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你真的以為你懂三角函數嗎?
請聽題：三角函數既然是函數，那它的自變量和因變量都是什麼?
從這張圖裡可以很明顯看到，所謂正弦函數，其實就是圓上任意一點的y坐標(紅)和弧長(藍)之間的關聯。左圖的藍色弧長和右圖的藍線完全一樣。
而弧長又和弧度是完全對應的。為什麼高中老師不肯用經典的360度角而一定要教你奇怪的「弧度」?就是因為這個對應。1弧度就是長度為1個半徑的弧所對應的角，π弧度就是正好半個圓——相應的，之所以 sinπ=0，正是因為當藍線走了一個π(一個半圓)的時候，正好也走回到了 y = 0 的地方。
那餘弦函數呢?留給讀者作為練習——
——別噴了，我說還不行嗎……餘弦函數就是圓上任意一點的x坐標和弧長之間的關聯，只不過在畫函數的時候，把圓上點的x坐標打了個彎，對應成了函數曲線上的y坐標，就像這張圖裡的藍線那樣。
為了體現餘弦函數的這個對應，我們也可以直接把函數本身豎過來，就成了這樣：
當然，這種對應也可以用在其它幾何圖形上，只不過就不如圓那麼美麗了，比如下面這個醜陋的心形。
要不為什麼說圓是最完美的身材!(並不是)
極坐標的魔法
如何把直角坐標變成極坐標?看我的：
這是什麼黑魔法……
別急，聽我解釋，事情就是你看到的那樣：
首先我們需要把函數沿直線 y = x 翻轉。之所以要有這一步，是因為極坐標裡我們很武斷地把0度定義在了朝右。如果0度是(更自然的)朝上，那就不需要這一步了。
然後，我們把Y軸折彎過來，直到它縮成一個點。成功!
思路是這樣的：直線在幾何上可以認為是具有無限直徑、無限曲率半徑的一個圓，永遠不向自身彎折。但如果我們逐漸降低曲率半徑，從無限一直降到零，就等於是把Y軸變成一個逐漸縮小的圓、最後變成一個點。而原來直角坐標的「Y軸」所承載的信息，在轉換中就逐漸移交給了極坐標的「角度」。
注意，這個轉換體現的是極坐標和直角坐標之間不同的對應方式，是把一種對應變成了另一種對應，而不是說把同一個曲線從直角坐標表達式換成極坐標表達式。前後兩個是不同的曲線。
正十七邊形尺規作圖
正十七邊形可以用尺規作出來，這是高斯1796年19歲時證明的。這是正多邊形尺規作圖兩千年來頭一次有所突破——換句話說，上一次人們發現新的正多邊形尺規作圖法還是在古希臘。
但是，高斯本人實際上並不會做正十七邊形。第一個真正的正十七邊形尺規作圖法直到1825年才由約翰尼斯·厄欽格(Johannes Erchinger)給出，而上面的這個方法——「卡萊爾圓法」則要更晚。(猜猜這個卡萊爾是誰?託馬斯·卡萊爾。對，就是那個《法國大革命史》和《論英雄、英雄崇拜與歷史上的英雄業績》的作者。)
那高斯怎麼就知道正十七邊形是可以做出來的呢?因為他懂數學。他已經知道，如果一個正多邊形內角的三角函數能用加減乘除和開平方表達出來，那就意味著這個正多邊形能用尺規做出來。(尺規等價於只使用圓和直線的交點作圖，直線的表達式是二元一次方程，圓的表達式是二元二次方程，所以只用到了加減乘除和開平方。)而他又證明了，只要正多邊形的邊數n是費馬素數，那麼就能這麼表達。當時人們已經知道前五個費馬素數是3、5、17、257和65537，所以高斯等於一舉證明了這五種正多邊形都是尺規可做的。
不過，正三邊形(好吧，正三角形)和正五邊形人們早知道了，而正257邊形什麼的做起來又太麻煩，所以最後正十七邊形成了最出名的。
那么正十七邊形的對應三角函數應該怎麼表達?高斯的《算術研究》給出了結果：
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