光陰似箭，日月如梭。啊不對，搞錯頻道了。😅開頭其實是一個扒歷史的自我檢討環節。不知大家還記不記得，在很久很久以前的某一篇推文裡，曾經出現過一個預告：
哇！好神奇！居然是去年的誒！相信聰明的你已經算出來了，距離預告時間已經過去了整整250天，幾個咕咕精還沒有把推文給實現！真丟人！（好像和250天這個數字也很符合……）其實想出這篇推文已經是去年4月份的事情了，當時PEW學術討論組的幾位菜雞正好都學到了一些數學歸納法的知識，又有一些初學者感想，就想著出一篇科普，沒想到「下次一定」就咕到了第二年，在春節假期裡終於有時間了，趕緊把這塊大骨頭給啃了！
首先，大家可能會發現，本篇文章的作者和之前似乎不太一樣，是一個名叫PEW學術討論組的看起來就很不靠譜的團隊。這個團隊創立於2020年3月14日，是一個致力於「勤於發問，樂於解惑」的中二小組，由Peter, Eric, Wendy三位菜雞組成，因而取名為PEW。該小組由2名體制內和1名體制外成員組成，目前均就讀於高二。寒假裡，P和W兩位同學終於解決了歷史遺留問題，並在這裡呈現給大家。多謝大家支持！
在學習數列的過程中，我們常常會遇到一些匪夷所思的證明題，或者你猜出了答案但發現是一道大題而無法解釋，這時我們就要利用好數學歸納法這個寶貝了。以下是我在學習過程中對於數學歸納法的一點點認識。
引例——認識數學歸納法（Mathematical Induction）首先我們需要知道數學歸納法究竟是個什麼「鬼」。所謂歸納，就是把一堆複雜的東西整理出一個有規律性的東西，就像是把一間雜亂無章的房間整理乾淨。在數學中，我們有兩種歸納法，即完全歸納法(Complete Inductive Reasoning)和不完全歸納法(Imperfect Inductive Reasoning)。
完全歸納法是指把所有的可能全部列舉一遍。比如說現在有一個黑箱，裡面裝著若干個小球，假設裡面有100個球，你摸了99個都是黑色的，但是你不能說剩下的一個一定是黑球，因為你還沒有把所有的情況都分析清楚，可能你運氣很差，恰好剩餘的那個是個白球，那麼這個箱子就不是一個裝有100個黑球的箱子了。
從這個例子我們可以發現完全歸納法有它的好處，即所有的可能都被列舉完了，結果是什麼就是什麼，但是它的缺點也很明顯了，因為它過於麻煩，如果這個箱子裡裝了10000隻球，那麼完全歸納法就是一個很辛苦的過程了。而數列不像小球那麼雜亂了，數列的項之間是有一定關係的，因此數列是可以使用不完全歸納法的。
那麼數學歸納法在數列中的運用的原理究竟是什麼呢？我們都知道多米諾骨牌，多米諾骨牌成功的條件是前一塊牌要推倒下一塊牌。
這就好比數列中an+1和an之間的關係，而後面的多米諾骨牌倒下的最根本的條件是第一塊必須倒下，也就是項數n取值範圍內的第一項必須滿足。綜上所述，我們可以基本地了解數學歸納法在數列中應用的原理了，數學歸納法的一個固定的格式也就由此導出:
① 當n=首項，命題成立；
② 假設n=k時命題成立；
由歸納假設推出n=k+1時命題也成立。
綜上所述，原命題成立。
這個格式看上去很簡單，實際上就是前面所說的第一項成立（第一張多米諾骨牌倒下），第n項成立（多米諾骨牌中的任意一塊），第n+1項成立（前一塊牌推倒了這一塊，這一塊推倒下一塊）。我們不難想像，假設這個數列第一項成立，然後第二項成立，第三項（理解為第二項的n+1項）成立，然後不斷往後推，這種傳遞性就體現出來了，因此數學歸納法的精髓在於傳遞性。
由歸納假設證明當n=k+1時命題成立可能是一個複雜的過程，我們在證明過程中將n=k作為條件代入這一項，然後利用其它的數學知識進行證明（一般需要結合因式分解、基本不等式、放大縮小法等證明方法）。
我們來看一個例題具體操作一下。
分析一下這個例題，這是一道很標準的可以運用數學歸納法證明的一道題目，因為我們很容易可以猜出Sn，但是不好說明。數學歸納法的強大之處也就在這裡，它很巧妙地利用了數列傳遞性的特徵，如果你已經假設n=k成立，那麼接下來證明時這個就可以作為條件來使用，但是不能代入你所猜的式子中，而是代入條件所給的遞推式中，否則證明過程將被視為「忽悠」。我們把這種上面這個例題的做法形象地稱作「先猜後證」。
數學歸納法雖然有它獨特的好處，但是並不是很多題目都適合使用數學歸納法，例如等式/不等式左邊是帶有n的數列而右邊是常數，這時數學歸納法就有弱點了，例如我們看這樣一個證明題：
總之，數學歸納法是一種很巧妙的方法，而且它的格式很規整，所以我們也要嚴格地來進行證明，步驟不能亂，而且數學歸納法可以輔助解決其他問題。
接下來，我們要利用數學歸納法證明平均值不等式。
看了這些你可能還是有點懵，那麼我們再放一道題目來感受一下。
