互素版哥德巴赫猜想的核心證明，筆者於2013年2月已發表於《數學學習與研究》的雜誌上，並收錄於《深圳基礎理論原創文集》（數學物理卷）一書中，該書由海天出版社於2017年5月出版。後經修改，該論文收錄於作者的數論專集《數學底層引擎相鄰論和重合法》一書裡，於2019年9月由海天出版社出版。重合法是組合數學中的等價變換工具，相鄰論是組合數學中的簡化優化工具，兩者結合可解決互素版哥德巴赫猜想。歐拉版哥德巴赫猜想是互素版哥德巴赫猜想的一個推論，互素版哥猜獲證可推動久未解決的系列相關猜想獲證，有多米諾骨牌效應，以此作引理，齋藤猜想、強孿生素數猜想、波利尼亞克猜想以及梁定祥猜想、克拉梅爾猜想亦獲證明。
【關鍵詞】互素版哥德巴赫猜想；孿生素數猜想；波利尼亞克猜想；齋藤猜想；梁定祥猜想；克拉梅爾猜想；整數三元互素定理；整數相鄰互素定理；素數無窮定理；格林-陶哲軒定理；素數數列有限長定理；素數數列組數無限長定理；素數差值的差值等於2存在無限匹配解定理。
寫在前面素數間隔等於2的素數對有無窮多組，這就是孿生素數猜想。
本文將證明它是如何成立的。在證明之前，我們圍繞該問題來漫談下其數學思想的背景及其應用，以便為解決該問題準備些數學變換和數學優化方面的數感。
孿生素數猜想說明了在不同的時空參照系裡有相同的規律呈現（素數數列有限長定理），這是相對論的數學思想（等效原理）；在同一的時空參照系裡有不同規律呈現（素數數列組數無限長定理），這是量子論的數學思想（不相容原理）。
完成證明孿生素數猜想可以推動量子力學的發展。量子糾纏，量子疊加和坍塌，測不準原理，不相容原理皆可用相鄰論數學思想來解釋。不確定是確定的擴域函數，不相容是相容的推廣概念，皆可看成是糾纏態的反映。不同空間的規律處處等效，這是相對論，同一空間的規律時時有別，這是量子論。二者是互補律，不能彼此替代。它們發生在雙方共有的封閉空間裡。
未觀察的信息包是不確定與確定的疊加，觀察帶來的坍塌，是選擇信息包中不同單位元的關聯子集所帶來的結果。選擇了a為確定，b就不確定，選擇了b確定，a就不確定。素數特徵向量的矩陣變換到素數特徵向量的特徵值及其可逆過程是相鄰論運算，是量子疊加和量子坍塌的數學呈現。量子技術、量子通信不是一種超光速的信號傳遞，而是對信息載體的一種加密解密過程。可目測的世界光速運行是極限速度，不可目測的世界存在超光速運行，量子論關心的恰是不可目測而僅能心算的世界。
在時間單位元的同時世界裡存在不同時現象，在光信號感覺的世界裡是同時的，但在心信號感覺的世界裡是不同時的。
量子幽靈似的直覺，超距時空通信，是因為還存在著一種數學新工具，一種非皮亞諾公理體系。皮亞諾公理體系定義的自然數序列其相鄰關係是彼此相等的，而非皮亞諾公理體系定義的另類自然數序列其相鄰關係是不一定相等的。素數序列是該另類自然數序列中的一種，互異素數特徵向量就是一種另類自然數序列，重合法和相鄰論就是研究這兩類自然數相互流變關係的。相鄰論和重合法就是為了領悟非皮亞諾公理新體系做準備的。這是證明希爾伯特第八問題所帶來的本質收穫。量子論正在呼喚不是等量間隔後繼延申的非皮亞諾公理新體系的出現。領悟大道理要靠自明，不可僅依賴已知的邏輯推理。
等量單位元向不等量單位元變換就是超距時空通信，其實質就是一次解密過程，量子論在目測的實驗世界裡仿佛不合邏輯，違背了同一律，矛盾律和排中律，好像用子範疇推出了大範疇，用果推出了因。但在思維世界裡是邏輯自洽的，量子糾纏在思維世界裡並非是0時間通信，在單位元的世界裡，存在另類時間差，利用另類時間差可完成超距時空通信，故量子糾纏通信依然是耗「時」的，只不過是不同維度的耗「時」，不可目測的超光速對象是存在的。量子論思維是用前繼生成元推出後繼生成元，繼而貌似通過局部推出了整體，貌似用未來決定了過去，其實仍是演繹的，是大範疇推出了小範疇，前繼生成元是一種時序大範疇，就象數學歸納法仍是演繹推理一樣。故相對論與量子論是可以統一的，是自洽的。
愛因斯坦的相對論其本質是等效原理，物理規律在不同時空處處一致；量子論的本質則是相鄰時空存在互異對象，這就是泡利不相容原理。兩者的統一就是數學中的不等量分割大於或等於等量分割。它所對應的就是數論中的整數相鄰互素定理。數論對量子論的深度解釋從此將拉開序幕。量子論還可以用不完備定理的逆向過程來解釋，哥德爾發現了一個等量的世界是有局限的，但如何可逆，反熵則沒有找到思路，相鄰論則找到了一個可回歸本原的思路。
證明哥猜的數學核心引擎是相鄰論和重合法，相鄰論是最底層的簡化和優化工具，側重於互異互素運算，重合法是最底層的變換和映射工具，側重於同態同構運算。兩者結合證明了例外偶數是空集。重合法偏於歸納推理，用於交換過渡，是指向守恆的，是從等量到等量的一種閉合思維，它是相對論的幕後數學推手；相鄰論偏於演繹推理，是指向熵減熵增的，是從不等量到不等量的一種開放推理，它是量子論的幕後數學推手。反證法與數學歸納法有歸納法的外殼思想，但底層子集序列到另一子集序列之間是演繹的，故一切歸納法的本質都仍是演繹的，反證法也是。大道理靠自明靠邏輯輔助，小道理可完全靠邏輯。孿生素數猜想獲證可幫助我們去領悟更深刻的基礎數學思想。
下面我們就來看如何用相鄰論和重合法這兩類數學工具，完成證明孿生素數猜想的。
素數p與形如p+2的素數對有無窮多組，這個命題陳述非常簡單，但證明起來不容易。
雖然給定差值不構成無窮素數數列，數列是以數對間隔來延申後繼數對的，而數組是以非數對間隔來延申後繼數對的，但素數間隔為定值的數對會無窮出現在非等差延申的數組中，當 n=1 時，素數存在無窮組的解滿足方程p-q=2n，此為強孿生素數猜想，當n取大於1的任意一個確定整數時，素數p和q都有無窮組解。此即1849年，法國數學家波利尼亞克①（Polignac）提出的猜想： p-q=2n，即每個偶數等於兩奇素數之差都有無窮組解可滿足方程要求。
160多年來，強孿生素數猜想的證明一直沒有獲得根本進展。作者用相鄰論這個數學工具進行分析，發現強孿生素數猜想隨著哥德巴赫猜想原題的解決，其內在秘密也一併浮出水面，兩個猜想其實是一榮俱榮、一損俱損的等價命題。 早在 20 世紀初，希爾伯特在一次國際數學大會上公布了23個重大數學問題，其中第八個問題，就是哥德巴赫猜想、孿生素數猜想以及黎曼假設，可見這三個問題是緊密關聯的。強哥德巴赫猜想成立，強孿生素數猜想就成立，繼而黎曼猜想也就成立。而哥德巴赫猜想原題，作者用重合法和相鄰論已經完成證明，最早發表在國內專業數學期刊《數學學習與研究》2013年第3期上，該論文還收錄於作者的數論專集《數學底層引擎相鄰論和重合法》一書裡，於2019年9月由海天出版社出版。而孿生素數猜想的證明也於 2017 年已收錄進《深圳基礎理論原創文集》一書中，並於2019年編進了數論專集《數學底層引擎相鄰論和重合法》一書裡，本文是對孿生素數猜想如何獲證的一次科普闡釋。
2013 年張益唐②證明了差值不大於7000萬的相鄰素數對有無窮組，且有數學家已將差值下確界縮小到萬，甚至246。儘管張益唐在答記者問時說，用他的方法差值不可能縮小到最小極值2，然數學界攻克孿生素數猜想總算有了較大進展，一時間引起了國際數學界廣泛關注，期待孿生素數猜想最後破解的熱情空前高漲。數學界最後證明孿生素數猜想的機緣已經成熟，筆者完成對孿猜的證明，也就不敢私藏。
