「約當定理「攜手「鴿籠法則」可演繹證明四色猜想成立

四色猜想最先由格斯裡（Francis Guthrie）於1852年提出，他是南非數學家，在英國讀大學；另一說法，四色猜想是由德國數學家莫比烏斯（Mobius）於1840 年提出。四色問題的內容是「任何地圖不同色相鄰區分四色足夠」。題面很簡單，數學工作者卻用了120多年才勉強解決了它，且證法超常規。1976年美國數學家阿佩爾和哈肯須藉助計算機完成上百億次驗算才證實了那些特殊的情形時的四色猜想也成立。計算機輔助證明可分為兩大類，一類是驗算可窮舉部分，一類是驗算可遞推部分。人工證明環節就是將無窮部分能邏輯地降為有窮部分和可遞推部分。

直到降為可由1、2、3等初項和後繼項推出。可惜人工環節不能持續簡化下去，只能「愚公移山」靠「暴力窮舉」，這令很多數學家們大為不滿，好比小學生做應用題，能報出正確答案，可就是列不出算式。但阿佩爾和哈肯樂觀預言，不用「暴力窮舉」，標準證明四色猜想將由中學生完成。可見四色猜想的證明一定存在初等的邏輯推理證法。一旦發現可人工邏輯證明，人類便能快速完成不同類相鄰著色，能深刻理解最核心的造型結構是什麼，如此將為計算機的發展能提供重要的基礎數學理論支持。

01. 數學發展不能停留在計算機輔助證明上

哈肯證明四色猜想中的有限圖部分用暴力窮舉完成雖是有效的，但確實象一本電話簿，而不象一首詩。導致很多讀者誤以為計算機暴力窮舉證明的部分直接就是無限集，如果真是那樣則定是無效證明。那麼多數學家檢驗過了，不可能有違普通常識，這是不用懷疑的，要擔心的是分類如此複雜

，有沒有因漏項導致出現誤證。阿佩爾和哈肯所得到的1936種有限情形，是通過489種規則可任意給出的上百億幅地圖，利用「放電法」，經計算機統計歸納得出的有限簡化結果，這是可理解的，但是否仍有小錯還不得而知，因為「暴力窮舉」完成的目標實在太大了，無法讓更多數學家們能在短時間裡作出判定。既然相信分類情形是有限的，它的排列組合也必是有限的，其有限部分被暴力窮舉證明當然是有效的。問題是他的可窮分類來源不能繼續簡化，這就不能阻止人們會難免懷疑：到底是哈肯的規則在產生任意圖，還是哈肯的規則在產生隨機圖。隨機圖是概率圖，是不能替代任意圖的。遞推是否是緊鄰的，分類是否是可窮的，這些都需要檢驗。總之，得讓所有數學家們在短時間內能夠理解，才算是一個漂亮的證明。還記得馮 • 諾依曼（John von Neumann）的隨機圖生成器嗎？烏拉姆（Ulam）發明了用蒙特卡羅方法（Monte Carlo Method）來做概率逼近證明，但該方法只能用來證明物理定律，不能用來證明數學定理。數學歸納法要求可窮分類，而不是逼近分類。因為數學定理都是用全稱肯定判斷來描述的。也就是說因程序底層設計不完善計算機證明是存在錯誤風險的。

退一步而言，即便計算機完成了證明，人類對內在變化過程的理解仍處於無知狀態。阿蒂亞（Michael Atiyah）曾說過：「我們的理想是探究數學真諦，而不是利用機械執行指令的計算機推演論證。」另一位菲爾茲獎獲得者澤爾曼諾夫（Zelmanov）也表示贊同：「只有所有數學家都認可的證明方法才是真正有效的，所以我對機器證明方法的前景並不看好。」他說的有道理嗎？如果數學證明方法只有生成它的機器能夠理解，我們真的可以相信嗎？

