來源：《自然辯證法通訊》2017年第2期
作者：李繼堂（蘇州大學哲學系）
教育部人文社會科學研究規劃基金一般項目「量子場論中的本體論問題研究」(項目批准號：12YJA720013)
按照當代物理學，構成我們這個物質世界的基本粒子之間總共存在四種基本相互作用力，即強相互作用、弱相互作用、電磁力和引力。粒子強相互作用的描述根據的是量子色動力學；電磁作用和弱作用統一成的弱電作用的描述，主要是弱電統一理論；粒子之間電磁作用的描述是量子電動力學；引力的描述是廣義相對論。其中，弱電統一理論和量子色動力學的核心是典型的楊-米爾斯理論，即一種非-阿貝爾規範理論，量子電動力學是一種阿貝爾規範理論，兩者雖然有差異但是都是規範理論。剩下的廣義相對論能否看成規範理論呢?很多物理學家和部分哲學家作出肯定回答，也有哲學家認為把廣義相對論看做規範理論是一種誤導。為此，本文想做一些澄清工作，以紀念廣義相對論一百周年。
規範理論及其形式化體系
規範理論的想法源自於外爾(H.Weyl)1918年試圖統一引力和電磁力。他以時空度規和電磁勢為基本物理量，推廣愛因斯坦廣義相對論中空時間隔隨時空位置而變的思想，認為這些時空位置度規的線性變換可以看作是測量杆和鐘的位置相關的改變，要求新理論在這些基本量的聯合變換下保持不變性，提出「局域」規範不變性原理，雖然受到愛因斯坦批評而放棄引力和電磁力的統一理論，卻從沒有放棄其中的規範不變性原理。並且於1929年在量子力學基礎上，用波函數的位置相關的相位變換代替以前電磁勢那樣的基本物理量的聯合變換，避免了因為長度改變導致的理論與觀察的不一致問題，挽救了局域規範不變性原理的思想。隨後，規範不變性原理在量子電動力學、量子規範場論得到充分發展。
人們首先發現的第一個規範理論是電磁場理論，不過在相對論和量子力學之前，人們沒有自覺地認真對待電磁勢的規範不變性，而在量子力學後才開始直接通過電磁勢來理解帶電粒子的行為，從而認真考慮對應於電磁勢的局域結構。麥克斯韋方程組通過數學上的簡化，電場就可由出現磁場改變的電勢導出，磁場也可以從磁的矢量勢導出，它們的一般式如下：，其中矢量A和標量分別稱為電磁矢量勢和電磁標量勢，電磁矢量勢和電磁標量勢的結合稱為電磁勢。之所以說電磁理論是規範理論，主要是因為在電磁勢的變換下，所有電磁理論基本方程不變，體現出規範不變性原理的作用而已。隨著人們的研究領域擴展到微觀和高能領域，經典電磁理論不得不受相對論和量子力學的洗禮。電磁相互作用也由相互作用場的量子理論(量子電動力學)來處理，再進一步就是粒子物理標準模型中的量子規範場論。好在這樣的理論演變過程中，保留了理論的規範不變性要求。所以，詳細考察經典電磁理論的規範不變性，有利於理解各種規範理論的概念基礎。
規範理論一開始就跟物理學的統一理論問題，當代基礎物理學中各種理論之間的關係問題，以及理論跟觀察實驗的關係問題聯繫在一起。事實上，像經典電磁理論中的電磁勢所具有的這種規範不變性，可能是一種數學剩餘結構，並不唯一地直接對應物理經驗內容。或許正是這個特點，使得經典電磁理論可以進行很多推廣，具體點說，由於電磁現象的時空流形跟牛頓或者閔可夫斯基時空在幾何學甚至拓撲學上有所不同，而這樣的不同背後具有重要物理意義，比如修改一下可以作出磁單極的預言，也可以像楊-米爾斯方程那樣，做大的改變後用來描述電磁作用之外的相互作用。並且，換一種數學形式化體系後，電磁勢不再表現為時空流形M上的一種場，而成為以M為底空間的纖維叢上的聯絡。這樣一來，上述推廣就變得容易得多，人們發現纖維叢理論使得有可能洞悉規範理論的深層結構。因此，追隨吳大峻和楊振寧(1975)[1]和特勞特曼(A.Trautman，1980)[2]的工作，用纖維叢數學框架形式體系化電磁理論和其它規範理論已成共識。