積化和差、和差化積記不住?10秒推完

2021-02-08 西紅柿考研



積化和差、和差化積公式


雖然幾乎沒考過


若是不記住


又怕會考


但是想記


又記不住


。。。


今天給大家說一下積化和差以及和差化積公式的推導，到時候考試如果遇到了，20s就能退出來，現炒現賣。


和差化積以及積化和差公式的推導非常簡單。只要掌握

sin(α+β)、sin(α-β)、cos(α+β)、cos(α-β)

這種最基本的三角函數展開公式，就能輕鬆掌握8個公式的推導



首先、下面這幾個都是高中的內容了，要熟稔於心


sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ             ①

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ              ②

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ             ③

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ             ④


首先我們看積化和差公式，我們要找的積是

sinαcosβ、sinαsinβ這種。


首先看①②兩個式子，sinαcosβ當作x   cosαsinβ當作y。那麼①②兩個式子就相當於一個方程組了，那麼很容易就能解出

sinαcosβ， cosαsinβ。同理式子 ③ ④也是


於是得到積化和差的公式

sinαcosβ=【sin(α+β)+sin(α-β)】/2

cosαsinβ   =【sin(α+β)-sin(α-β)】/2

sinαsinβ=【cos(α-β)-cos(α+β)】/2

cosαcosβ=【cos(α+β)+cos(α-β)】/2


得到積化和差的公式後，只要在做一個小的變換就能得到和差化積的公式了。令積化和差公式中的α+β=a，α-β=b。


則，α=(a+b)/2   β=(a-b)/2  


積化和差公式改寫為

sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]=[sina+sinb]/2

cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]=[sina-sinb]/2

sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]=[cosb-cosa]/2

cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]=[cosa+cosb]/2


然後把右邊式子的/2移到左邊去，把a用字母α，b用字母β代替

就得到了我們的


積化和差公式


是不是覺得so easy?





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