陶哲軒是華裔數學天才、目前數學界響噹噹的人物，也是極受學生歡迎的UCLA數學教授, 31歲即獲菲爾茲獎。目前主要研究調和分析、偏微分方程、組合數學、解析數論和表示論。
天才數學家陶哲軒的第一本書，15歲時的著作
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千裡之行，始於足下。
——老子
不管你認不認同這句格言，求解一個題目總是從富有邏輯性的簡單步驟開始（然後繼續這樣進行下去，直到最後得出答案）。但是，只要我們有敏銳的目光，並沿著清晰的方向堅定不移地大踏步前進，那麼我們完成千裡之行根本就不需要走上百萬步。抽象的數學並不存在實體的限制；人們總是可以重新回到問題的開始，嘗試尋找新的突破口，抑或隨時返回上一步。但在解決其他類型的問題時，我們或許就不能這樣隨意地操作了（例如，當你迷路時試圖找到回家的路）。
當然，這並不代表我們一定能夠容易地求解出問題的答案。如果問題都變得容易解決，那麼本書的內容將會減少很多。但讓解題變得容易起來也是有可能的。
存在一些正確解題的一般性策略和角度。波利亞的經典文獻（波利亞，1957）介紹了很多這方面的內容。接下來，我們將討論其中的一些策略，並簡短地闡述在下面這個問題中，每一種策略是如何應用的。
一個三角形的三條邊長構成公差為 d 的等差數列。該三角形的面積為 t。求該三角形的邊長和角度。
理解問題 這是什麼類型的題目？一般存在三種主要的題目類型。
「證明……」或者「推算……」的題目。這類題目要求證明某個特定的命題為真，或者推算出某個特定表達式的值。
「求一個……的值」或者「求所有……的值」的題目。這類題目要求我們求出滿足特定條件的一個（或者所有）值。
「是否存在……」的題目。這類題目要求你要麼證明一個命題為真，要麼給出一個反例（於是這類題目就變成了前兩種類型題目中的一個）。
題目的類型是非常重要的，因為它決定了解題的根本方法。「證明……」或者「推算……」的題目要從給定的信息入手， 目標是推導出某個命題為真或者求出某個表達式的值。一般來說，這類題目要比另外兩類題目更容易些，原因在於這類題目有一個明確可見的目標，從而讓我們能夠有意識地根據這個目標來求解。「求一個……的值」的題目則更具有偶然性， 我們通常必須先猜出一個可能正確的答案，然後對它進行適當的調整，從而使其更接近正確答案；我們也可以改變目標對象必須滿足的條件，從而使改變後的條件更容易滿足。「是否存在……」的題目一般難度最大，因為必須先確定這樣的對象是否存在。如果存在這樣的對象，那麼要給出證明；否則，就給出一個反例。
當然，並不是所有的題目都可以簡單地劃分到這三種類型中。但是，當求解一個題目時，一般的題目分類有助於我們選擇合適的基本解題策略。例如，如果試圖解決「在這個城市中找一家旅館過夜」這樣一個問題，那麼應當把要求改為「在5 公裡範圍之內，找到一家有空閒房間的旅館，並且住一晚的房費不能超過100 美元」，接下來使用排除法去找滿足條件的旅館就行了。這種策略要比證明這樣的旅館存在或不存在好得多；同時，這種策略可能也比隨便找一家旅館，然後試圖證明可以在該旅館中過夜要好。
在問題1.1 中，我們遇到的是一個「推算……」類型的題目。這需要在給定若干變量的前提下求出幾個未知量。這就提示我們應當使用代數方法而非幾何方法來求解。通過建立關聯 d、t 以及三角形邊和角的多個方程，最終求解出未知量。