有了纖維叢這個數學框架後，經典電磁勢表示成以時空為底空間的主纖維叢P(M，U(1))上的聯絡，而叢曲率表示電磁場。特別是規範變換，可以用作用在纖維結構元素上的各種群來表示，諸如U(1)、SU(2)×U(1)和SU(3)等。而所有的楊-米爾斯規範場都可以表示在主纖維叢上，它們作用其上的物質場又表示在伴隨主纖維叢的矢量叢上。當然，除了纖維叢形式化體系還可以用哈密頓形式化體系，在實際考察規範理論相關哲學問題時，可以從兩種不同的形式體系進行，比如在整體比較各種規範理論關聯時可以多採用纖維叢體系的角度，而在具體研究規範和規範變換概念時可以多從哈密頓體系進行。
楊-米爾斯理論和各種規範理論
1954年的《同位旋守恆和同位旋規範不變性》一文中，楊振寧和米爾斯發展了具有結構群SU(2)的規範理論，用來描述核子間的強作用力同位旋對稱性，特別是其中的楊-米爾斯方程，成為弱電相互作用和強相互作用的所謂粒子物理標準模型的典範。後來凡是具有如此結構基本要素的理論，都統稱為楊-米爾斯理論。因為經典電磁理論也擁有楊-米爾斯理論大量的共同結構，因此我們也把它包括在經典的楊-米爾斯理論之內。然而，不像其它楊-米爾斯理論，經典電磁理論的結構群U(1)是阿貝爾群，沒有非阿貝爾群那樣的豐富結構而已。([3]，pp.248-250)
關鍵在於其四維矢勢的規範不變性。楊振寧和米爾斯(Robert Mills)在其開創性論文中寫道：「我們希望探究這種可能性，要求所有的相互作用在所有時空點的同位旋獨立旋轉的情況下都是規範不變量，使得同位旋在兩個時空點上的相對方向成為在物理上無意義的量。」([4]，p.192)他們認為像時空點上的同位旋這樣的局域性相位並不是有意義的物理量，因為局域同位旋對稱性允許任意選擇哪個方向作為各個點的「向上」(或者「向下」)狀態。對此特霍夫特(Gerard Hooft)曾經評論道：「這確實正是那一年楊振寧與比他年輕的合作者米爾斯提出的一項非常優美的計算的出發點。」[5]甚至吳大峻和楊振寧在1975年用纖維叢理論討論量子電動力學時仍然強調：「[量子]電磁場是非可積相位因子規範不變性的體現。」([1]，p.3846)也就是說，非可積相位因子的規範不變性已經成為楊-米爾斯理論的標誌，可以推廣到其它非電磁相互作用的任何楊—米爾斯理論。這似乎支持規範勢的本體地位。但是，在採用規範勢來積分時，非可積相位因子一般都不是規範不變量，只有跟電磁相互作用關聯的相位因子在環路積分時是規範不變量。由此，瓜依認為：「跟非-阿貝爾楊-米爾斯理論的情況相反，只有電動力學的場張量是規範不變量，因此，電磁相互作用不是普遍情況而只是特例，即使它明顯是屬於楊-米爾斯理論。」[6]可見，並不是所有規範理論都完全一模一樣，即便都是楊-米爾斯規範理論情況也有所不同。
接下來更重要的是，廣義相對論屬不屬於楊-米爾斯理論的問題。廣義相對論裡時空是由裝備了洛侖茲度規的4-維微分流形表示，流形、度規和不同物質場組成廣義相對論模型，把它們結合在一起的是愛因斯坦方程。而度規的具體設置以及流形上的其餘場都是任意的，這反映了理論的物理內容在於其對各種場之間關聯的描述這個事實，微分同胚可以把不同的設置聯繫起來，而微分同胚在物理預言上的任意性被說成是「微分同胚不變性」。溫斯坦(S.Weinstein)認為，規範理論的物理預言，都是就固定的背景時空具體化的時空點上的場值而言的，它們在物理上有意義是因為假定具有一些外在於這些模型的結構，而在廣義相對論這樣的微分同胚不變性理論中，不存在這樣的背景結構，從而「物理上有意義的陳述」只是一種純粹關係特徵。