質數——彩票號碼?還是構建數學的基石?

質數——彩票號碼？還是構建數學的基石？

英文: plus.maths.org/content/prime-number-lottery, [遇見數學翻譯小組] - 翻譯: 行可愛 校對:曾麟程

如彩票號碼般的質數

1900 年 8 月一個炎熱潮溼的下午，大衛希爾伯特在巴黎召開了第一屆新世紀國際數學家大會。對於來自德國哥廷根的 38 歲數學家來說，這是項艱巨的任務。當他開始說話的時候，你甚至可以聽到他聲音中的一絲緊張。聚集在索邦的都是一些偉大的數學家。幾個月來希爾伯特一直在擔心他該說些什麼。毫無疑問，新世紀的第一屆數學家大會上應該出現比僅僅複述舊定理更令人振奮的東西。

所以希爾伯特決定做一個非常大膽的演講。他會談論我們不知道的事情，而不是我們已經證明的事情。他用 23 個未解決的問題來挑戰新世紀的數學家。他認為「問題是數學的生命血液」。在數學家的發現之旅中，如果沒有任何問題，數學就會停滯不前。這 23 個問題為 20 世紀的數學探索者奠定了基礎。它們的存在，像一座座山峰，等待數學家們徵服。

隨著上個世紀的結束，所有的問題基本上都解決了。除了一個：黎曼假設。希爾伯特所有問題中的珠穆朗瑪峰。實際上這是希爾伯特最喜歡的問題。當被問到如果500年後他再次復活後會做的第一件事時，他說：「我會問，黎曼假說是否得到了證實。」各種跡象表明，答案可能仍然是「不」，它似乎是數學書籍中最難的問題之一。

當我們進入千禧年的時候，數學家們決定重複希爾伯特的挑戰。在PLUS的第24期中，我們看到了文章《如何通過數學變得富有》[1]——通過解決七個千禧年大獎難題中的一個而使你變得富有和出名。黎曼假設是唯一一個同時出現在希爾伯特的問題清單和這個新世紀的問題清單中的問題。所以請繼續閱讀這篇文章，它可能是你成為百萬富翁的通行證。

[1] plus.maths.org/content/os/issue24/features/budd/index

素數序列

尋找規律的人群

黎曼假設涉及到要成為一個數學家所具備的核心能力：尋找規律。對規律的搜尋通常與那些出現在課堂上的挑戰大同小異：找到下一個數字。

下面是一個挑戰列表，供您嘗試。你能找到規律並填寫下一個數字嗎？

前兩個可能沒有什麼問題。第一個序列稱為三角數。序列中的第 n 個數記錄了有 n 行的三角形中的石頭數量，也就是說，前 n 個數的總和：1+2+...+n 。

第二個序列是大自然最喜歡的序列之一。在十三世紀數學家斐波那契第一次認識到這列數的重要性之後，我們稱這列數為斐波那契數列，序列中的每一個數都是通過把前兩個數相加而得到的。一朵花的花瓣數量總是這個序列中的一個數字。

偉大的搜尋者之一：斐波那契

第三個序列可能更具挑戰性。事實上，如果你能預測 46 是這個序列中的下一個數字，我建議你可以下周六買一張彩票。這些數字是 2003 年 10 月 22 日的彩票中獎號碼。(見下圖)

最後一個序列當然就是質數序列，這些不可分的數字只能被自己和 1 整除。它試圖去解釋黎曼假設所涉及的質數序列。

面對這些一系列的數字，許多問題也隨之產生。除了尋找某個規律來預測下一個數字的挑戰外，數學家們也熱衷於嘗試去理解是否能有一些公式可以幫助得到這些數字：有沒有一種方法可以在不計算前 90 個數字的情況下直接生成列表中的第 100 個數字？

在我們的前面三個序列中，前兩個確實有生成其序列的公式。例如，要得到第 100 個三角形數，只需在

公式中令 N=100 。這比把 1 到 100 之間的所有數字相加要簡單得多。（挑戰：你能證明為什麼這個公式總是有效嗎？這裡有一個提示：取兩個三角形，構建一個 N+1 行、N 列的矩形。）

但是當你看質數的序列時，會發現它們似乎與國家彩票的數字有更多的共同點。我們似乎很難預測下一個質數何時出現，更不用說去生成一個公式，並告訴你第 100 個素數是 541 。