1.1. 用素數減法可表偶數數乘封閉證明孿生素數猜想通過數學新工具相鄰論和重合法開啟了整數不等量分割和等量分割可以相互轉換的暗門樞紐。一個樸素的數學規則被呈現：因單位元缺席，無素數基礎解系的例外偶數不存在，因累積互素，無素數因子可構造的例外偶數不存在。
基於這樣一個思想，我們可以構造不同角度的可表偶數定義。利用該定義可先完成證明哥猜成立，也可完成齋藤猜想的證明。以齋藤猜想獲證作為引理，可證明孿生猜想成立。
1.1.1. 鳳毛麟角可以信，龜毛兔角不可信。可表偶數用兩互異的素數相加的定義在證明哥猜一文中，我們已經用過了，現在我們用兩互異的素數相減來定義可表偶數，同樣可得到在此條件下的例外偶數是空集。因為沒有單位元的數集定是空集，沒有素數基礎解系的數集定是空集。
愛因斯坦在1930年寫給數學家奧斯瓦爾德·維布倫（Oswald Veblen）的信中寫道，「大自然隱藏她的秘密，是因為她崇高，而不是因為她是個騙子。」凡隱藏的秘密都有一個崇高的動機墊底，沒有內涵描述的外延定是空集。鳳毛麟角可以信，龜毛兔角不可信。已知：鳳毛麟角+鳳毛麟角=人民英雄，龜毛兔角+龜毛兔角=假想敵=子虛烏有。還已知：人民英雄+假想敵=普羅大眾。故不難推出人民英雄就是普羅大眾，普羅大眾就是人民英雄。假想敵是沒有數乘單位元的，也沒有內積生成元。
可表偶數的二元加法運算封閉，即可表偶數的數乘封閉，等價於可表偶數在全集偶數中的互補偶數沒有任何新偶數，也就是說不同於可表偶數的例外偶數是空集。根據算術基本定理，可表偶數是全集偶數中的一個子集，是通過抽離某些因子後所得到的子集，那麼可表偶數通過還原數乘因子就定可得到全集偶數。可見可表偶數是全集偶數的單位元。例外偶數由於不能用可表偶數表達，故例外偶數作為全集偶數中的一個子集，並沒有全集偶數中的單位元，故例外偶數就不存在通解。特徵值所對應的單位元之最簡本原解是空集，線性變換所對應的單位元之最簡本原解是空集。於是它們的通解定是空集。
1.1.2. 為何偶數不等量分割方程必有最簡本原解那如何證明可表偶數就一定是全集偶數中的單位元呢？證明並不複雜，根據伯特蘭-切比雪夫定理，全集偶數中的任意偶數都可以通過減去任意一個大於中值數的素數得到另一個小於中值數的奇數（含素數），即p+bq=2n，p、q是奇素數，b是正整數，n是大於3的全體自然數，其中p+bq=2n，可等價變換為，（p+q）（1+b）T=2n，即全集偶數2n是可表偶數（p+q）的線性映射，2n=2mc，2m是可表偶數，c是係數向量（1+b）T所對應的特徵值，c取有理數。
還記得希爾伯特的特徵值方程麼？Av=λv，v為特徵向量，A為矩陣變換即係數向量，在偶數分割方程中，它對應（1+b）T，λ為特徵向量上的變換係數所對應的特徵值，偶數分割方程中，它對應c，沒有用兩互異素數之和表達的單位元特徵向量，便沒有例外偶數的函數值。因為全集偶數定是單位元可表偶數2m數乘c的值，或是基底解可表偶數（p+q）的線性映射（1+b）T後的值，空集的單位元，其數乘c後仍是空集，空集的基底解，其內積（1+b）T後仍是空集。
因為例外偶數定義了不存在形如（p+q）這樣的素數基底解集。故例外偶數的通解定是空集。前面已經證明了，全集偶數都必有素數基底解集，例外偶數作為全集偶數的一個類型偶數子集，也不「例外」，類型偶數也必有素數基底解集，一旦沒有素數基底解集，那只能是空集。可見是例外偶數的定義決定了例外偶數是空集，知道例外偶數是空集，又知道全集偶數是例外偶數與可表偶數的併集，立馬就可推理出大於6的可表偶數與大於6的全集偶數等價。
這裡的全集偶數相當於普羅大眾，可表偶數相當於人民英雄，例外偶數相當於假想敵，普羅大眾=人民英雄+假想敵，現假想敵為子虛烏有，那普羅大眾就是人民英雄，人民英雄就是普羅大眾。可見二元加法運算在可表偶數上是封閉的，於是2n=p+q（其中n＞3，p與q為不同奇素數）的互異版哥猜命題就成立了。
如果對以上證明不是令您心服口服，還可以用能直覺理解的互異互素思想來證明例外偶數是空集。
1.2.可表偶數定理能用兩個不同奇素數之和表示的偶數叫可表偶數，只能用兩個以上奇素數之和表示的偶數為例外偶數，而這樣的例外偶數必定是空集。即加法二元運算在可表偶數上是封閉的。且其推廣，加法n元運算在可表偶數上也是封閉的。可表偶數也叫基礎偶數。例外偶數就是可表偶數（或說基礎偶數）在全集偶數上的補集。
1.2.1.三元整數兩兩互素定理若三元正整數方程 a+b=c 存在 gcb（a，b）=1，則必定存在 gcb（a，c）=1 及 gcb（b，c）=1。證明如下： 假如gcb（a， c）≠ 1，那麼 a與c約掉公因子k後，第一項和第三項還是整數，但第二項 b 約掉 k 後卻成了真分數，如此移項合併後整數就等於分數了，矛盾，這就反證了 gcb（a，c）=1 正確，同理可證 gcb（b，c）=1 也正確。 以此為引理可輕易證明正整數相鄰互素。已知n與m是相鄰正整數，則有n+1=m，因為n與1互素，根據三元方程互素定理，則必有 gcb（n，m）=1。整數相鄰互素定理。這個簡單的定理，用處極大，它是相鄰論思想最底層的數學框架。很多深刻的數學思想都來自於它。
1.2.2.證明可表偶數蘊含所有素因子還有很多種方法也可先證明所有素數的2倍是可表偶數，從而得到可表偶數蘊含所有素數因子。先證明2p為互異型可表偶數，p囊括了所有奇素數。
判定所有奇素數p的兩倍為一般可表偶數還有更簡潔的證明。僅證明2p為普通可表偶數就能簡潔證明歐拉型哥猜成立。因為2p=p+p（p為奇素數），滿足一般可表偶數的定義，即能用兩個素數之和表示，說明一般可表偶數已含所有的奇素數因子，再加上2×4=3+5，可見一般可表偶數除以2後也蘊含偶素數因子。在此條件下，再使用自然數相鄰互素定理就能很容易證明歐拉型哥猜成立。但互素型哥猜要想獲證，還需要以下新的思路。
令 2m（含 2p 亦含 2^w）為互異型可表偶數，互異型可表偶數就是能用兩互異奇素數之和表達的偶數，2p´為例外偶數，例外偶數就是不能用兩互異奇素數之和表達的偶數，p、p´為互異奇素數，它們的併集須囊括所有奇素數q。那麼必有 2p´-2p=2t 或 2p´+2p=2s，p´與 p作為單素數因子因互異而互素，根據三元方程若兩元互素必三元兩兩互素的性質，p與t必累積互素互異，p´與t必累積互素互異，或者p與s必累積互素互異，p´與s必累積互素互異。由於構造t或s的素因子始終要與p及p´互素，其累積結果，導致要與所有的奇素數q互異而互素，初項t或s與每個q（所有素數）皆互異而互素乃必要條件，如此t或s就沒有奇素因子可構造，加上2p´-2^w =2t 或2p´+2^w=2s，t與偶素數2也互素，故例外偶數2p´不存在。
因為所有奇素數q的2倍，定是互異型可表偶數2p以及互異型非可表偶數 2p´ 的併集，意味著t或s要始終與所有的奇素數及偶素數互素。因此2t 或2s 就不存在，故2p=2q，2q必為互異型可表偶數。如此就證明了互異型可表偶數包含了2倍的所有奇素數q。這就是所有奇素數q的2倍為互異型可表偶數定理，如此互異型可表偶數當然也就蘊含了所有的奇素數因子。
