高考數學原創試題—多項式擬合

2020-12-25 濤哥講數學

泰勒展開式表明，具有n階導數的函數，可近似的由一個n次多項式表示，n取值越大，越接近於真實的函數，因此利用n階多項式可以對函數進行擬合，這種方法在近似計算等領域有著重要的應用。

我們知道，一次函數的圖象是一條直線，因此是單調函數。二次函數的圖象是一個拋物線，二次函數只有一個極值點，有兩個單調區間，而n次多項式函數最多可以有n-1個極值點，因此最多可以有n個單調區間。對於一個具有n個極值點的函數來說，若要擬合的更加精確，必須提高多項式的次數，這樣才能將函數原有的特性展現出來。

今天與大家分享的這道原創試題，就是一道以多項式擬合為背景的函數問題。由題目可知函數有三個極值點，由此對函數的性質加以限制，故限制了參數a的取值範圍。試題的第二問是在第一問的基礎上進一步地對函數性質進行深入挖掘，通過一個三次多項式研究函數最大值的變化規律，在解答時，要建立函數的極值點與參數a之間的聯繫，再通過函數構造進行證明。

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相關焦點

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    雙變量不等式的證明在高考中經常出現，常規的考點和方法是利用基本不等式的性質進行證明，變量的數量在2~3個，形式上多以輪換對稱式為主，證明方法靈活多樣，因此對考生的邏輯思維有深入的考查。今天與大家分享的這道原創試題，就是利用同構變換結合指數函數切線放縮加以證明，但是這道題的一個關鍵細節是討論不等式不能取等號的條件，其中第一問設計了一個討論函數零點存在性的問題就是為討論取等條件做了鋪墊。更多高考數學原創試題請關注「濤哥講數學」。
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  • Matlab擬合詳解
    多項式擬合 clearx=1:1:10;y=-
  • matlab插值擬合(二)
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  • 機器學習 | 多項式回歸處理非線性問題
    因為多項式回歸模型，在經過多項式轉化後仍需要使用線性模型進行擬合數據，若此時因轉換數據帶來額外的共線性，甚至更加嚴重的共線性將會嚴重影響模型擬合的結果。多項式回歸處理非線性問題同樣的一個問題，用線性回歸模型無法擬合出這條帶噪音的正弦曲線的真實面貌，只能夠模擬出大概的趨勢，而用複雜的決策樹模型又擬合地太過細緻，即過擬合。