筆者還是選擇了願意相信，當年希爾伯特率先使用存在性證明時，也遭到了很多人非議，計算機輔助證明橫空出世也會一樣。只是人類不要停留在計算機輔助證明上，要選擇繼續純人工邏輯地完成存在性證明和構造性證明。如此這般，一可檢驗計算機證明是否有錯其底層算法是否矛盾，二是如果正確也便於人類深度理解內在的變化過程。如此數學才會有進步。丘成桐說，人工智慧尚缺基礎數學方面的理論支持，印證該說法的就是計算機輔助證明能做成的事，人工證明卻完成不了。我們在設計人工智慧的時候是知其然但不知其所以然的。

02. 肯普證明四色猜想的漏洞真的不可彌補嗎？

肯普是個律師，證明四色猜想取得重大突破是從肯普開始的。四色猜想的證明一開始就是「外行」在主導完成證明進程，難怪哈肯說，四色猜想的人工證明完全有可能被中學生拿下，因為這是一片處女地，解決它的機會對不同角色者的機會均等，可用到的已知條件並不複雜，一些奇思妙想完全有可能帶來意想不到的進展。肯普建立了「不可避免集」和「可約構形」的思想。簡單地說，任意給定的平面地圖，可分成已著色部分

（即由四色互不相鄰的兩類肯普鏈構成），以及未著色部分，只要證明未著色部分與鄰接色存在諸如「d(v)=2、3、4、5」這樣的構形，即2度，3度，4度，5度的「不可避免集」，就可繼續完成四色互不同類相鄰，肯普成功完成了這項證明。於是2度圖，3度圖，4度圖，是很顯然可區分的，其中5度圖（即5條邊共一個頂點）能不能完成四色互不同類相鄰呢？一般是可以的，碰上鄰接色不可以時，對已著色圖經過部分國家「換色」也是可達成目標的，於是未著色部分就成了「可約構形」，如果「不可約構形」存在，就一定存在「最小5度圖」，肯普證明5度圖總是可約的，於是「含最小5度圖的不可約圖」就不存在，於是所有的「不可約構形」就不存在，如此就證明了四色猜想成立。肯普的思路是不是很妙？數學界於是就把猜想變成了定理，可惜多年以後殺出個希伍德，又把定理變回了猜想。

希伍德根據肯普的證明思路構造了一個有25國的反例，希伍德發現二次連續「換色」時無法做到不撞色，也就是說一次靜態區分能成，多次動態區分就做不到同色不相鄰了。希伍德的反例不是四色猜想的反例，是肯普證法的反例，他使肯普的四色猜想證明落空了，但四色猜想並沒有證否。希伍德也沒有完全抹殺肯普的成果，根據「不可避免集」，存在五色圖總是可約的，於是用數學歸納法證明得到了五色定理。希伍德的反例，肯普無法解決。根據希伍德的說明，肯普的錯誤在於證明5鄰國是可約構形時，構造兩條肯普鏈以換色，然而第二次換色時，肯普的方法並不總是成功的。希伍德提供一個包含25個國家的地圖作為反例。希伍德的報告是由肯普自己提交給倫敦皇家數學學會的。肯普承認自己的證明中存在缺陷，並且他未能去除這個缺陷。

肯普並未完成超限數學歸納法中的相鄰迭代環節的推理證明，只完成了某個特例的一次「換色」，沒有完成任意後繼相鄰都可成功「換色」，因此肯普和希伍德都沒有徹底理解四色足可區分平面的規律。直到用互異肯普閉鏈相鄰迭代構造任意平面圖才算正確理解了四色猜想，用互異肯普閉鏈的鏈數與自然數一一映射才算完成了超限數學歸納法的邏輯構造。這是本文作者在四色問題上的一次原創突破。