1.2.3.為何龍頭例外偶數與所有可表偶數是累積相鄰互素的與可表偶數A互異的叫例外偶數B，全體例外偶數B與全體可表偶數A約掉一個共因子2後一定是同所有可表偶數中的素因子互素的，即 A=2m，B=2h，則（m，h）=1。
證明：全體例外偶數與全體可表偶數一定是奇素因子互素的，因為相鄰偶數是所有素因子互素的（根據三元方程中兩元互素必三元互素而得到該引理， 現已知 2n與2m是一對相鄰偶數，2n+2=2m，即 n+1=m，1 與n互素，n與m 必有一奇數，故n與m必奇素數互素，否則約掉共因子會產生整數等於分數，矛盾）。不難理解，要產生新的例外偶數2h，要麼是例外偶數2h的後繼偶數，要麼是可表偶數2m的後繼偶數，第一個產生的例外偶數都要與所有的可表偶數互異，因此例外偶數2h一定是累積同所有可表偶數2m的奇素因子互素的，必須要有第一個例外偶數，才會有例外偶數的後繼例外偶數。由於第一個例外偶數2h須同奇素數全集互素，因可表偶數2m全集中m含所有素因子，故第一個例外偶數2h會與全體可表偶數的所有素因子互素而不存在，即h還同m中的2因子互素，故h也不會是2冪數，於是例外偶數的後繼例外偶數也就不存在。如此全體例外偶數只能靠全體可表偶數後繼相鄰產生，別無他法，於是全體例外偶數若存在，那必有相鄰的可表偶數，它們約掉一個 2 因子後必是互素的。這一點由相鄰互素定理決定。
有人會問，後繼生成的可表偶數與前繼可表偶數，也存在互異相鄰，相鄰互素，為何新生成的可表偶數不會是空集呢？這是因為例外偶數與新可表偶數的內涵定義是不一樣的：那就是例外偶數同所有可表偶數是全體互異的，而新的可表偶數同所有可表偶數不會全體互異，而是它們的子集。可表偶數與新可表偶數存在互異遠鄰，遠鄰同素或重合同構，同構等價的關係，如2a與（2a）^2就遠鄰同素，2a與2a就重合等價。而可表偶數與例外偶數則不存在這種關係，首先它與可表偶數不會重合等價，其次也不會遠鄰同素，因為第一個例外偶數2h，其中h不但與可表偶數2m中的m1互異互素，且與m2、m3……mi都互異，且必與其一亦相鄰互素，還要與剩下的也相鄰互素，直到全部。
到這裡就可回答為何例外偶數與可表偶數約掉2因子後為何會累積互素了。
因為首個例外偶數同可表偶數約掉2因子後是相鄰互素且全體互異的。首個例外偶數如果存在，要麼同第一個可表偶數互素互異，要麼同第二個可表偶數互素互異，…要麼同第n個可表偶數互素互異，因此首個例外偶數如果存在，必須同所有可表偶數累積互素互異，而可表偶數含所有素數因子，於是得出首個例外偶數無素數因子可構造。由於不存在第一個例外偶數，故也就不存在所有後繼例外偶數。例外偶數是空集。該證明體現了線性世界必須服從同一律，矛盾律，排中律。
以下為證明關鍵：首個例外偶數2h中的h1要麼同可表偶數2m中的m1互異而相鄰，相鄰而互素，且不能等於m2，也不能等於m3，也不能等於…，也不能等於mi，這就要求與它們逐個皆相鄰互素，因為不能相繼等於其中任意一個mi，只能全部相鄰互素一遍，h是同一個可表偶數之併集U（mi）相鄰互素，其中i∈1~n，於是例外偶數2h中的h，與可表偶數2m中的m須累積互素。而可表偶數2m全集是蘊含所有素數因子的（已證2p是互異型可表偶數，故m含所有奇素數因子p，8是可表偶數，故m也含偶素數因子2），故h與m累積互素的結果是，h無素數因子可構造，於是例外偶數2h為空集。（證畢）
1.3.三元方程若兩元互素則三元兩兩互素我們把任意偶數拆分為兩個不同奇數的三元方程化約為互素方程： ap-bq=2n（即通過數乘消去律，消去最大公因子，把偶數任意分割的等式式變為不可約多項式方程）（其中 p、q、a、b 互素，且 p、q 為奇素數，a、b 為自然數，n為大於3的自然數）
每次令第一項與 2n 互素，必三元互素，否則有分數，這與差值必有整數解矛盾，故三元方程，若兩元互素必三元兩兩互素。
即最簡本原解方程 p-q=2m 在本原解方程的基礎上根據內積消去律消去了屬於一對正交基的向量組（1，b，c）T。最簡本原解通過還原兩類消去律，將得到所有通解。在這裡素數基礎解系就是素數核空間，就是素數基底解集。
到此我們證明了一個重要引理，奇數不等量分割方程的整數域二維線性空間必有互異素數差值基底。
1.3.1.素數差性定義可表偶數繼續定義 p-q=2m，其中2m的數乘等於2n，即2n的通解是2m的數乘。（其中 p、q 為奇素數） 我們再來定義 p-q=2m為可表偶數，2m´為不同於可表偶數的例外偶數，那2m就是間隔偶數方程的最簡本原解。
1.3.2.於是可推理得到，例外偶數 2m´不存在最簡本原解。如果例外偶數2m´有最簡本原解，2m´=p-q，因為彼此互素，那麼例外偶數就是自身的最簡本原解，就是可表偶數，這與例外偶數的定義發生矛盾，故例外偶數2m´不存在最簡本原解，於是也就不存在關於例外偶數的通解。
1.3.3.還可以推理得到，例外偶數 2m´解集是空集Ø。如果例外偶數2m´沒有最簡本原解，2m´≠ p-q，那麼例外偶數的原方程也就沒任何通解。因為原方程所有解都是最簡本原解（既約正解或說基礎解系）的數乘，最簡本原解是空集，它的數乘（含叉乘）也必是空集，它的點乘也必是空集。總之，例外偶數橫豎是空集，可得同構等式2n=2m ∪2m´=2m ∪ Ø，故2n=2m。於是可證2n=p-q為同構等式，其中n＞0，p、q互素且為所有奇素數。
1.3.4.間隔差定值可列的每類素數對必有一類是無窮組。於是我們得到 2n=p-q，差值2也在其中，以上可知存在差值無限趨大的素數對，那是不是有一種差值為定值的素數對有無窮組呢？張益唐就做了這件事，他證明了差值 7000萬以內有無窮組的素數對可滿足要求，這樣根據鴿籠原理，就至少有一類差值素數對擔當了向可無窮分布的使命。那麼有沒有別的辦法可證明這個結論？顯然可以繞過張益唐的證明結果。
這個類似結果可以用反證法來證明，如果間隔差可列的每類素數對都是有限組的，那麼差值 2，差值 4，差值 6……差值 2k的素數對將在某個有限間隔2w後不再出現間隔素數對，這就意味著間隔2k的素數對是有限組的，而間隔為不定值且要＞2w的素數對會與伯特蘭定理相矛盾。加上素數數列是有限長的，也就是說無窮素數是不存在的，這同歐拉已證明的素數有無窮個相矛盾。假如無限種偶數間隔的素數對可無限延申，但每組有限長素數數列彼此之間的間隔與素數數列間隔是必須互異的，組間隔有限，意味著超大素數數列之間不再有組間隔，這就會出現無限長素數數列，於是矛盾。故「間隔差無窮可列的每類間隔素數的對數都不超過某一有限對數的」這個命題是不真的，因此必有差值無窮可列的素數對是擁有無限對數的，這個無窮可列的素數對間隔差可取定值2w，相應的素數對數也會趨於無窮大。說明任一素數數列的組間隔有限與組個數有限都會產生矛盾。於是間隔為定值2w的素數對必有無限組是成立的。這個命題與張益唐的證明結果有等價意義，都是素數間隔定值，雖然沒有張益唐的素數間隔小，但有另外的非凡意義。說明這樣的定值在無限偶數中都可能存在，如此離波利尼亞克猜想更接近。用「定值間隔的素數數列有限長定理」，「素數數列數組無限長定理」（不定值間隔的素數數列無限長定理即格林-陶定理是其中一個特例）和「伯特蘭-切比雪夫定理」就可證明同張益唐定理一樣重要的結論。