讀懂信息 題目中給出了哪些信息？一般來說，在一個題目中會給出若干個滿足某些特定條件的對象。想要讀懂這些信息，需要弄清楚這些對象和條件之間是如何相互作用的。集中精力選擇合適的技巧和符號，對解題來說是非常重要的一件事。例如在問題1.1 中，能夠獲取的信息有：這是一個三角形，三角形的面積以及該三角形的三條邊長構成了一個公差為 d 的等差數列。因為已知的是一個三角形，而要考察的是該三角形的邊長和面積，所以需要使用與邊長、角度和面積相關的定理來處理這個題目：比如正弦法則、餘弦法則以及面積公式。另外，由於題目涉及等差數列，於是我們將使 用一些符號來說明該數列。譬如，三角形的三條邊長可以分別表示成 a、a + d 和 a + 2d。
明確目標 我們想要達到的目標是什麼？這個目標可能是求出某個對象的值，證明某個命題為真，確定某個具有特殊性質的對象是否存在，等等。就像在「讀懂信息」這個策略中提到的那樣，明確目標有助於我們集中精力選取出最好的解題工具。此外，明確目標對於確立戰術目的同樣有很大的幫助，這能使我們更加接近問題的答案。這個例題的目標是「求出該三角形所有的邊長和角度」。正如前文中所說的，這意味著我們需要的是關於邊長和角度的定理及結論。這同時也明確了「找出涉及三角形的邊長和角度的等式」這個戰術目的。
選取恰當的符號 有了信息和目標，還必須採用一種高效的方法，把它們儘可能簡單地展現出來。這通常會涉及前文中談到的兩種策略。在這個樣題中，我們已經考慮到了建立關於 d、t 以及三角形邊長和角度的等式。三角形的邊長和角度還需要使用變量來表示：可以把邊長分別取作 a、b 和 c，同時把角度表示為α、β和 γ。然而，利用題目中的信息可以進一步地簡化這些符號：由於三角形的邊長構成一個等差數列，於是我們可以使用 a、a + d 和 a + 2d 來代替 a、b 和c。但是使用形式上更加對稱的符號 b－d、b 和 b+d 來表示邊長要比上述符號更好。這種表示的唯一小缺陷是 b 必須大於 d。但經過進一步的思考，我們發現這算不上限制。實際上，b > d 只不過是一個額外的信息。還可以把三個角度分別取作α、β 和180°－α－β ，進而對符號做出更大的調整，但這種表示並不美觀，並且在形式上也不對稱，所以保持之前的符號可能是更好的選擇，不過要記住 α + β + γ = 180°。
用選取好的符號寫下你所知道的信息，繪製一張圖表 把所有的信息都寫在紙上，有如下三方面的幫助。
你之後可以方便地參閱紙上的內容。
當遇到困難時，你可以盯著這張紙進行思考。
把知道的信息寫下來能夠激發你新的靈感和聯想。
要注意的是，你沒必要寫過多的信息，不需要把細枝末節都寫在紙上。一個折中的辦法是：重點強調那些你認為最有用的內容，並把存在更多疑點的、冗餘的或是瘋狂的想法記錄在另一張草稿紙上。我們能從樣題中提取出下面這些等式和不等式。
在上面這些事實中，可能有許多結論被證明是無用的，或者會導致人們的注意力分散。但是通過利用某種判別法，可以把有價值的信息從那些無用的內容中分離出來。由於目標和信息都是以等式的形式給出的，等式可能要比不等式更加有用。此外，海倫公式看起來將大有用處，原因在於三角形的半周長被簡化成了s = 3b/2。由於「海倫公式」是可能有用的信息，我們可以對它進行著重強調。
當然也可以畫一張示意圖。這通常對求解幾何問題有非常大的幫助。但在這個樣題中，示意圖好像並沒有提供太多的幫助：
對問題稍做修改 存在很多修改問題的方法，它們能使問題變得更容易處理。
考慮該問題的一個特殊情形，比如極端情形或退化的情形。
求解簡化了的問題。
建立一個蘊含著該問題的猜想，並嘗試先證明這個猜想。
從問題中推導出某個結論，並嘗試先證明這個結論。
重新表述該問題（例如，證明其逆否命題，使用反證法，或者嘗試採用某種替換說法)。
考察類似問題的解答。
推廣該問題。