只有真正理解區分地圖四色足夠原理，才可快速完成不同類相鄰著色，才能深刻理解平面世界裡的最核心的造形結構。僅憑這一點就給計算機發展提供了很重要的基礎數學理論。證明四色猜想的過程也分築基和封頂兩部分，築基部分用重合法的數學工具，證明了「每條閉鏈不超過三色足夠區分」的引理成立，同時用約當定理還證明了所有的閉鏈構成了子樹遍歷序列（前序遍歷即樹葉序列）；封頂部分用相鄰論的數學工具，證明了「兩兩相鄰閉鏈不超過四色」的引理成立，同時用鴿籠原則證明了一鄰單區塊總能被相鄰閉鏈中某區塊全覆蓋，故互異相鄰閉鏈能成功緊鄰延申。其中築基部分滿足「若爾當（Jordan）曲線定理」，可構造子樹遍歷序列（樹葉序列），從而可用超限數學歸納法證明四色猜想。其中封頂部分可滿足「鴿籠法抽屜原則」，三色足以區分鄰接色的引理就是用頂點度數判定法和側邊點數判定法來完成證明的。一旦能確定鄰接色周期（即肯普鏈或肯普鏈加單區塊），有了它就有了結構可延拓可遞推的模型。

 03. 用「三色可約圖」來替代肯普的「四色可約圖」和希伍德的「五色可約圖」

在肯普的基礎上證明四色猜想要做的改進其實並不多。首先在定義可約圖上須改進下，什麼叫可約圖呢？凡與鄰接色相鄰的未著色圖能用不超過三色的「肯普閉鏈」或「肯普鏈+單區塊所構成的閉鏈」區分即謂可約圖。該著色法永遠保留每次鄰接色皆不超過三色。該定義同肯普和希伍德的可約定義有所不同，肯普是四色可約圖，希伍德是五色可約圖，本文作者完成四色猜想的證明用的是三色可約圖，這是最為本質的區別。如此一改進，就解決了大問題。希伍德的反例證明了，肯普的鄰接色為「四色可約圖」是不能完成二次迭代的，但換成「三色可約圖」就不一樣了。

以法國大區圖來說明，1號區為中心區塊，中心區塊一經確定，給定圖的區塊時鐘序列就確定，所有的區塊都有唯一編號了，這個思想非常重要，它意味著不同中心的兩種語言A和B，只要知道A和B之間的間隔，兩國語言就可以全部翻譯出來，這才是計算機的底層算法思想。網際網路上的信息就是一張大網頁，它所對應的序列有唯一確定性非常重要。為何可用超限數學歸納法證明四色猜想就指望它了。任何一個給定圖，都可以用若爾當曲線來一分為二，假如中心區塊為若爾當曲線，那曲線內的區塊數為0個，曲線外的區塊數為無窮多個。

再以圖4-7來說明，「1-2-3-4-5-6-7」閉鏈區塊是由藍綠肯普鏈+紅色單區塊構成的，「7-15-14-13-12-11-10-9-8」閉鏈區塊是由紅黃肯普鏈+綠色單區塊構成的，說明若爾當曲線一分為二，有四種可能，內無外有，內有外無，內有外有，內無外無，由閉鏈構成的若爾當曲線，不斷連接下去是可以充滿任意給定地圖的。而每次相鄰閉鏈不是肯普鏈就是肯普鏈加單區塊。由於單區塊每次覆蓋的圖都不超過三色，故總是能用第四色來填充，因此，鄰接色不超過三色的後繼相鄰閉鏈總能三色區分。

如此任意給定圖就都可以迭代用不超過三色的相鄰閉鏈不斷向未著色圖延伸。在構造相鄰閉鏈時難免會出現a、b、c、d等未著色地圖的情形出現，但每次產生這樣的子圖都是鄰接色不超過三色的，而鄰接色不超過三色的子圖，從單區塊出發構造一個相鄰閉鏈，要麼是肯普鏈，要麼是肯普鏈加上一個單區塊，而單區塊是可以用第四色來區分的。更重要的一點，單區塊可由鴿籠定理來確定總存在被後繼或前繼相鄰閉鏈中的某一區塊全覆蓋，故相鄰閉鏈能成功向內外未著色區迭代推進。如此未著色區就不存在「最小可約圖」。四色猜想獲證。