同胞們，這個結論可是能獲得科爾數論獎的，張益唐因「間隔為定值2w（7000萬內）的素數對必有無限組」而獲得該項獎，千萬要認真閱讀呀。間隔為定值2w的素數對必有無限組，本文作者是通過發展中的初等數論用歸謬法證得的，假如間隔為定值的素數對是僅有限個的，素數數列的組間隔就是有限個的，後面不再有該定值的素數數列（含素數對），也不會有間隔為不定值的其它素數對，因為新增間隔為不定值的素數對需要新增間隔為定值的素數對為前提，否則相鄰素數之比會超過2，違背素數定理，也會同伯特蘭-切比雪夫定理相矛盾。這就意味著要麼沒有新增素數數列，會同歐幾裡德素數有無窮多個的定理相矛盾，要麼有一個貫穿到底的新增素數數列，會同素數數列是有限長的定理相矛盾。素數數列是有限長的定理很容易證明，當素數數列的項數含初項素數因子，該延申項就不再是素數，素數數列就中斷了，而自然數n的延申是含任意素數的，故素數數列定是有限長的，還可依次證明，素數是沒有通項公式的。基於以上三條路徑都會矛盾，故可歸謬得出間隔為定值2w的素數對必有無限組。
1.4.齋藤猜想③的推論：（p1-p3）-（p4-p2）=2 有匹配的無窮組解。我們可以假設這個素數間隔無窮可列值為2w，根據 2n=p-q 的推論，必有 （p1-p3）-（p4-p2）=2（從相鄰偶數關係推理而來，且根據齋藤猜想獲證已知兩組素數差值為不定值時兩組皆有無窮組解），即間隔素數對的組間隔為2時各有無窮組解，現還已知（p1-p3）=2w（w為定值） 擁有無窮組解，那麼與之匹配的間隔差值等於2的素數對（p4-p2）就一定也擁有無窮組解。
我們來證明這一命題。假如（p4-p2）為定值時的解集是有窮的，那麼大於p4的2w-2就不能用兩素數之差來表達，超大偶數即大素數區域就不能構造緊鄰偶數，就不能產生無窮無漏的後繼偶數，這與齋藤猜想矛盾。由此可得（p4-p2）=2w-2（w為定值） 也有無窮組解，將這個運算迭代運行下去，必將得到（p4-p2）=2 也有無窮組。於是孿生素數猜想獲證。
1.4.1. 哥德巴赫猜想與孿生素數猜想是等價命題前文根據齋藤猜想或哥德巴赫猜想的推論（p1-p3）-（p4-p2）=2 有無窮組解， 即共軛差之差等於2的奇素數對有無窮組，只要共軛差等於任何偶數2k的素數對有無窮組，即根據陶哲軒的「素數等差數列可任意長」（格林-陶定理）就可以推理出共軛差等於 2k-2 的素數對有無窮組，否則無法匹配產生差值2，即無法保證產生每一個後繼偶數，由此可推得孿生素數猜想成立。但因其不是定值的等差數列，故得到的推論還是不夠嚴謹的。但我們已經證明了，間隔為定值2w的素數對有無窮組，再根據齋藤猜想獲證的一個推論（p1-p3）-（p4-p2）=2 有無窮組解，就可證明孿生素數猜想成立。其實反過來，如果孿生素數猜想成立，也一樣可以推理出哥德巴赫猜想成立。
根據皮亞諾公理，正偶數是從2開始差值為2的全部後繼整數的集合。因此可知 2（kn+1）-2kn=2 有無窮無漏組，已知孿生素數有無窮無漏組，即（p4- p2）=2有無窮無漏組，把（p4-p2）代入等價的2kn，可知與前者匹配的素數差值（p1-p3）=4 有無窮無漏組，否則產生不了「差值的差值」的非孿生後繼素數對，已知無窮密集延伸的素數對是不可能存在的，大於3的三個等差奇數絕不可能全是素數，必有含3因子數，因此必須要有間隔為非2的素數對產生，才能保證素數之間「差值的差值」能產生後繼偶數，繼而才有無窮素數的遞增。
假如沒有無窮無漏非孿生素數對就沒有孿生素數的無窮無漏延伸，假如沒有無窮無漏間隔為2n+2 的素數對就無法產生素數差值的差值為緊鄰偶數。2n的無窮無漏組素數對包括孿生素數，如此偶數集合就會是有漏的集合，於是矛盾， 故差值為2n的素數對有無窮組就是正確的。
依次把（p1-p3）=4 素數對作為新的（p4-p2）代入等價的 2kn，可知素數差值新一類的（p1-p3）=6 有無窮無漏組，否則間隔為4的素數對之後就無法產生差 值為2的緊鄰偶數。
又依次把新一類的（p1-p3）作為新的（p4-p2）代入等價的 2kn，可知素數差值（p1-p3）=8 有無窮無漏組； …… 通過以上後繼迭代，可知兩素數之差可表所有偶數，（pi -pj ）=2n，即每個偶數都可以至少用一對奇素數之差表示，而這個就是齋藤猜想。
齋藤猜想是哥德巴赫猜想的等價命題。根據齋藤猜想的推論： （p1-p3）-（p4-p2）=2 有無窮無漏組變換，可知（p1+p2）-（p4+p3）=2 也有無窮無漏組，於是（p1+p2）也一樣能夠迭代獲得2n，即（p1+p2）=2n，其中p為所有奇素數，n>3。 以上就證明了孿生素數猜想與哥德巴赫猜想等價。
1.4.2. 哥德巴赫猜想和齋藤猜想是等價命題「兩素數之差可等於任意偶數」，此判定隨著哥德巴赫猜想獲證，而成為強哥德巴赫猜想的一個等價定理。前面用可表偶數的差性定義，可直接證明可表偶數互為補集的例外偶數是空集，從而可證明齋藤猜想成立。齋藤猜想還可以與哥猜互推成立。之前已經證明通過可表偶數的差值定義與和值定義可分別證明齋藤猜想和哥德巴赫猜想成立，當然也可以用別的辦法來互證。
根據互素型哥德巴赫猜想獲證，可知p大+p小 =2n 是成立的（n為小於或等於 4 的自然數，p 為奇素數，等式兩邊同時減去 2p小）則 p大-p小=2n-2p小 =2（n-p 小）， 當 n 為任意自然數時，p 為任意素數，雖然 p 小不是常量，依然能證明 n-p小可 以獲得所有自然數，2（n-p小）仍為全體偶數。證明的要點是： p 大 +p 小 =2n 是兩兩互素的，p大 -p小 =2（n-p小）也是兩兩互素的。 因為（n-p小）作為自然數中素數的「補集」，把素數「剪除」了，一定是所有合數，而所有素數的 2 倍是自然數 n 中的一個合數子集，該子集分別一一 減去所有的素數，可相應得到所有的素數（哥猜推論）；另外也能得到偶素數 007 差值等於 2n（n ≥1）的素數對各有無窮組 2 和單位數 1。因此（n-p 小）是可以獲得所有合數，也可以獲得所有素數的， 即（n-p小）依然可囊括自然數全集，可證 2（n-p 小）為全體偶數已經具備充分 條件。再看 2（n-p 小）為全體偶數是否具備必要條件？是不是只有 2（n-p 小）為 全體偶數才會有任意匹配的 p 大 -p 小？回答是確實如此。根據在 p 大 -p 小 =（2 n-p小） 中，左兩素數項與右一偶數項是兩兩互素的，2（n-p 小）必須囊括所有素數因子。 可用反證法證明，如果有素數因子 r 缺位，那麼 2（n-p 小）必不含 2n r，而 2n r-3 要麼是奇素數，要麼是奇合數。 若是奇素數的話，p 大 -p小就不能包括所有素數了，有新缺位素數，與定義 矛盾； 若是合數的話，因三元互素，定能分解出新素數因子， p大-p小就一定不能 包括所有素數了，顯然也與定義矛盾，p大 -p小是包括所有奇素數的，即素數要求 是無漏無窮的，可見 2n r-3 是素數是合數都與左邊減項中包含所有奇素數的定義矛盾。