儘管質數具有隨機性，但它們也具有普遍性。全國彩票號碼沒有什麼特別的，從一周變到下一周。質數是永恆存在於宇宙結構中的數字。541 是質數這一事實似乎印在了宇宙的本質上。宇宙的另一邊可能有不同的化學或生物學，但 541 仍然會是質數。這就是為什麼許多科幻小說作家（例如卡爾·薩根，在他的經典小說《接觸未來》中，也被製作成同名電影）選擇質數作為外星生命與地球交流的方式。這個數字序列有一個特別的地方，如果在遙遠的星系中有某種符合這個數列的律動，我們一定會注意到。

外星人可能在數百萬年前就發現了質數，但人類發現質數的第一個證據是什麼？有人認為，第一個認識質數的文化產生在 8000 多年前。考古學家在中赤道非洲發現了一塊現在被稱為 Ishango bone（伊尚戈骨的骨頭），它的側面刻有三列柱狀刻痕。這根骨頭上的痕跡似乎與數學相關。在其中一列中，我們發現了在 10 到 20 之間的質數。但也有人認為，這些骨頭與記錄日期有關，由於素數的隨機性，日期列表很可能是素數列表。（您可以在伊尚戈骨展覽上了解更多關於伊尚戈骨的信息。）

真正理解了質數對整個數學體系意義的第一種文化是古希臘文化。他們認識到質數是所有數字的基石。每一個數字都可以通過把質數相乘而得到。它們是算術的原子。每門學科都有它的基本組成部分：化學有周期表，列出了構成物質的 109 種元素；物理學家有基本粒子，它們覆蓋了夸克和膠子等不可思議的東西；生物學正在尋找人類基因組的序列，人類基因組是生命的構建工具。

但是幾千年來，數學家們一直在聆聽素數，也就是數學的心臟跳動，卻無法理解或預測下一次跳動何時到來。這似乎是一個由濃咖啡+雞尾酒連接的主題。對數學家來說，這是一個終極的戲弄：數學是一門模式、秩序和對稱的學科，然而它是由一組似乎沒有韻律或理由的數字構成的。兩千年來，我們一直在努力理解大自然是如何選擇算術的原子的。

當然，有一種可能性，就像化學中的原子一樣，只有 109 個質數可以用來建立所有的數字。如果這是真的，我們不需要擔心尋找規律來預測質數，因為我們只需要列一個有限的質數列表就可以完成。但偉大的希臘數學家歐幾裡得排除了這種可能性。在許多人眼中，歐幾裡得給出的這個定理是數學的第一大定理，他解釋了為什麼質數無窮多。這一證明在PLUS的第25期一個數字漩渦中曾描述那麼，產生一個包含所有質數的列表的機會就不復存在了，比如質數周期表或質數基因組計劃。相反，我們必須使用數學工具來理解無限列表中的任何模式或結構。

也許質數開始時相當不可預測，然後才會穩定下來形成一個模式。讓我們看看 10000000 個質數，看看這裡是否出現了一個模式，我們是否可以找到一個預測質數漲落的公式。10000000 之前的 100 個數中有 9 個質數：

9,999,901,

9,999,907,

9,999,929,

9,999,931,

9,999,937,

9,999,943,

9,999,971,

9,999,973,

9,999,991.

但看看 10000000 之後的 100 個數字中出現的質數有多少：

10,000,019,

10,000,079.

質數看起來像公共汽車一樣：首先是一大簇質數，然後在下一個質數出現之前你必須等上好幾年。似乎沒法找到一個公式，可以得出這個奇怪的列表，或者告訴我們第 664571 個素數是 9999901 。

嘗試一個小實驗。把大小約為 1000000 的質數列出來，試著記住它們。關掉電腦，看看你如是參加最強大腦表現如何。我們大多數人都會嘗試創建一些底層模式來幫助我們記憶序列。實際上，我們的大腦最終試圖存儲一個較短的程序來創建序列。對這些數字的隨機性的一個很好的度量是，我們的大腦很難構建一個顯著短於直接記憶序列的程序。

歐幾裡得，他發現了質數有無窮多

就像聽一首曲子和聽白噪音的區別一樣。曲調的內在邏輯允許你在聽過幾次後再吹出這段旋律，而白噪音卻沒有給你下一步旋律的線索。質數的神奇之處在於，儘管第一次聽到的只是白噪聲，但文化向數學的另一個領域的轉變將揭示一種意想不到的和諧。這是高斯和黎曼的偉大見解。就像西方人聽東方的音樂一樣，在我們理解導致這種隨機性的模式之前，我們需要一個不同的視角。