四色猜想能夠成立的核心原因就是，任意給定地圖都存在用「若爾當曲線」構造出的「子樹遍歷序列（前序遍歷，即樹葉序列）」，有了這樣的序列就能使每條相鄰閉鏈成功地與自然數一一映射了，這是可以合法使用超限數學歸納法的原因。然後就是相鄰閉鏈的奇偶區塊數色性區分最多不超過三數，根據這一性質於是都能被後繼相鄰閉鏈中的單區塊用第四色或某一區塊全覆蓋，這個性質甚是奇妙，這是能證明四色猜想成立的關鍵。可見完成證明核心是「若爾當曲線構造出了子樹遍歷序列」，關鍵是「由肯普鏈加單區塊構造的兩相鄰閉鏈存在互異覆蓋」。因兩類肯普鏈是全互異的，故彼此的單區塊也就能互異選取，尤其是每次取相鄰閉鏈總是從共用前繼的單區塊開始，故後繼一色或二色或三色總能覆蓋前繼一色或二色或三色，這是四色猜想能夠成立的深層原因。

這個證明是可以滿足直覺理解的。圖4-5是「四鄰定理（即五個區塊之間不能兩兩相鄰定理）」，即四區塊的緊鄰圖可以兩兩相鄰，區塊數大於四的緊鄰圖就不可以兩兩相鄰。第四國要與第一、二、三國兩兩相鄰，必至少要全包圍一國，不是左包圍，就是右包圍，如此至少總有一個國家被全包圍，否則就無法相鄰，故五區塊定不能兩兩相鄰。該性質說明了，只要區塊數不兩兩相鄰，就用不著添加新顏色來區分，第5色可以用第1色替換。如此就說明了第五區塊是可約圖。它在鄰接色不超過三色的條件下，第五區塊總是可約恆成立。因為它總能用第1色替換的方式可約，第五區塊部分可約後，其鄰接色繼續保持不超過三色，可約操作可迭代進行。敏感的人僅憑這就知道四色猜想已獲存在性證明。

我們之所以設計鄰接色不超過三色，就是為了未著色圖能成功可約，在此思路下，我們還成功證明了，肯普鏈加單區塊的鄰接色是可以成功延伸互異肯普鏈的，為了相鄰封閉有時不需要加單區塊，有時候需要添加單區塊。

  04. 每條閉鏈不超過三色足可區分，相鄰閉鏈則四色足可區分

為了確保四色猜想的純人工邏輯證明是可靠的，我們再開闢一條證法。也就是證明相鄰閉鏈定理是成立的，這條定理是這樣刻畫的：每條相鄰閉鏈不超過三色足可區分，兩條相鄰閉鏈則四色足可區分。

因為任何一條閉鏈，要麼區塊數是偶數，要麼區塊數是奇數，偶數是可以用肯普鏈來刻畫的，奇數是可以用肯普鏈+單區塊來刻畫的。如果說一階肯普鏈可產生線條，那麼二階肯普鏈則能可產生平面，暖色紅黃肯普鏈看成一個區塊，那麼冷色藍綠肯普鏈則可看成另一個互異類的區塊，如此緊鄰地交替相連就構成二階肯普鏈。相鄰閉鏈定理就是一個二階冷暖色不斷重複的肯普鏈。

因為根據若爾當曲線定理可判定，任何給定地圖都是可以用若爾當曲線區塊閉鏈的結構來充滿的，故平面圖的內部結構關係就是前繼閉鏈與後繼閉鏈的新型線性關係，說白了平面圖就是一個二階肯普鏈，故它滿足高維空間區分數公式f（n）=2^n，當n=2時就是四色猜想，而n維空間，可由n階肯普鏈來區分。只是這個二階肯普鏈不是簡單的一根繩子，而是一棵樹，這棵樹上的樹枝用時鐘序列來重組，是可以連接成一根繩子的。故這棵樹等價一根繩子，繩子上的紐結就是繩文，繩文可以映射宇宙中的所有信息。只要開放算法，很多不可數集就能不斷被策反到可數集中去。