因此 2（n-p 小）中素數因子有缺位的假設是錯的，故 2（n-p 小）中囊括了所 有的奇素數因子。說明奇素數相減所得到的偶數囊括了所有素數因子。 我們知道所有自然數加素數 n+p=k 是仍等於所有自然數的，故所有自然數 減素數也必囊括了所有自然數，即 n=k-p，剛已知 k 亦為所有自然數。故（n-p 小）確實仍為自然數全集。 根據哥猜證明的結論，用兩不同奇素數相加所定義的可表偶數是包含所有素數因子的，且證明了可表偶數的數乘存在不能擴域的性質，證明了可表偶數就等價於全體偶數。而且兩奇素數相減的可表偶數，同樣沒有例外偶數，它的數乘也不能擴域，證明方式同證明哥猜一樣。因為可表偶數的二元加法運算是封閉的，其逆運算二元減法運算在可表偶數上也是封閉的，通過方程的移項，即可獲得。
另外定義兩奇素數相減為可表偶數也一樣可獲證明，它同全集偶數等價，因為可表偶數的數乘不會擴域，且數乘後又必須與全集偶數等價，只能說明定義的可表偶數就是全集偶數。哥猜一文已經完成該命題的詳細證明。所以 2（n-p 小）為全體偶數，故兩素數之差可以獲得任意偶數。而這個數學判斷就是齋藤猜想，這樣齋藤猜想因哥德巴赫猜想成立也就獲得了證明，哥德巴赫猜想和齋藤猜想可看成是等價命題。只是由齋藤猜想推導哥德巴赫猜想成立則更直觀些。
1.4.3. 差值為 2 的所有後繼數產生了所有偶數齋藤猜想還可以用另一種方式推理得到。已知哥德巴赫猜想被證明成立， 即 p1+p2=2n（p 為奇素數，n 為自然數，以下相同）。 又因為（p1+p2）-（p3+p4）=（p1-p3）-（p4-p2）（代數變換所得）；還得知相鄰 偶數之差必有（p1+p2）-（p3+p4）=2，因為 p1、p2、p3、p4 兩兩組合的和充滿整個偶數集。
同樣還得知相鄰偶數之差必有（p1-p3）-（p4-p2）=2，因為在整個偶數相鄰間距中處處成立；另外，既然素數對之和相鄰數公差處處等於2，那麼所有的素數對之和的任意偶數公差都可以推理得到。每一次相鄰偶數的差值為2，任意次相鄰就可以得到偶數差值 2n，偶數差值存在 2n，素數對之和的差值就存在2n，素數對之差的差值也存在2n。對齋藤猜想還可以進行補充判斷，那就是不但存在兩素數之差等於2n，還存在兩相鄰素數之差等於2n，儘管相鄰素數之間的比值是有限的，大於1小於 2（素數定理已完成證明），但素數趨於無窮大時，相鄰差值也趨於無窮大。
根據皮亞諾公理，所有偶數都是2的後繼數的後繼數……不斷相加2可得到，再根據（p1-p3）-（p4-p2）=2 的結論，那麼p1-p3=2n 的等式判定就可以由此 得到。也就是說，通過（p1+p2）-（p3+p4）=2 和（p1-p3）-（p4-p2）=2 這兩個代數變換等式完全等價，於是就可以推理出（p1+p2）和（p1-p3）一樣，差值為 2 的所有後繼數產生了所有偶數。齋藤猜想於是就得到了證明。
1.4.4. 波利尼亞克猜想因齋藤猜想成立而獲證明齋藤猜想被證明成立，波利尼亞克｛p1-p2｝=｛2n｝猜想自然也就得到了證明。而波利尼亞克猜想是包含強孿生素數猜想的，即孿生素數猜想的原命題：差值為 2的素數對有無窮組。因為 p1-p3=2n，即兩素數之差可以獲得全集偶數，且素數對的間隔趨於無窮，該間隔素數對的組數就趨於無窮（基於格林-陶定理）。還因為（p1-p3）-（p4-p2）=2（基於齋藤猜想獲證），即間隔為 2 的相鄰偶數所匹配的素數對有無窮組。當（p1-p3）為 2n 有無窮組時，必存在無窮組差值為 2n-2 的素數對｛p4-p2｝=｛2n-2｝。如此迭代推進，可知間隔為任意偶數的素數對皆有無窮組，波利尼亞克猜想獲證。
因為兩偶數之間差值為2n的素數對，隨著偶數的無窮延伸而無窮出現，再根據相鄰論思想得知，新增偶數必有匹配的新增素數對之和相對應，也同時必有匹配的新增素數對之差相對應，否則無法產生新增偶數。因此任意偶數差值的素數對都有無窮組。
若素數對之差不能無窮新增，就不能獲得無窮偶數，顯然會同齋藤猜想的已證結論相矛盾。若差值任意給定的素數對的個數不能無窮新增，就不能獲得無窮相鄰偶數，這也與齋藤猜想的已證結論相矛盾。
因為偶數相鄰遞增可反覆獲得相同的任意給定的偶數差值，這就需要不斷出現新的素數對，它們的差值間距也可以得到任意給定的偶數，這就必須有新素數對不斷地匹配產生，否則就不能產生新增相鄰偶數。故｛p1-p2｝的素數對集合必為無窮無漏集合。由此可證明波利尼亞克猜想成立。強孿生素數猜想成立是其直接推論。反推亦成立，可見兩個命題等價。
2.1. 為何素數的差值的差值方程有匹配協變解集？根據哥猜獲證p+q=2n及偶數性質可得到素數的差值的差值方程和偶數間隔關係，以下n為定值。該命題前文已經證明，現換個角度也可得到證明。
（pi-qi）-（p0-q0）=2 或者 （pk-qk）-（p0-q0）=2n+2
（pi-qi）-（p0-q0）=4 或者 （pk-qk）-（p0-q0）=2n+4
（pi-qi）-（p0-q0）=6 或者 （pk-qk）-（p0-q0）=2n+6
（pi-qi）-（p0-q0）=8 或者 （pk-qk）-（p0-q0）=2n+8
……上下相鄰相減，留下變量素數組，常量素數組去除，等式右邊可獲得相同不變的差值2，等式左邊可獲得不斷遞增的素數組，它們是不同素數區間上的素數組，可差值的差值都等於2。 可見方程的兩對素數差值存在協變遞增而差值不變。（pi-qi）大-（pi-qi）小=2有無窮組解；（pk-qk）大-（pk-qk）小=2n有無窮組解，n可以為任意正整數的定值，波利尼亞克猜想獲證。
根據素數數列有限長定理以及伯特蘭定理也可證明孿生素樹猜想。
不大於任意給定偶數2n間隔的素數對假如為有限組，那麼大素數的增長必然相鄰間隔要大於2n，否則素數數列會無限長，矛盾；但選擇大素數區間的間隔無窮無漏大於2n，又會與伯特蘭定理矛盾，而不新增素數又會與素數無窮個相矛盾。故歸謬可知間隔給定數2n的素數對有無限組。繼而可推出給定的互異遞減間隔為2n-2t的素數對也有無窮組。因為間隔2n的素數對有無窮組，那無窮組間隔2n的素數對其組間隔偶數又不能僅大於2n，否則大素數的間隔就不能構造所有偶數，也會與伯特蘭定理相悖，且不能沒有互異組間隔，否則素數數列會無限長，故必有偶數小於2n的間隔素數對有無窮組。
2.1.1. 二元加法運算在可表偶數上封閉由於組與組之間不能僅遞增間隔（孿生素數除外），那只能無限匹配間隔遞減，且根據鴿籠原理必有偶數為給定值的間隔素數對有無窮組，如此往下窮追，就必有偶數為2的間隔素數對有無窮組，因為必須無窮找到更小的互異偶數做組間隔，這樣孿猜就獲證了。孿猜獲證，那間隔2n-2的素數對就有無窮組；間隔2n-4的素數對就有無窮組；……如此，波利尼亞克猜想就獲證了。
（參考《差值等於2n（n≥1）的素樹對各有無窮組》p085第16行前後內容。）
2.1.2.例外偶數沒有數乘單位元，也沒有內積生成元由於所有偶數都必有通過偶數互異分割方程（2n=q+pp1p2p3……）經點乘和叉乘逆運算後得到的最簡本原解，可表偶數就是用二元單素數表達的最簡本原解。根據偶數互異分割方程可知，所有偶數都是可表偶數（2m=q+p）的c數乘，q、p為奇素數，m為整數，c可定義為有理數，2n=2mc，是二元素數向量的點乘或叉乘。而非可表偶數沒有該最簡本原解，也就沒有點乘和叉乘後的通解，可表偶數的數乘不擴域，故與可表偶數互補關係的例外偶數就一定是空集，從而證明了二元加法運算在可表偶數上封閉。
