孿生素數猜想的新突破

2021-02-15 和樂數學

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孿生素數猜想是數論領域中最著名的猜想之一，自提出以來，便一直困擾著數學家。孿生素數是指那些相差為 2 的素數對，比如 3 和 5、5 和 7、11 和 13、17 和 19、599 和 601……除了第一對孿生素數（即 3 和 5）之外，每個孿生素數對中的第一個素數總是比 6 的倍數小 1。所以第二個孿生素數總是比 6 的倍數大 1。孿生素數猜想說的是，在自然數集中，這樣的孿生素數對有無窮多個。

在詳細討論孿生素數猜想之前，我們先來看看素數的一些規律。首先，2 以外的所有素數都是奇數，偶數總是比 6 的倍數大 0、2 或 4，而奇數總是比 6 的倍數大 1、3 或 5。在奇數的這三種可能中，有一種會引發問題，那就是如果一個數比 6 的倍數大 3，那麼它的因數就是 3。這樣一來就意味著這個數不是素數（除了 3 本身之外）。這也就是為何有三分之一的奇數都不是素數。

1849 年，法國數學家波林那克（Alphonse de Polignac）提出孿生素數猜想。在接下來的 160 年裡，數學家在這一方面幾乎沒能取得任何進展。但在過去十年間，數學家取得了突飛猛進的進展。比如既然證明有無窮多個差值為 2 的素數如此困難，那麼是否可以證明差值為 7000 萬的素數有無窮多個？2013 年，數學家張益唐完美地證明了這一點。

在過去的 6 年裡，包括陶哲軒在內的數學家一直致力於縮減這個素數差值，目前的最好結果是 246，雖然無從知道是否有從 246 縮減到 2 的那一天，但數學家們在越來越接近孿生素數猜想的最終解。

9 月 7 日，數學家Will Sawin和Mark Shusterman發布了一個證明，為孿生素數猜想的研究開闢了一條新的路徑。

新的證明是在一個被稱為有限數系統的設定探討孿生素數猜想。在有限數系統中，可用的數字可能只有少數幾個。這種數字系統被稱為「有限域」，儘管這是一個很小的域，但它們卻保有無限整數所擁有的許多數學性質。數學家一直試圖在有限域上解決算術問題，然後再將結果轉換成整數。

在對孿生素數猜想的研究陷入停滯期時，數學家們認為，若要徹底解決這個問題，就必須提出全新的方法，而有限數系統就是一個很好的選擇。

要構建一個有限域，首先要從自然數中提取出一個有限的數字子集。比如取最小的 5 個自然數，或者取某幾個素數。除此之外，還要改變我們對數字的呈現方式，在通常的想像中，數字是沿著一條數軸展開的，而這裡需要我們將數字想像成時鐘表面的數字系統（如下圖）。

○有限數系統。一個有限域包含了有限的數字元素。| 圖片來源：Quanta Magazine

比如在一個只有 5 個元素的有限數系統中，4+ 3 = 2。在這種系統下，其他運算也遵循相似的規律。不過在有限域中，我們所熟知的素數概念並沒有意義，這裡的每個數都能被其他數整除。例如 7 是本來是不能被 3 整除的，但在一個只有 5 個元素的有限域中它卻可以。這是因為在這個有限域中，7 和 12 是一樣的，它們在鐘面上的 2 的位置上，所以 7 除以 3 與 12 除以 3 一樣都等於 4。

如此一來，有限域的孿生素數猜想就與素多項式相關了。什麼是素多項式？假設一個有限域包含的數字是 1、2、3，在這個有限域中，多項式是以這些數字作為係數的，而一個「素多項式」則是指無法被分解的多項式。例如 x² + x + 2 就是素多項式，因為它不能被因式分解；而 x²-1 就不是素多項式，它可以分解成 (x + 1) 和 (x-1) 的乘積。

那什麼又是孿生素多項式呢？這是指一對差值為固定間隔的素多項式。例如 x²+ x + 2 是素多項式，x²+ 2x + 2 也是素多項式，兩者相差一個多項式 x。有限域版本的孿生素數猜想說的是，差值為 x 的孿生素多項式有無窮多對，而且它們可以相差任意距離。

有限域和素多項式看似過於人為，但這樣做的好處是數學家可以將整數問題轉化成多項式問題，它們或許比整數更易處理。

20 世紀 40 年代，著名的法國數學家安德雷・韋伊（Andre Weil）發明了一種能精確地將小的數字系統中的算術轉換為整數算術的方法，這一發現將有限域的概念推入了公眾視野。在有限域的設置中，一些幾何學中的技術可被用來回答與數字有關的問題。這是有限域特有的性質，很多問題都是憑藉這種用幾何方式進行的重新表述而得到了解答。

利用這種思維，我們可以將每個多項式想像成空間中的一個點，將多項式的係數視為定義了多項式位置的坐標。再以上述的含有 1、2、3 的有限域為例，多項式  就是二維空間中的點 。

只需通過增加表達式的最高次冪就可以構造出更複雜的多項式，因此即使是最簡單的有限域也有無限個多項式。比如多項式  就可以由三維空間中的點  表示，多項式  可用 8 維空間中的一個點表示。這種幾何空間代表了一個給定的有限域內的所有多項式。

利用這種幾何方法，Sawin 和 Shusterman 證明了兩個關於素多項式在有限域中的結果：

孿生素數猜想在有限域中是正確的：相差任意間隔的孿生素多項式有無窮多對。

這項研究為在給定冪指數的多項式中尋找孿生素多項式的個數提供了精確的計數方法。這就好比是知道在足夠大的數值區間內含有多少孿生素數一樣。

第二個結果是數學家一直夢寐以求的。他們的證明表明，在近 80 年後，數學家仍在積極地追隨韋伊對有限域的應用。現在，其他一些研究孿生素數猜想的數學家們也將在 Sawin 和 Shusterman 的基礎上繼續前行。

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本文轉自：原理

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