每次鄰接色上的一條閉鏈為何三色足可區分？二條相連閉鏈為何四色足可區分？

因為一條閉鏈的區塊數不是奇數就是偶數，偶數可用肯普鏈區分，不超過三數，奇數也可用肯普鏈區分，再外加一個第三色單區快，其中偶數閉鏈也可以用肯普鏈，再外加一個單區塊來構造，可見任何一條閉鏈三色足可區分。由於包圍每次鄰接色的閉鏈，根據鴿籠定理，相鄰閉鏈之間總有單區塊被後繼或前繼相鄰閉鏈中的某區塊完全覆蓋，故三色區分工作可用互異肯普鏈來迭代完成。

在此基礎上那二條相連閉鏈為何四色足可區分就好證明了，可以定義每次的後繼相鄰閉鏈總是從前繼相鄰閉鏈中的單區塊開始的，如果前繼肯普鏈是暖色的話，那麼後繼肯普鏈就是冷色的了。如此構成的緊鄰閉鏈不是偶數封閉就是奇數封閉，其中偶數封閉就是一條冷色調的肯普鏈，包圍了所有的暖色，如果是奇數封閉就需要再添加一個單區塊，而前繼閉鏈只有暖色和第三色，後繼閉鏈定是冷色且覆蓋了部分暖色，最後區塊會鄰接三色或二色或一色，故能啟用第四色就足夠。相鄰閉鏈之間的關係，可用鴿籠定理來分析。

相鄰閉圈區塊鏈除了奇偶關係外還存在四種可窮分類，是根據側邊上的頂點個數不同來區分的，這就是側邊點數判定法。以下就用側邊點數判定法來證明後繼相鄰閉鏈能夠全部覆蓋前繼閉鏈中的所有第三色，僅用互異肯普鏈和前繼肯普鏈中被覆蓋的其中一色。

1. 外包圍區塊鏈在公共邊界上的頂點個數與內包圍區塊鏈在公共邊界上（即相鄰閉鏈上的鄰接線）的頂點個數不等。

A. 外包圍區塊鏈在公共邊界上的頂點個數大於內包圍區塊鏈在公共邊界上的頂點個數。若 x上的頂點數 V（x）＞ y 上的頂點數 V（y），根據鴿籠原理，必有其中一個內包圍區塊邊界 x 上的 V（2）∈ y 上的 E（1）。故存在內包圍後繼區塊可用肯普鏈延拓。

B. 外包圍區塊鏈在公共邊界上的頂點個數小於內包圍區塊鏈在公共邊界上的頂點個數。若 x 上的頂點數 V（x）＜y 上的頂點數 V（y），根據鴿籠原理，必有其中一個內包圍區塊邊界 y 上的 V（2）∈x 上的 E（1）。故存在外包圍後繼區塊可用肯普鏈延拓。

2. 外包圍區塊鏈在公共邊界上的頂點個數與內包圍區塊鏈在公共邊界上的頂點個數相等。

C. 外包圍區塊鏈在公共邊界上的頂點個數等於內包圍區塊鏈在公共邊界上的頂點個數。若 x 上的頂點數 V（x）=y 上的頂點數 V（y），且 x 上的 x-a 與 y 上的 a 共邊在相應段上，即 V（x-a）＞V（a），V（a）＜ V（y-a），根據鴿籠原理，必有其中一個內包圍區塊邊界 y 上的頂點數 V（2）∈x 上的邊數 E（1）或 x 上的頂點數V（2）∈ y上的邊數 E（1）。故存在內包圍或外包圍後繼區塊可用肯普鏈延拓。如此單區塊必會被一色、二色（含肯普鏈）或三色（含肯普鏈加單區塊）包圍，。

D. 外包圍區塊鏈在公共邊界上的頂點個數等於內包圍區塊鏈在公共邊界上的頂點個數。若 x 上的頂點數 V（x）=y 上的頂點數 V（y），根據一一映射，必有其中一個內包圍區塊邊界 y 上的頂點數 V（1）∈x 上的邊數 E（1）或 x 上的頂點數 V（1） ∈ y 上的邊數 E（1）。故存在後繼區塊鏈可用肯普鏈延拓。