下面我們就來分割整數。不小於8的全集偶數皆可分割為一對互素的奇素數之和（偶數分割本原解三元方程）。故不小於8的全集偶數就一定有最簡本原解三元方程。因為本原解方程三元互素，在滿足結合律和交換律的前提下，方程右邊偶數項必有含所有奇素數域的一個素因子，方程左邊的兩奇數項也必各含所有奇素數域的一個素因子，所以必有純素數基礎解系方程p+q=2w（p、q、w 為任意奇素數）。如果w不為任意奇素數，2w的數乘亦無法還原得到不小於8 的全集偶數，因為在偶數最簡本原解不小於8的基礎上，任意數乘都會得到多個素因子數或多個2因子數，這樣通項就會有無數偶數漏項，矛盾，故 p+q=2w是全集偶數分割可得到的最簡本原解三元方程，三元一定各含所有奇素數因子域，也就必有匹配的正交基增廣線性組與之線性相關，可還原得到偶數分割本原解三元方程。
我們定義含所有奇素數域的兩個不同奇素數相加所得到的全部偶數為可表偶數2m，顯然2w為可表偶數的子集，於是m就含所有素數因子域，包括偶素數。可表偶數2m是2w的數乘得到的，它是例外偶數2m'關於全集偶數的補集。根據鄰函數性質（a+b=c，若a、b互素，則a、b、c三元互素，同理若m+1=n，則m,n必互素），故例外偶數與可表偶數約掉公因子2後是相鄰互素的。根據例外偶數2m'的定義，它是不能用兩奇素數之和表達的偶數。故它不含2w，所以有關它的整數數乘就是空集，即便是有理數數乘也是空集。沒有單位元的數乘皆為空集，所有的二元素數表達都不屬於例外偶數，例外偶數沒有數乘單位元。
既然所有的偶數及各種類型偶數都必有最簡本原解2w（即數乘單位元，也是點乘和叉乘的單位元），不小於8的全集偶數及各種類型偶數由最簡本原解偶數2w或2w的數乘無漏構成，也可以說，由可表偶數2m或可表偶數2m的數乘無漏構成。所有的偶數都必須能這樣分割和分類，類型偶數是從最簡本原解上分類的，例外偶數也概莫能外。可是例外偶數根據此規則，由於在可表偶數上是空集，在最簡本原解上也必是空集，凡是空集的數乘必還是空集。因為例外偶數是空集，所以可表偶數就等價於不小於8的全集偶數。於是互素型哥猜就獲證，補上特例3+3=6，歐拉型哥猜也就獲證。如果用兩奇素數之差定義可表偶數，一樣成立，於是齋藤猜想獲證。詳細證明見本文作者新書《數學底層相鄰論和重合法》中的第二篇論文《差值等於 2n（n ≥ 1）的素數對各有無窮組》.
例外偶數是可表偶數的補集，通常理解為彼此獨立，沒有相互制約的關係，可偏偏這一點反直覺，它還必須是可表偶數的數乘，它還必須滿足可表偶數的二元加法運算，正是因為在這一點上有主和次的緊密牽扯，不等量分割才給萬物之間留下了秩序關聯。
2.1.3.因為偶數的相鄰差值為2，故可得到齋藤猜想的推論：（p1-p3）-（p4-p2）=2有匹配的無窮組解。假如第一組間隔素數對或有限組間隔素數對為有限長，就意味著第二組或後繼組稍大間隔的素數組必因無限長而導致須素數數列無限長，因後面沒有可隔斷第二組的其它有限長數列了，但所有的素數給定等差間隔數列都是有限長的。這個很容易證明，當素數數列的個數含2p因子時，素數數列就中斷了，所以具體給定的素數數列都是有限長的，故假設第一組素數對或有限組素數對不無窮遞增會與素數存在無窮個和素數數列有限長而產生矛盾。所以（p1-p3）-（p4-p2）=2 中的兩組素數的差值皆為定值時都是無窮遞增的，差值為任何定值的素數數列可以有限長，差值為任何定值的素數數組不能為有限長。陶哲軒的素數數列無限長是從非給定的素數等差數列角度來說的，因此並不與他的思想衝突。
我們還可以證明存在無窮組素數其間隔差為定值2w，用反證法來證明。如果間隔差可列的每類素數對都是有限組的，那麼差值2，差值4，差值6……差值2k的素數對將在某個定值2m後不再出現，這就意味著間隔2k的素數組是有限組的，也就是說緊緻素數是不存在的，這同素數的差值的差值小於定值有無窮組相矛盾。故「間隔差可列的每類素數對都是有限組的」這個命題是不真的，因此必有差值為某一定值的素數對是擁有無限組的，這個間隔定值可取2w。根據2n=p-q的推論，必有（p1-p3）-（p4-p2）=2（從相鄰偶數關係推理而來），現已知（p1-p3）=2w 擁有無窮組，那麼與之匹配的間隔差值的差值等於2的素數對（p4-p2）就一定也擁有無窮組，否則就不能產生無窮無漏的後繼偶數。
由此可得（p4-p2）=2w-2也必有無窮組，將這個運算迭代運行下去，必將得到（p4-p2）=2也有無窮組。於是孿生素數猜想獲證。以上也同時證明了2n中所有定值2w作為素數間隔的素數對都各有無窮組，而這正是波利尼亞克猜想。
2.2. 在張益唐的所證基礎上證明強孿生素數猜想2013年5月，張益唐證明了「差值在7000 萬內的素數對存在無窮組」。在此基礎上可證明強孿生素數猜想成立。後來進展到間隔246內的素數也有無窮組，但出現了解析數論致命性瓶頸「奇偶性問題」，無法繼續完成證明強孿生素數猜想，於是就有人氣餒地認為，根據哥德爾的不完備性定理，強孿生素數猜想是無法證明也無法證偽的，但在中觀邏輯⑤看來，可以對公理進行開放性理解，一定可逆流而上完成最後證明。
根據鴿籠原理，必有差值在7000萬數域內的某一定值的素數對有無窮組，假如這個「至少有一個」的中標鴿籠差值數是 66666666，如果不是，沒有關係，至少在該有限數域範圍內能枚舉一個；於是我們就可以理直氣壯地宣布，差值等於 66666666 的素數對有無窮組，如果不是，那麼我們改口宣布，差值等於 666 的素數對有無窮組。好了，有了這個判定，我們來繼續推演。
根據遞歸原理，在哥德巴赫猜想成立的基礎上得到素數對差值的差值公式，據此公式可進行遞歸求證。因為有哥德巴赫猜想兩素數定理： p1+p2=2n 還因為相鄰偶數的差值等於2，所以有：
（p3+p4）-（p1+p2）=2 代數變換可得到：（p3-p1）-（p2-p4）=2，因此我們得到素數對差值的差值等於 2 的判定公式，在此基礎上就可以進行遞歸推理了。 已知差值等於 666 的素數對存在無窮組，那麼可得知與之匹配的素數對也有無窮組。
據（p3-p1）-（p2-p4）=2； 當 （p3-p1）=666 有無窮組時；則 （p2-p4）=664 有無窮組；當 （p3-p1）=664 有無窮組時；可遞歸得到（p2-p4）=662 有無窮組； ……， 反覆進行，必可得到：當 （p3-p1）=4 有無窮組時；可遞歸得到（p2-p4）=2 有無窮組；而此時的無窮素數對（p2-p4）就是孿生素數，到此，孿生素數的無窮性就得到了證明。
張益唐的證明結論，本文作者已獨立用另外的方法證得。哥德巴赫猜想本身含有這樣的結論。根據哥德巴赫猜想的成立，證明了齋藤猜想成立，即兩素數之差等於 2n，p1-p2=2n，小於 p1 或 p2 的兩素數間隔存在任意給定偶數 2n，大於p1 或 p2 的兩素數間隔依然存在任意給定偶數 2n。如果不存在這樣的新增素數對p3 或 p4，根據素數差值的差值等於2，可推理出無窮素數不存在，於是歸繆可證差值等於2n 的新增素數對存在.
