　tan（2kπ+α）=tanαk∈z 　　cot（2kπ+α）=cotαk∈z 　　公式二：設α為任意角，π+α的三角函數值與α的三角函數值之間的關係
  • 2021初中數學三角函數公式:三角函數公式關係
    中考網整理了關於2021初中數學三角函數公式：三角函數公式關係，希望對同學們有所幫助，僅供參考。　　商的關係 　　sinα/cosα=tanα=secα/cscα 　　cosα/sinα=cotα=cscα/secα 　　平方關係 　　sin^2(α)+cos^2(α)=1 　　1+tan^2(α)=sec^2(α) 　　1+cot^2(α)=csc^2(α) 　　同角三角函數關係六角形記憶法
  • 三角函數半倍角公式 三角函數半倍角公式是什麼
    在數學中三角函數是非常重要的知識點，而且三角函數在生活中的運用也很重要，例如：停車場設計，從包裝設計到場地面積規劃等都會用到三角函數，還有就是在導航、工程學以及物理學方面都有廣泛的用途。下面我們一起了解一下三角函數半倍角公式吧。
  • 2021初中七年級數學三角函數公式:反三角函數公式
    中考網整理了關於2021初中七年級數學三角函數公式：反三角函數公式，希望對同學們有所幫助，僅供參考。
  • 【初中數學】三角函數公式大全
    【初中數學】三角函數公式大全如需要完整版PDF列印的同學
  • 2021初中七年級數學三角函數公式:反三角函數
    中考網整理了關於2021初中七年級數學三角函數公式：反三角函數，希望對同學們有所幫助，僅供參考。 　　反三角函數主要是三個： 　　y＝arcsin(x)，定義域[-1,1] ，值域[-π/2,π/2] 　　y=arccos(x)，定義域[-1,1] ， 值域[0,π] 　　y=arctan(x)，定義域(-∞,+∞)，值域(-π/2,π/2) 　　sinarcsin(x)=x,定義域[-1,1],值域 【-π
  • 三角函數公式必備大全
    ，導致在做題的時候不能夠運用正確的公式，以至於三角函數題成為失分的重要部分。車車總結了初中三角函數公式大全，下面給大家做一下分享。關於初中三角函數公式，在考試中用的最多的就是特殊三角度數的特殊值。，這是在初中數學考試中問答題中容易用到的三角函數公式。
  • 2021初中數學三角函數公式:π/2±α的三角函數誘導公式
    中考網整理了關於2021初中數學三角函數公式：π/2±α的三角函數誘導公式，希望對同學們有所幫助，僅供參考。 　　三角函數的誘導公式記憶方法很簡單，其實就是這句：奇變偶不變，符號看象限。
  • 高中三角函數萬能公式 高中數學特殊公式
    高中三角函數萬能公式 高中數學特殊公式三角及其御用函數無疑是高中數學舉足輕重的戲份之一，對於一個至少盤踞著兩本必修而且還攜帶著為數眾多公式招搖過市的傢伙，這難道不足以引起重視嗎?下文有途網小編給大家整理了《高中三角函數萬能公式 高中數學特殊公式》，僅供參考!
  • 三角函數相關公式的簡單介紹
    小夥伴們，有了之前的基礎，我們今天就來看一看三角函數的相關公式吧。01誘導公式①角α與α+k·2π（k∈Z）的三角函數值關係②角α與-α的三角函數值關係③角α與α+（2k+1）π（k∈Z）的三角函數值關係