我們發現數學歸納法可以應用的範圍非常廣，例如這裡的三角函數的問題，再結合上基本不等式，我們可以很清楚地解決這個問題，當然還是需要仔細觀察，然後巧妙的去使用假設的成立的關係。
看完了體制內同學平時做的小題目，接下來讓我們來看一道體制外小菜雞做的題目吧！怎麼說呢，我們也不能將體制內外的題目完全割裂開來，既然今天都在講數學歸納法，我們就看看各種類型的題目都應該怎麼尋找思路。接下來的這道題，與其說是一道題目，不如說是一次探索，因為在此，我們要證明費馬小定理！！！
首先，我們先看一下這個定理：
如果p是一個質數，a為自然數，而整數a不是p的倍數，則有ap≡a（mod p）。
費馬小定理(Fermat's little theorem)是數論中的一個重要定理，在1636年由皮埃爾·德·費馬提出。首先，我們先要理解一下該定理，其中的「≡」相信大家在小學奧數中都學過……
它的意義是：兩個整數a、b，若它們除以整數m所得的餘數相等，則稱a與b對於模m同餘或a同餘於b模m，記作：a≡b (mod m)，eg：1≡7 (mod 6)。
是不是很容易理解！「=」表示符號左右兩邊數值一樣，「≡」就表示符號左右兩邊餘數相同。
那這個定理有什麼用處呢？
我們可以簡單看一道數論題：計算2100除以13的餘數。這道題是不是很簡單！因為可以暴算！對！啊搞錯了，考試沒法用計算器。也可能計算器功力不夠……
但！用費馬小定理就可以秒殺！首先，根據ap≡a（mod p），再根據mod的性質：如果a≡b(mod n)，c≡d(mod n)（其中a,b,c,d均為正整數），那麼ac≡bd(mod n)，我們可以得到ap-1≡1（mod p）。那麼213-1≡1（mod 13）。因此：
2100≡212×8+4（mod 13）
≡（212）8×24（mod 13）
≡18×16（mod 13）
≡16（mod 13）
≡3（mod 13）
費馬小定理是不是很強大！！！相信此刻睿智的你一定開始思考，為什麼這個公式可以成立？接下來！就讓我們來證明一下！（大家可以先自行思考一下，看看自己相比幾百年前的數學家有沒有進步）。
證明：如果p是一個質數，a為自然數，而整數a不是p的倍數，則ap-1≡1（mod p）。
每一篇毒雞湯都會有一個精彩的升華，每一篇推文都有一個完美的延(chě)續(dàn)。接下來想告訴大家的是，我們上面所有的闡釋和題目都是圍繞第一數學歸納法展開，接下來，就要給大家介紹第二數學歸納法。
第一數學歸納法和第二數學歸納法有什麼區別呢？最明顯的區別是：「第一數學歸納法主要在高中學，第二數學歸納法主要在考研學。」那還有什麼區別嗎？最本質的區別是，在作歸納假設時，第一數學歸納法假設P(n)成立，去證明P(n+1)成立；而第二數學歸納法假設了P(1),…,P(n-1)都成立，在此前提下證出P(n)成立。這一區別有時會給證明帶來很大的麻煩。第二數學歸納法在使用時區別於第一數學歸納法有一下三點不同：
① 開頭需驗證若干項結論成立；
② 假設結論成立；
③ 證明結論成立。
這三點不同其實也是第二數學歸納法的證明方法了。
我們可以看兩道小題目來認識一下第二數學歸納法這個新人物。
接下來，我們來看一道更有意思的小題目，是數學歸納法在平面幾何中的應用。
有這麼香的證明方法，要經常運用才是真理。而數學歸納法是一個強大但又非常規的方法，所以我們在遇到難解的問題時可以考慮一下，但畢竟沒有一勞永逸的法寶，所以考慮問題還是要多想幾種方法，這樣才能使我們在遇到困難時臨危不懼，從容應對。
文獻參考:
1.《數學奧林匹克小叢書·高中卷-數列與數學歸納法》 華東師範大學出版社 馮志剛著 第二版
2.Mathematics-Analysis and Approaches HL 2-Haese 2019.pdf
3. 考研數學龍哥. (2020.Feb.9).2021 考研數學，秒懂第二數學歸納法.Retrieved from:
https://www.bilibili.com/video/BV1y7411t7Gp?from=search&seid=
7380591851468895963
4.百度百科. 費馬小定理. Retrieved from:
https://baike.baidu.com/item/費馬小定理/4776158?fr=aladdin,
date: 2021, Feb 13
5.百度百科. 同餘. Retrieved from:
https://baike.baidu.com/item/同餘定理?fromtitle=同餘&fromid=1432
545, date: 2021, Feb 13
完結撒花！🎉
- 這篇終終終於結束了-
祝大家牛年快樂！！
鑑於本小組咕咕的特性，我們決定再出一個下期預告，下期我們也不知道什麼時候出預告：