同理可證 pn 或 pn+1 的間隔等於2n也 存在。當素數差值呈現自然數級遞增時，就可不斷得到： p1-p2=2n， p4-p3=2n， p6-p5=2n， p8-p7=2n， …， pn-pn-1=2n， 因為偶數可無限延伸，故可以任意截取相等的2n差值，都有素數差可以匹配獲得。顯然有限可確定的差值等於2n 的素數對總有無窮組。這個結論用來證明強孿生素數猜想時，和張益唐的結論效果是一樣的。
陶哲軒也給出了差值有限的素數對存在無窮組，是可給定的有限的大偶數，並非定值無窮數列，而是差值增大時可相應不斷增長的有限長數列，是指在每次延長上指向無窮長。但數列組是可確定無窮。給定差值的素數對存在無窮組，陶哲軒的結論已經包含，是存在性的有限值。從無窮到有限，並非張益唐首先完成，張益唐首先公開完成的是將差值有限進行了具體值的給出。將可給定的足夠大偶數，確定到了下確界7000萬內。但在證明強孿生素數猜想問題上，陶哲軒的結論和張益唐的結論所起到的作用是一樣的，儘管張益唐的更靠近些。2016 年 7 月在南方科技大學筆者有幸聽了張益唐教授所作《素數的間隔》的報告。張教授在報告會上坦言，哥德巴赫猜想比孿生素數猜想更難一些，命題更強。張益唐的成就彰顯了解析篩法仍有威力，但在鴿籠法和遞歸性上沒有得到徹底展開，僅僅小試了一下牛刀。作者用哥德巴赫猜想兩素數原理可同樣直接得到張益唐的證明結論，而哥德巴赫猜想兩素數原理又是在歸謬法的基礎上才精準獲證的，也是用活歸謬法的結果，而向生成元遞歸的鴿籠法更加重要。歸謬法易接地氣，而鴿籠法善明方向。兩者結合就成為強大的數學工具。而數學歸納法則隱性包含了這兩個工具，初項命題為鴿籠法，後繼命題為歸謬法。
3.1. 孿生素數的無漏性：梁定祥猜想孿生素數猜想僅僅描述了孿生素數無窮性的一面，孿生素數與自然數一一 映射的無漏性一面並沒有得到體現。而梁定祥猜想正好完成了這樣一個無漏性的孿生素數函數表達式，即孿生素數的位置是可判定的。36 與任何非0自然數的平方乘積，可以表示為兩組孿生素數之和。這個簡潔的判定就是梁定祥猜想。這個猜想是哥德巴赫猜想和孿生素數猜想的更華麗展開，它不比哥德巴赫猜想的勢級⑤弱多少，而是近乎等價，彼此都不能直接證明對方，其重要地位目前還無法估量，它透露了龍頭素數的分布規則。
孿生素數猜想僅僅反映了無窮性，而梁定祥猜想表達了素數無漏性的一面，素數的無漏性無疑比素數的無窮性判定更加重要。
梁定祥猜想及其強化版：（p1+p3）+（p2+p4）=36n（強化版）；或（p1+p3）+（p2+p4）=36n2 （弱化版）。
（前一個為強化版梁定祥猜想，可直接推導後一個成立，而後一個成立則 尚不能判定前一個成立。） 我們來證明前一種情況，因為前一種情況已經包含了後一種情況。前一種 可以等價變換為 p1+p2=18n–2。即孿生素數之和可以獲得公差為 18 的等差數列。公差為18的等差數列與孿生素數組存在一一映射的關係。我們來證明這個猜想。
已知，2p1+2p2+4=2n，p1，p2 為類型素數，n 為自然數，但不知道是否囊括了所有自然數。又因為，p1-p2=2 的孿生素數對有無窮組，所以 2n 是無窮量， 還知道，孿生素數對之間差值的差值，可構成等差數列。 即 （p1-p2）+（p3-p4）=4 故 （p1+p3）-（p2+p4）=4 我們還知道孿生素數對會以間隔差大於 2 的不規則數方式無窮出現。就是說偶數除用兩素數之和可全部構造外，還可確定特殊類素數可構造出特殊類偶數。偶數從 2 開始，每次相鄰遞增到第 9 個偶數，都可以用非同組的兩個孿生素數之和表達。這是強化版的梁定祥猜想。 p1+p2=18n-2（n 為非 0 自然數，p1、p2 為非同組孿生素數） p1+p2=18n（n 為非 0 自然數，p1、p2 為非同組，且不同前同後即非模 3 同 餘的孿生素數） 我們來證明這個猜想。
p1+p2 能得到右邊的偶數是確定無疑的，18n-2 是 18n 的相鄰偶數，兩素數之和能持續得到相鄰偶數，只有一種可能，p1+p2 中有孿生素數。為了滿足 n 的各種可能，p1+p2 都必須是孿生素數，如果 p1 和 p2 不是孿生素數，就無法獲得相鄰遞增偶數或相鄰遞減偶數。通過哥德巴赫猜想證得，18n-2 是偶數，可用兩素數之和表示，再由相鄰論得知，18n-2 是偶數 18n 的相鄰遞減偶數， p1+p2 若要獲得相鄰遞減偶數，需要新增孿生素數與原來已有素數相加獲得，或需要新增素數與原來已有孿生素數相加獲得，相鄰論用反證法已經證明了這個判定成立。素數兩兩相加只有孿生素數參與，才能構造出相鄰偶數。
因此，欲要 p1+p2=18n 或 18n-2 成立，就必須讓 p1 和 p2 的定義域雙雙滿足都是孿生素數。一般偶數的每次相鄰遞增，素數相加至少需要有一個是孿生素數參與，這是必要條件，才能讓等式恆成立。由於 18n 是含有 9 因子的類型偶數，不是 2n 全集偶數中其他一般偶數，因此含有 9 因子的類型偶數，都是孿生素數這種類型素數兩兩相加獲得的，除此之外的類型素數不能滿足該條件，如 47+37，且不說它們相加無法獲得相鄰偶數，它們的和也不能整除 9，否決一個類型判定僅需一個例證。由於哥德巴赫猜想已經證明兩素數相加是可以獲得不小於 8 的所有偶數的，因此所有含有 9 因子的類型偶數都是孿生素數相加 構造的，舍此沒有其他類型素數能夠勝任。
我們再來看為什麼孿生素數相加總能構造出 9 因子偶數，是不是需要孿生 素數與其他特殊類型的素數匹配相加才能獲得？奇數的構成分三部分：3 因子數，其他素數因子數，所有素數。因此其他素數因子數和所有素數，它們除以 3，要麼餘數為 1，要麼餘數為 2，而孿生素數是相鄰素數，所以它們的餘數， 若一個餘 1，另一個就定有餘 2 的，因此兩兩相加就會產生 3 因子數。即定存在： p1=3a+1； p2=3b+2； p1+p2=3a+1+3b+2=3（a+b+1）； 由於 a、b 為非 0 自然數，由於 p1、a 互素，p2、b 互素，且 a 為偶數，故定存在： a=3k 或 a=3k+2（因限為偶數，故僅分為 2 類） b=3t+2 或 a=3t（因限為奇數，故僅分為 2 類） 還因為 a、b 不同餘， 故 a+b+1=3k+0（或 2）+3t+2（或 0）+1=3（k+t+1） 故 p1+p2=3a+1+3b+2=3（a+b+1）=3×3（k+t+1）=9（k+t+1） 由於兩素數相加必是偶數，故（k+t+1）必為偶數，k、t 就互為奇偶。