當你不知道該如何著手處理一個問題時，這些方法將會很有幫助。其原因在於，解答一個與原問題相關但更簡單的題目，有時會帶給我們求解原問題的靈感。類似地，考察問題的極端情形以及求解帶有附加條件的問題同樣可以為解答原問題帶來幫助。但這裡要提醒一句，特殊情形本身就具有特殊性，某些用來證明特殊情形的巧妙方法在證明一般情形時可能毫無用處。這通常會發生在特殊情形過於特殊的狀況下。為了保證儘可能與原問題的本質接近，你應該從適當地修改假設條件入手。
在問題1.1 中，可以試著考察 d = 0 這種特殊情形。在這種情形下，需要求出面積為t 的等邊三角形的邊長是多少。此時，用標準方法來計算可以得到b = 2t½/3¼。這表明 了一般情形下的答案也應當包含平方根或者四次方根，但這並沒有告訴我們該如何求解原問題。考察類似的問題不會帶來太大的幫助，但卻使我們進一步確信，解決這個問題需要一個強有力的代數工具。
對問題做出較大修改 在這種更具挑戰的策略中，對問題做出的修改主要有：刪除題目中給出的條件，交換已知條件和要求的結論，或者否定目標結論（例如，試著證明某個命題不成立，而非成立）。從根本上說，我們試著一步步地去說明修改後的問題是不成立的， 進而找到問題的突破口。這種方法明確了題目給出的關鍵信息，同時也告訴我們求解該問題的主要困難是什麼。這些練習同樣有助於我們培養判斷哪些策略可行以及哪些策略行不通的直覺。
就這個特定的樣題而言，可以把三角形替換成四邊形、圓形等，但這樣做並沒有什麼幫助：問題只會變得更加複雜。另一方面，可以看出，解決這個問題真正需要的不是三角形所在的位置，而是該三角形的尺寸。那麼據此可以進一步地確定，應當把注意力集中在邊長和角度（即a、b、c、α、β 和γ）上，而不是去考慮使用解析幾何或者類似的方法。
可以忽略掉一些目標。例如，不必計算出三角形所有的邊長和角度，而只需要求出三條邊長就可以了。接下來會發現，利用餘弦法則和正弦法則完全能夠確定三角形的三個角度。因此只需要計算出三角形的邊長。又因為三條邊長 分別是b－d、b 和 b+d，所以只要能夠求出 b 的值，那麼這個問題就解決了。
也可以忽略像公差 d 這樣的信息，但這會導致出現多個可能的解，而我們卻沒有足夠的信息來解決這個問題。類似地，忽略面積t 同樣會造成因信息不足而無法求解的狀況。（有時可以忽略部分信息。例如，只規定面積大於或小於某個閾值t0，但這會讓問題變得更加複雜。因此，應當堅持先嘗試簡單的選擇。）把問題反過來（交換已知條件和要求的結論）考慮能夠激發一些有趣的想法。假設你有一個三角形，它的三條邊長構成一個公差為 d 的等差數列；你希望縮小（或其他任何處理）該三角形，從而使其面積等於 t。不難想像這個過程是在保持三角形的邊長始終構成公差為 d 的等差數列的同時，三角形不斷縮小而使其形狀發生改變。同樣地，也可以考察具有固定面積t 的一切三角形，並從中找出一個，使其三條邊長構成滿足條件的等差數列。這些想法終究會發揮其作用，而我會採用另外一種方法來解答這個問題。請不要忘記，一個問題可能有許多種解法，但沒有哪一種解法可以被看作絕對最好的。
證明與問題相關的結論 題目中給出的條件是要被用到的，所以應當重視這些條件並試著去使用它們，看看這些已知條件能否提供更多有價值的信息。另外，在試圖證明主要結論或者求解答案的過程中，證明一些小結論或許會對後面解題產生幫助。不管這是多麼小的一個結論，都不要把它忘 掉——可能稍後它就會發揮作用。此外，當你遇到困難時，它也能讓你有事可做。