總之，外包圍區塊鏈在公共邊界上的頂點個數與內包圍區塊鏈在公共邊界上的頂點個數要麼相等，要麼不等。相等時要麼全部對齊相等，要麼不對齊相等，此時定有局部區域跟整體不等的情形一致。故僅對齊相等的情形可考慮二鄰單區塊的相鄰閉鏈模式，而內外頂點可對齊的相鄰閉鏈是不會遭遇「悔棋模式」的，如此就有依據可避開選擇二鄰單區塊了，因為只有鄰接線上內外頂點數完全對齊時，或偶數個區塊相鄰單區塊時，才無法判定內外有完全被包圍的單區塊，其他情形根據鴿籠定理，定有單區塊被奇數區塊完全覆蓋，如此相鄰閉鏈就可迭代推進。

相鄰閉鏈根據區塊數奇偶性，區塊數差異性，同第三色的三類相鄰性，一共可窮分類為 64 種情形。其中 32 種無須針對第三色，直接在雙色肯普閉鏈上後繼添加閉鏈，這個很容易做到，稱平凡鏈，難在另外 32 種。我們把非平凡鏈都設定為前繼閉鏈有第三色才能區分，事實上奇偶型、雙偶型是無須三色區分的，二色足夠。

本文列舉了 16 種情形，因為向內後繼相鄰與向外後繼相鄰是對稱圖，向外成立，向內就成立。而 16 種圖裡，12 種是一般情形，分一鄰，二鄰、三鄰第三色單區塊，對應偶奇、奇偶、雙奇、雙偶 4 類就有 12 種，其他 4 種是特殊情形，須啟動「悔棋模式」，使其任意後繼閉鏈不超過三色區分。二鄰型可區分，2n 鄰型即可區分，三鄰型可區分，2n+1 型即可區分。我們從圖4-15到圖4-26中所分析的12種圖，都清晰地證明了可四色區分的，且每一條相鄰閉鏈都不超過三色。

須警惕的是二鄰單區塊、二鄰多區塊的情形，它對前繼相鄰閉鏈有要求，如果不符，要用「悔棋模式」調整色鏈齒輪周期，其他情形根據頂點度數判定法、側邊點數判定法即可找出相鄰閉鏈上的第三色區塊，使相鄰閉鏈永遠可三色區分。每次從單區塊開始延伸找到的後繼相鄰閉鏈，可能是偶鏈也可能是奇鏈，如果是偶鏈，則後繼相鄰閉鏈是偶偶相鄰閉鏈，如果是奇鏈，則後繼相鄰閉鏈是奇偶相鄰閉鏈。在側邊點數、頂點度數對等或不對等的作用下，鴿籠原理成立，故總有單區塊被其他三色全包圍。於是每次可不超過三色完成封閉鄰接色，並且一般第三色可設定為單區塊，特殊時可調整為多區塊。由於一鄰第三色多區塊可正常區分，能根據一般型派生出，可不列入特別型。而 n 鄰第三色多區塊可根據二鄰第三色多區塊同法依次派生，故省略不表。因此可將奇奇相鄰閉鏈變換為奇偶或雙偶型相鄰閉鏈，即變成平凡型閉鏈。如此任意地圖皆可完成四色區分。

二鄰單區塊會出現特殊情形（含2n個區塊相鄰單區塊），會導致撞色，故圖4-27到圖4-30中分析了這種情形。遇到該特殊情形將要啟動「模式悔棋」，就是肯普以來的數學家們常用到的那種將已著色圖進行部分換色從而避免撞色。二鄰單區塊中的兩個區塊都覆蓋三色時，就不可避免會撞色，因同時都要用到第四色，此時就要對已有肯普鏈進行調整，再設置一個同類單區塊，如此對稱性就瓦解了，於是撞色現象解除。使用「悔棋模式」證明四色猜想要證明一定能悔棋成功。二鄰單區塊會出現撞色，是因為相鄰圖出現在了對稱環境中，這種對稱性是可以消解的，除了多設置幾個單區塊外，還有別的辦法，那就是把與單區塊相鄰的兩區塊，用三色隔離掉其中一個，從而產生新分布的的鄰接色，這個方法比新增單區塊更徹底，也就是說二鄰單區塊是可以不斷成功消解的。圖5-2分析了該類情形。