[7]其結果是，當人們在討論規範變換下不變性的物理預言時，他所說的東西跟在微分同胚下不變性的物理預言談論的東西完全不同。總之，在形式上，微分同胚群不是主纖維叢上自同構群，在物理內容上，微分同胚不變性跟規範變換下的不變性大相逕庭，尤其在量子理論的語境中更是如此，因此微分同胚群並不具有粒子物理意義下的規範群含義。溫斯坦明確認為很多物理學家和哲學家把微分同胚群作為規範群，特別是作為廣義相對論的特殊規範群，這是「明顯的誤導」[7]。到底廣義相對論是不是規範理論，對此，厄曼(J.Earman)也專門討論過：「現在有些作者想對楊-米爾斯理論保留『規範理論』的標籤，這對我來說似乎僅僅是術語學問題，如果你因為廣義相對論不是楊-米爾斯理論不想稱其為規範理論，這正合我意；但是請不要忘了約束哈密頓形式體系含義是深刻的，在微分流形上使用張量場的廣義相對論標準公式包含了規範自由，超出標籤流傳(label mongering)之外的問題的是，為什麼廣義相對論無法成為楊-米爾斯理論，更一般地說，是什麼特徵把作為楊-米爾斯理論的約束哈密頓量理論跟不是楊-米爾斯理論的約束哈密爾頓理論分開的。」([8]，p.217)這是個具體物理工作了。也就是說，如果認為廣義相對論不同於楊-米爾斯理論，那麼主要是一種理論上的區分，並且最好從哈密頓形式化體系的角度去探究。
廣義相對論不是楊-米爾斯理論的原因
規範理論的哈密頓形式體系，說的是約束哈密頓形式體系，這個體系最初是狄拉克提出的，現在可以為不同規範理論提供了一個視角，可以適用於所有規範場論和很多其它粒子和場的動力學理論。按照厄曼的說法，它跟纖維叢形式化體系相比具有如下優點：「對『局域變換』及『整體變換』的模糊說法給出清楚說明；解釋了相關纖維叢結構是如何出現的；它能夠觸及到規範概念的一個主要根源，並把規範概念跟可觀察量和決定論這樣的重要基本問題關聯起來。」([8]，p.210)比如在復標量經典場中，約束哈密頓形式體系處理對稱性引起的非決定論時，點之間的演化就是非決定論的而規範軌道之間的演化就是決定論的。而在評價約束表面時，一個約束在發現相應約束函數跟任何其它約束函數的泊松括號為零時，它就是第一類約束，否則就是第二類。要是把約束哈密頓形式體系應用到經典電磁理論，通過電磁矢量勢A和標量勢來看其形式體系，拉格朗日量密度為：。從而有下面的式子：。其中第一個式子描述了第一類約束，而要是系統繼續按此式演化就蘊含著另一個第一類約束：▽·E=0，它們構成僅有的第一類約束。值得注意的是，這兩個第一類約束的泊松括號在任何地方為零，而不僅僅在約束表面，這意味著有這些約束產生的泊松代數是封閉的，因此定義在對應於規範軌道內「運動」的矢量場構成一個李代數。「正是這使得這個理論成為一個楊-米爾斯規範理論」([3]，p.255)，因為一般認為封閉性是楊-米爾斯理論的明確特徵。
廣義相對論也可以應用約束哈密頓形式體系來進行形式化，主要從愛因斯坦-希爾伯特作用量出發，通過勒讓德變換轉換到哈密頓形式體系。這個過程已經奉為理論想要正則量子化的先驅。其中，第一類約束有兩種，已知的微分同胚約束(集)和哈密頓約束(集)，是否為集存在選擇性，因為每個約束獨自應用在時空流形M內各部分的任何空間超平面上的每一個點上。但是，即使相應的約束函數的泊松括號在約束面上全部為零，還是存在其泊松括號不能表述為約束函數的線性組合的約束函數對，而在這個意義上代數不封閉。因此，定義對應於規範軌道內「運動」的積分曲線的向量場並不構成李代數。「那正是為什麼廣義相對論不是楊-米爾斯規範理論的原因。」([3]，p.256)因為封閉性是楊—米爾斯理論的明確特徵，因此廣義相對論不是楊-米爾斯理論。
廣義相對論是一種什麼樣的規範理論?