因此非成對非等同的兩孿生素數相加一定能產生 9 因子偶數，由於其他類型素數兩兩相加不能獲得，而兩素數相加是可以獲得所有 9 因子偶數的，既然其他類型的素數兩兩相加不能獲得，那麼只能全部 9 因子偶數皆屬於非成對、非等同、非模3同餘的孿生素數兩兩相加構成，無一例外。
於是，等式 p1+p2=18n（n 為非 0 自然數，p1、p2 為非同組且非模 3 同餘的孿生素數）可圓滿獲證。它的等價表達也就獲得證明： 2p1+2p2=36n 由於p1和p2為非同組孿生素數，所以（p1+p3）+（p2+p4）=36n的等價表達成立，它的推論也就成立：（p1+p3）+（p2+p4）=36n2 （p1，p3）與（p2，p4）模 3 同餘時還可得到：（p1+p3）+（p2+p4）=36n-4 （p1，p3）與（p2，p4）其中一組模 3 同餘時還可得到：（p1+p3）+（p2+p4）=36n-2 同理，（p1+p3）+（p2+p4）=36n2 -4，（p1+p3）+（p2+p4）=36n2 -2 也成立。
以上完成證明了所有的兩孿生素數相加可以得到 36n，那麼反過來，所有的 18n 是否可用兩孿生素數之和表達？
1. 已知： n=1 時，18=11+7，11 和7都是孿生素數； n=2 時，46=29+17，29 和 17 都是孿生素數組中的素數； n=3 時，54=43+11，43和11 都是孿生素數。 2. 且存在： 如果 36s=p+q，p 和 q 都是孿生素數；那麼 36s=p1+q1-36，9（k+t+5）=p1+q1； 由於 k1+2，t1+2，它們的奇數還是奇數，偶數還是偶數，數性不變； 所以（k+2+t+2+1）屬於（k+t+1）的數集中說明當 36s 可用兩孿生素數之和表示時，36（s+1）也可以用兩素數之和表示。且每個 k，t 互為奇偶數時，都可以用兩素數之和表達。這個結論是根據哥德巴赫猜想得到的。因此證明梁定祥猜想要用哥德巴赫猜想做引理才能完成數學歸納法的證明。
2. 由於 9（k+2+t+2+1）是孿生素數之和的結構，一旦獲悉它是一對素數之和時，它就一定是兩個孿生素數，其他素數差值不同，模數結構不同，無法同孿生素數的模數結構一致，因此可證明梁定祥猜想成立。因為 n2 屬於 n 的一個子集。到此，梁定祥猜想強版以及梁定祥猜想弱版也就獲得了完全證明。
這個證明結論可以推理出，孿生素數是無窮的。另外，由 於孿生素數之和可以表示所有的18n，可以推理出，共軛差不同的素數對會產生， 至少共軛差 2k+2 或 2k-2 的素數對會出現，由此迭代推演： 將 2k1+2=2k 帶入 2k+2 就會得到 2k1+4； 將 2k1+4=2k 代入 2k+2 就會得到 2k1+6；……以此類推；將 2k1+2m-2=2k 代入 2k+2 就會得到 2k1+2m。 到此差值 0 到 2m 的共軛素數對都得到了，故共軛素數對 p+q=2m，哥德巴赫猜想獲得證明。所以梁定祥猜想和齋藤猜想一樣，都是同哥德巴赫猜想等價的命題。
根據哥德巴赫猜想的推論（p1-p3）-（p4-p2）=2 有無窮組，即共軛差之差等於2的奇素數對有無窮組。只要共軛差等於任何偶數2k的素數對有無窮組， 那麼就可以推理出共軛差等於2k-2 的素數對就有無窮組，於是就可以遞推到差值為2的素數對有無窮組。雖然可以繞過哥德巴赫猜想直接證明梁定祥猜想，但繞不過相鄰論，可以用相鄰論的思想直接證明梁定祥猜想。
龍頭偶數 2p+2 的兩素數表達，必須要 有孿生素數存在才能表示，如果不存在表示，那麼其他共軛素數對甚至素數多 項式也無法完成表示。 因為根據哥德巴赫猜想的推論（p1-p3）-（p4-p2）=2 有無窮組，即共軛差之差等於2的奇素數對有無窮組，只要共軛差等於任何偶數2k的素數對有無窮組，那麼就可以推理出共軛差等於 2k-2 的素數對就有無窮組，否則無法獲得後繼偶數，於是就可以遞推到差值為 2 的素數對有無窮組。可見沒有孿生素數之和表達龍頭偶數的假設是不真的，它是遞推的基礎，故每個龍頭偶數都必有孿生素數之和可表示，這個結論就替代了哥德巴赫猜想， 可以用來證明梁定祥猜想成立，但仍在相鄰論的證明方法中。
總結有位作家說，人的一生很像是在霧中行走，遠遠望去，只是迷濛一片，辨不出方向和吉兇。可是，當你鼓起勇氣，放下憂懼和懷疑，一步一步向前走去的時候，你就會發現，每走一步，你都能把下一步路看得清楚一點。「往前走，別站在遠遠的地方觀望！」你就可以找到你的方向。這就是素數不存在通項公式但存在迭代表達的文學描述。
文學家的見解和數學家發現的定理殊途同歸。如果把方向看成是因變量， 行走看成是自變量的話，人生就可以用一個函數關係表達，只不過這個函數關係不是直接通項表達，而是相鄰迭代描述，對於離散量數列，幾乎是不可通項表達的。能夠完成任意給定數的後繼相鄰素數之求解目標，進一步說明了所有整數類的離散數列是可以用整數類的緊鄰數列描述的，但不可一勞永逸地用通項描述，而是可以完成相鄰迭代描述。胡適說：「大膽猜想，小心求證」是人生寫照，能完成求證者，必看到或新理解了更深刻的猜想或公理。
三篇解決希爾伯特第八問題的論文就全部完成了，回顧下我們的證明，幾乎沒有離開希爾伯特的特徵值方程思想，前人只是差一點沒有朝素數基底解方向去思考，否則解決希爾伯特第八問題就沒有我們的事了。曾經一位大覺者跟我說過，任何提問者都自帶了能解決問題的方案，即問題本身皆暗含了答案。希爾伯特能很稀罕地提出這個問題，就一定自帶了能解決該問題的知識基礎。果不其然，希爾伯特的數學知識結構正是可解決該問題的前提。
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