本文證明了除了一個特殊情形外須用二鄰單區塊，即完全對齊且錯開的情形，其它對齊不錯開的情形是可以一鄰單區塊的，另外對等但錯開的情形可歸入不對等情形，所有的不對等情形都是可以找到一鄰單區塊的，或者被一鄰單區塊，就是多區塊與單區塊相鄰，其中包括偶數個區塊與單區塊相鄰，該情形容易出現對稱圖而撞色，因此偶數個所產生的對稱性需要瓦解掉，凡鄰接色出現四色，都可以用三色閉鏈將第四色隔離，從而可保證奇數個區塊與單區塊相鄰。該性質還可以用」四鄰定理「來闡明，被三色包圍的第四區塊，隔離第四區塊可保持鄰接色不變。以上已證明，一鄰單區塊是可以順利著色的，滿足一條閉鏈可三色區分，相鄰閉鏈可四色區分。奇數個區塊相鄰單區塊也能滿足著色條件。

為了避開使用「悔棋模式」，可設置成幾乎不用二鄰單區塊和二鄰多區塊，實際上僅一種情形非得使用二鄰單區塊，且不會有「悔棋模式」出現，前文已有交代，這裡再提及一下。只有鄰接線上內外頂點數完全對齊或錯位對齊時，才需要二鄰單區塊，其他情形頂點數皆不對等或局部不對等或對等未錯開，此時根據鴿籠定理，都定有單區塊被相鄰閉鏈中的某一區塊覆蓋，或被相鄰閉鏈中的單區塊加肯普鏈覆蓋。

以上證明了，凡被確定一鄰單區塊或被一鄰單區塊的相鄰閉鏈，都是可以順利完成著色的，滿足一條閉鏈三色足夠區分，相鄰閉鏈四色足夠區分。根據鴿籠定理，相鄰閉鏈很容易確定不是存在一鄰單區塊，就是存在被一鄰單區塊，這兩者都是可以滿足相鄰閉鏈的著色要求的。偶數個區塊數相鄰單區塊時，可利用四鄰定理消解一個或交換出一個，並保留鄰接色仍為三類，這是必然可以做到的。

根據以上論述，四色猜想就可以完成封頂證明了。 

證明：①由閉鏈 M1構造的圖 G1可四色區分（有限可列）。②由內向外添加緊緻相鄰閉鏈 M2構造的圖 G2可四色區分（有限可列）。③再由內向外添加閉鏈 M3構造的圖 G3可四色區分（有限可列）。④另由子樹遍歷序列（樹葉序列）可知，從 M1到 Mn 可無漏無窮充滿任意給定地圖，故該序列的延伸與自然數序列的延伸一一映射。⑤現假設依次由內向外（或由外向內）添加緊緻可三色足夠區分的相鄰閉鏈 Mn 構造出的圖 Gn 可四色足夠區分任意圖，可三色足夠區分相鄰閉鏈。⑥那麼根據相鄰閉鏈定理，由內向外（或由外向內）添加緊緻相鄰閉鏈M（n+1）構造出的圖 G（n+1）亦可四色足夠區分任意平面地圖，可三色區分每條相鄰閉鏈。四色猜想得證。

 05. 四色猜想在非「暴力窮舉」層面上獲證意義重大

大凡能夠讀到這裡的，相信一定能聽懂我用更簡單的語言陳述四色猜想的證明。該文證明所要用到的數學基礎離中學生掌握的背景知識並無多大差別。沒有學過鴿籠法也學過整體大於局部，用該公理可以替代鴿籠法；沒有學過若爾當曲線定理也學過子集，補集和全集，照樣可以無縫隙地分類。故本文的證明，沒有超出中學生不能理解的範疇。