上述廣義相對論跟楊-米爾斯規範理論的比較，只能說明廣義相對論不是典型楊-米爾斯規範理論，不能說明廣義相對論不是規範理論。溫斯坦反對把微分同胚群看做跟規範群類似，認為兩者類似最清楚的表述是沃爾德(R.M.Wald)下面這段話：
溫斯坦認為沃爾德這裡所說的微分同胚下不變性的物理預言跟規範變換下不變性的物理預言完全不同。但是有一點是可以肯定的，沃爾德對微分同胚跟規範自由的比較主要是從幾何化的角度進行的。而從幾何化的角度看，即便它們的「物理預言」有所不同，其幾何結構也會很相似。這就為物理學家把廣義相對論視為一種不同於楊-米爾斯類型的規範理論留有餘地，畢竟幾何結構比起物理結構總有許多剩餘結構。就連溫斯坦在竭力反對把廣義相對論看做規範場論時也承認：「最後，值得提一提有種廣義相對能夠理解成一種規範理論的含義。大量作者已經試圖從規範-類原理(gauge-like principle)導出廣義相對論，其中涉及到在局域地作用(即每一點的切空間上)的洛侖茲群或者龐加萊群的變換下物理的不變性。」[7]就在廣義相對論和楊-米爾斯規範理論直接比較的層面上，韋爾切克(F.Wilczek)對引力進行規範原理的處理時，想對廣義相對論的一般協變性跟規範不變性進行整合，也不是全無道理的，正如他在文章末尾辯護的，「不存在明顯的理由說內部群就不可能足夠大」[10]。應該說規範不變性涉及到的規範群跟廣義相對論的時空幾何化並無絕對橫溝。1988年曹天予的《規範理論和基礎物理學的幾何化》一文[11]，認為無論是楊-米爾斯規範理論之類的非引力理論在幾何化問題上擁有廣闊的發展空間，雖然該文思路是從時空理論到內部空間的啟示，但是所有基本相互作用的幾何化論題，說明廣義相對論跟統一描述其他基本相互作用的規範理論有諸多聯繫。當然這些聯繫也並不是純粹數學層面的遊戲，可以確定這樣的幾何化對應著物理內容，比如羅威利(C.Rovelli)認為規範超過數學剩餘，雖然規範相關量不能夠被預測，但是有一種能夠被測量的意義。[12]其中，羅威利把廣義相對論在度規張量變換下的不變性，視為狄拉克意義下的規範變換，直接把廣義相對論作為一種規範理論。值得一提的是，早在1973年國內郭漢英等人在楊振寧的啟發下，也提出過一種引力規範理論的方案，試圖「從局域洛侖茲不變性出發，來研究時空幾何和引力作用」([13]，p.72)。
在尋求自然界四種基本相互作用力的統一過程中，即便認同溫斯坦的說法，即廣義相對論不是楊-米爾斯類型的規範場理論，劉闖認為我們還是要面臨下面的問題：「引力能夠跟其它的基本力-場在規範-場綱領裡統一嗎?規範引力應該給出肯定的回答，至少就綱領裡統一的第一步是如此。引力的愛因斯坦-嘉當規範理論可能不正確，但是對統一綱領裡所有的規範-場理論仍具有可能性。因此，我們的問題應該是：如果愛因斯坦-嘉當理論是對的，它是屬於楊-米爾斯規範-場綱領嗎?」([14]，pp.151-152)劉闖認為愛因斯坦-嘉當理論形式的規範引力不是楊-米爾斯類型，因為它跟閔可夫斯基背景時空不兼容，不過通過力-場的幾何化「進行規範」的可能性更為重要，就這方面來說，愛因斯坦-嘉當理論完全符合規範-場綱領。([14]，p.156)這裡面有一層意思是想說，尋求引力跟超出目前(楊-米爾斯類型)規範場論綱領的統一是可能的。
近幾年來，存在大量把描述引力的廣義相對論視為一種規範理論所進行的探索，這除了來自四種基本作用力統一的動機之外，物理學家試圖像楊-米爾斯規範理論的成功量子化那樣對廣義相對論進行量子化也是主要動力，加上目前無論是大型強子對撞機LHC對希格斯場的研究(2012年)，還是普朗克衛星對宇宙背景輻射的觀察(2013年)，都完全支持粒子物理標準模型和廣義相對論，可以說，粒子物理標準模型和以廣義相對論為基礎的大爆炸宇宙學標準模型，在理論和實驗兩方面都非常成功，而且粒子物理標準模型中的量子規範場論和廣義相對論都是以對稱性原理為核心。這促使人們更加想搞清楚廣義相對論跟規範場論之間的關係問題。特別是，大型強子對撞機(LHC)找到以楊-米爾斯規範理論為核心的粒子物理標準模型中的希格斯玻色子的新證據，這樣規範理論的基礎更加牢固，在此基礎上的新物理定然會有新進展，這些都會推動人們進一步發展廣義相對論的規範理論方案。總之，雖然廣義相對論不是典型的楊-米爾斯理論，但是廣義相對論是一種規範理論，只是將其歸屬到類似於楊-米爾斯理論那樣可以實現量子化的規範理論的方案還沒有實現。
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