考研數學高數基礎第一章之函數：一場對於高中知識的回憶錄

作者：爬行的窩窩牛

高等數學的學習對於很多人來說都是一場戰鬥，而我希望在這場戰鬥中能堅持到最後！

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函數這樣一個既親密又陌生的「朋友」，親密來源於我們高中的學習，陌生是由於大學的忘記，但是我們在高等數學的學習裡面，這樣一位「朋友」它首先第一個向你走來了，揮一揮衣袖帶來了考研的氣息。

高數學習

函數在高等數學裡面佔著很特殊的地位，它是整個高等數學的基礎，學好函數的重要性不言而喻。而第一章裡面的函數知識，我們需要掌握以下幾個關鍵點：

1.回憶起並掌握函數的概念（高中知識）。

2.回憶並掌握基本初等函數的相關性質與對應的圖像（可以幫助解題）。

3.掌握分段函數、複合函數、反函數與隱函數的概念（為之後知識的學習打好基礎）。

4.理解函數的特殊性質。

這就是函數裡面我們應該掌握的知識點。下面我們一一來回憶一下。

一、函數的概念

高中的學習裡面對於函數的概念我們應該是不陌生的，都知道函數是映射的特例，我在對於函數概念的理解上喜歡把它比作是一個「悽美的愛情故事」：在一定的範圍之內（定義域），一個化名叫做x的自變量只深愛著一個叫做y的因變量，但是y卻有可能同時愛著多個不同的x。用專業語言來講就是：

函數的定義:設x和y是兩個變量，D是一個給定的數集，如果對於給定的每個數x∈D,變量函數，記作y= f(x)，數集D叫做這個函數的定義域，x叫做自變量，y叫y按照一定法則總有確定的數值和它對應，則稱y是x的做因變量.y的取值範圍叫函數的值域.

我們需要回憶起來的是：只要是函數都有屬於它自己的定義域！如例1：

例1

更應該注意的是即使兩個長得「很像」的函數，當定義域不同時，其兩個函數都不是同一個函數。如例2：

例2

所以，理解函數的概念的同時請記清楚其定義域。

二、掌握初等函數及其圖像

1.基本初等函數：通過回憶以前學過的知識可以知道那些以最簡單形式展現出來的函數稱之為：基本初等函數。

基本初等函數

其主要的圖形及性質如下：

冪函數的圖像及性質

指數與對數函數的圖像及性質

三角函數的圖像及性質

反三角函數的圖像及性質

當遇到某些需要求函數定義域的問題時，可以通過圖像與性質結合的方式幫助解決，如例3：

例3

所以我們，有些時候可以藉助於圖像方式來幫助分析問題。

2.初等函數：而基本初等函數經過四則及複合運算後得到的函數稱之為：初等函數。如：

初等函數

三、掌握分段函數、複合函數、反函數與隱函數的概念

1.分段函數

分段函數是函數中比較特殊的函數之一，它是一個函數，而不是多個函數，它的分段是它函數本身的組成部分。如：

分段函數

2.複合函數

複合函數的定義:若y是t的函數y=f(t)，而t又是x的函數: t=g(x), 且t=g(x)的函數值的全部或部分在f(t)的定義域內，那麼，y通過t的聯繫也是x的函數，我們稱後一個函數是由函數y=f(t)及t=g(x)複合而成的函數，簡稱複合函數，記作y=f(g(x))，其中t叫做中間變量。如例4：

例4

例4

當遇到這樣的類似問題的時候，可以用這樣的方法來一步一步的進行分析，可以幫你條理清晰的解決相關問題。

3.反函數

在高等數學裡面反函數，我們只需記住如果讓你求一個函數的反函數，通俗的說就是把y是x的函數y=f(x)，用x=f-1(y)來表示。如例5：

例5

在高等數學裡面只要知道怎麼求反函數即可。

4. 隱函數

設在某數集X內每取一個值時,由方程F(x,y)= 0可唯一確定一個y的值，則稱由F(x,y)= 0確定一個隱函數y，雖然不一定能將y明顯地解出來。

四、函數的特殊性質

這些特殊的性質我們在高中階段其實已經學習的滾瓜爛熟，所以對於這些特性，主要是做一個對於以往知識的回憶。

1.有界性

函數有界（值域）可以分為三類：

1) 有上界（可以理解為上面到了天花板了）

上界函數

2) 有下界（可以理解為下面到了底了）

下界函數

3) 有界⟺既有上界又有下界（充分必要條件）

有界函數

2.單調性

3.奇偶性

4.周期性

最後，關於函數的回憶主要了解這些就夠了，因為函數的學習是對於後面知識的一個鋪墊作用，使用頻率較高的是通過複合函數和分段函數對於題型的構造。所以在掌握函數特性的同時，一定要加強對於複合函數以及分段函數題目的練習。

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今天是我開始重新學習與整理考研數學的第一周，希望自己能堅持下去，希望能幫助到更多的正在考研路上奮鬥的人，加油！

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作者：爬行的窩窩牛，有酒更有故事的理工男。從事教育工作，分享考研數學經驗。好看的皮囊千篇一律，有趣的靈魂萬裡挑一。喜歡我的文章記得關注我哦~