1.一幅任意給定地圖，都可以用相鄰閉鏈填滿，出現子圖可依次填滿。數學工具：集合論或若爾當曲線定理。2. 用肯普鏈或肯普鏈加第三色單區塊構造相鄰閉鏈，每條閉鏈不超過三色區分。數學工具：圖形組合。3.在鄰接色在不超過三色的基礎所產生的相鄰閉鏈亦可用三色完成區分。數學工具：鴿籠法或公理整體大於局部。相鄰閉鏈之間必有一條交界線，比較交接線上內外頂點個數，結果有三種情形，內=外，內＞外，外＞內。相等情形用不超過三色可精準區分相鄰閉鏈，要麼是肯普鏈，要麼是肯普鏈加第三色單區塊，很平凡，這是須二鄰單區塊著色的情形，其他都能一鄰單區塊或被一鄰單區塊，如圖5-1，單區塊碰上與偶數個區塊相鄰，會碰上對稱相鄰，從而啟動悔棋模式，將偶數個中的某區塊隔離出去，從而消解對稱性；不等情形，根據鴿籠法分配規則，必有兩點或多點在相鄰閉鏈的某區塊內，故一定有單區塊被相鄰閉鏈中的某區塊完全覆蓋，故互異肯普鏈可以不撞色完成緊鄰包圍，如果是奇數，可添加單區塊從互異肯普鏈中任選一色，單區塊的位置由後繼相鄰閉鏈或前繼相鄰閉鏈的給定圖確定。此外選擇奇數個區塊與單區塊相鄰也是可以人為選擇閉鏈路徑從而定能實現按條件延申閉鏈的。從而可避免碰上」悔棋模式「。

4.兩條相鄰閉鏈不超過四色區分。數學工具：圖形組合。由於每條閉鏈不超過三色，有兩條互異肯普鏈，這樣就得到四色，而第三色單區塊用的都是彼此互異肯普鏈中的顏色，並沒有增添新顏色，故相鄰閉鏈不超過四色可區分。5. 用相鄰閉鏈迭代著色所有給定地圖，顯示四類著色足夠。數學工具：超限數學歸納法。根據前面的地圖結構分析，任意給定圖，都是相鄰閉鏈的延伸，並與自然數映射，故可用數學歸納法完成證明四色猜想。

四色猜想在非暴力窮舉層面上獲證，意味著人類真正理解了時間通過變速和拐彎是可以構造不同空間的，變速是構造一階肯普鏈，拐彎是構造二階肯普鏈，時間是可以儲存和釋放的。這是計算機的基本思想。龐加萊猜想獲證說明了高維信息都落在球面上，四色猜想獲證說明了網頁信息都落在一根繩子上。哥德巴赫猜想獲證說明了繩子上的所有信息都掛靠在蛇頭蛇尾上，都在一陰一陽的連接關係上。四色猜想獲證，說明了我們要學會從不同層面上去思考相鄰關係。如果我們不能用若爾當曲線梳理出線性秩序，就不能使用超限數學歸納法證明四色猜想，就推廣不了二階肯普鏈；如果我們不能用鴿籠法規則找出全覆蓋區塊，就不能使超限數學歸納法中的遞推關係成立，就不能處處可三色構造相鄰閉鏈。可以說，是若爾當曲線定理和鴿籠法抽屜原則證明了四色猜想。由於單區塊總能被後繼或前繼相鄰覆蓋，所以二階肯普鏈能無漏構造。由於若爾當曲線能分割出子樹遍歷序列（前序遍歷即樹葉序列），所以二階肯普鏈能無窮推進。

非暴力窮舉證明四色猜想，終於讓某些核心思想浮出水面。不能線性二項分割的事物是不存在的，中國陰陽思想是鴿籠法運用的典型代表，「二」要承載不能用「二」平分的東西，那麼其一，就必有更多的擔當，這就是陰陽有別的思想。萬物都能夠互異連接構造，這就是哥猜，不能互異線性連接構造的事物是不存在的。我們只知道線性屬於非線性，想不到非線性其實屬於開放的線性中。只要開放簡單，就能囊括複雜。這就是四色猜想獲證的最大收穫。互異相鄰可以完全不在時空中（哥德爾不完備定理），但又完全不離時空（相鄰論和重合法）。本文根據作者數論專著《數學底層引擎相鄰論和重合法》中的論文改寫而成。（文/羅莫）