在「推算……」類型的問題中，比如該三角形問題中，這種策略並不一定奏效，但不妨試一試。例如，我們的戰術目的是求出 b 的值。解決這個問題需要用到參數 d 和 t。換句話說，b 實際上是一個函數：b = b(d, t)。（如果說把這個符號用在幾何問題中看起來並不恰當的話，那麼原因僅在於，在幾何中，對象之間的函數關係通常都會被忽略。例如，海倫公式給出了一個用三角形邊長 a、b 和 c 來表示三角形面積A的顯式表達：換言之，它給出的是一個函數 A(a，b，c)。）現在就可以證明與函數 b(d, t) 有關的一些小結論，比如 b(d, t) =b(-d, t)（這是因為對於任意一個等差數列，總是能夠找到一個與它等價的等差數列，並且兩個數列的公差互為相反數）或者 b(kd，k²t) = kb(d, t)（把滿足 b(d, t) 的三角形放大 k 倍就得到了這個結果）。我們甚至可以試著求 b 關於 d 或 t 的導數。就這個特定的問題而言，這些策略使我們能夠進行一些正規化處理，例如令 t = 1 或者 d = 1，同時還為我們提供了一種檢驗最終結論是否正確的方法。不過在該問題中，這些策略並不能展現出太大的優勢，所以這裡不用它們來求解。
簡化、利用題目中的信息，實現戰術目的 現在已經引入了符號並建立了一些等式，接下來就應該認真地考慮如何實現已經確定的戰術目的。對於一些簡單的問題，我們通 常可以按照某種標準化方法來操作。（例如，在高中階段，我們常使用已經得到充分討論的代數化簡法。）通常，這是解題過程中最長、最困難的部分，但是只要我們記住相關定理、題目中給出的信息以及如何使用這些信息，並且牢記想要實現的目標，那麼就不會迷失方向。另外，不要盲目地使用任何已知的技巧或方法，而應該事先考慮一下在哪些地方可能會用到這種技巧。這將有助於排除幹擾性的解題方向，避免精力的耗費並節省大量時間，從而使我們能夠在最正確的解題方向上前進。
在問題1.1 中，我們集中考慮了海倫公式。利用這個公式，能夠實現求 b 這一戰術目的。此外還知道，一旦求出 b 的值，利用正弦法則和餘弦法則就可以確定 α、β 以及 γ 的值。接下來，又注意到海倫公式涉及 d 和 t —— 它實際上使用了題目中給出的所有信息（「三角形的邊長構成一個等差數列」這一事實已經體現在引入的符號當中）。總而言之，用 d、t 和 b 來表述海倫公式就是
這個式子可以簡化成
接下來，我們求 b 的值。上式右端是一個關於 b 的多項式（把 d 和 t 看作常數），實際上它是關於 b² 的一個二 次多項式。此時能容易地求出這個二次方程的解：如果把分母去掉，並把所有項都挪到等號左端，那麼就得到
於是，利用二次方程的求根公式可得
為了驗證這個結果，可以證明當d = 0 時，上式就等於前面計算得到的 b = 2t½/3^¼。只要算出三條邊長 b － d、b 以及 b + d 的值，三角形的角度 α、β 和 γ 就可以利用餘弦法則求出，這樣就完成了對整個題目的求解！
作者者：陶哲軒
譯著者：李馨
出版社：人民郵電出版社圖靈新知
出版年：2017年11月
這是一本愛好數學的中學生談怎樣學數學、解數學題的書。陶哲軒用中學生的語言講數學，優遊於數論、代數、歐幾裡得與解析幾何等數學領域，處處可見對他對數學之美的讚嘆與樂趣。他舉出一個個實際例子，教導大家從了解問題開始，進而分析問題的本質、討論各種解法的優劣、剔除不合適的方法，最後使解題技巧逐漸浮現，並提供許多有趣的練習題。
書中特別著重解題過程的思考，藉由分享自己的經驗、觀察和思考問題的角度，帶領大家一起享受解題的樂趣，無論是中學生與老師、數學系學生或愛好數學的人，都可得到很大的收穫。
前 言
解題策略
數論中的例子
位數
丟番圖方程
冪和
代數和分析中的例子
函數的分析
多項式
歐幾裡得幾何
解析幾何
其他例題
參考文獻
索引