2020年數學學習方法:談梯形輔助線的作法

　　梯形是一種特殊的四邊形，它是平行四邊形和三角形的「綜合」。可以通過適當地添加輔助線，構造三角形、平行四邊形，再運用三角形、平行四邊形的相關知識去解決梯形問題。下面就梯形中作輔助線的常用方法作一介紹，供參考。

 

　　一、 平移一腰

 

　　過梯形的一個頂點作一腰的平行線，構造一個三角形和一個平行四邊形，能使分散的條件集中起來，為解決梯形問題創造條件。

 

　　例1  如圖1，等腰梯形ABCD兩底之差等於一腰的長，那麼這個梯形較小的一個內角是（    ）

 

　　A、90°                   B、60°                    C、45°                    D、30°

 

 

　　解析：由條件「兩底之差等於一腰的長」，可平移一腰。如圖2所示，平移DC到AE，AE交BC於E。可知BE=BC-AD=AB。又AB=DC=AE，故AB=BE=AE，△ABE是等邊三角形。所以∠B=60°。故選B。

 

 

　　二、平移兩腰

 

　　平移兩腰，使兩腰交於短底上一點，把梯形轉化為兩個平行四邊形和一個三角形，進而解決問題。

 

　　例2  如圖3，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC。E、F分別為AD、BC的中點，且EF⊥BC。求證：∠B=∠C。

 

 

　　解析：要證∠B=∠C，可把它們移到同一個三角形中，利用等腰三角形的有關性質加以證明。

 

　　過點E作EH∥AB，EG∥DC，分別交BC於H、G（如圖4）。

 

 

　　∵AD∥BC，∴四邊形ABHE和四邊形EGCD都是平行四邊形（兩組對邊平行）。

 

　　∴AE=BH，ED=GC。

 

　　又E、F分別為AD、BC的中點，所以AE=ED，BF=FC。

 

　　∴BH=GC，BF-BH=FC-GC，從而HF=FG。

 

　　又EF⊥BC，所以EH=EG，故∠EHF=∠EGF，得∠B=∠C。

 

　　評析：題目中若有連接兩底上點的線段，通常要平移兩腰。

 

　　三、平移對角線

 

　　過梯形底邊的一個端點作某一條對角線的平行線，可以構造出一個三角形和一個平行四邊形，引出解題思路。

 

　　例3  在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC⊥BC，且AC=5cm，BD=12cm，則梯形中位線的長等於（    ）

 

　　A、7.5cm                 B、7cm               C、6.5cm            D、6cm

 

　　解析：由對角線垂直，可平移一條對角線（比如AC），構造出Rt△BDE和

ACED（如圖5）。由勾股定理可知BE=13cm，從而得到梯形中位線的長

等於BE的一半，即為6.5cm。故選C。

　

　　四、延長兩腰

 

　　延長兩腰相交於一點，可構造兩個三角形，再利用這兩個三角形的性質解決問題。

 

　　例4  在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，AD+BC=30，BD平分∠

 

　　ABC。求梯形的周長。

 

　　解析：延長兩腰相交於點E，如圖6，因∠ABC=∠BCD=60°，故∠E=60°。△BCE為等邊三角形。又BD平分∠ABC，所以BD垂直平分CE。

 

　　所以CD=。

又AD∥BC，故△ADE為等邊三角形。AD=ED=CD。由AD+BC=30，知CD+2CD=30，CD=10。

 

　　∴梯形的周長為30+AB+CD=30+2CD=50。

 

 

　　五、作梯形的高

 

　　過梯形短底的兩個端點作梯形的高，把梯形分成兩個直角三角形和一個矩形，可使解題思路明朗化。

 

　　例5  已知等腰梯形的一個內角為60°，它的上底是3cm，腰長是4cm，則下底是  。

 

　　解析：如圖7，梯形ABCD中，∠B=∠C=60°，AD=3cm，AB=DC=4cm，過點A、D分別作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分別為E、F。則有∠BAE=∠CDF=30°，BE=FC=

AB=2cm，

 

　　∴BC=BE+EF+FC=BE+AD+FC=7（cm），即為所求。

 

 

　　六、連接兩腰中點

 

　　若題目中有一個或兩個腰的中點，可嘗試連接梯形兩腰的中點，得到梯形的中位線，利用中位線的性質解題。

 

　　例6  在梯形ABCD中，AB∥CD，點M為BC的中點，DM平分∠ADC。求證AM平分∠DAB。

 

　　解析：如圖8，取DA的中點N，連接MN，則MN∥CD，MN∥AB。所以∠NMD=∠MDC=∠MDN。故NM=ND=AN，∠NAM=∠NMA=∠MAB。故AM平分∠DAB。

 

 

　　練習

 

　　1、等腰梯形兩底差的一半等於它的高，那麼這個梯形的一個內角是（    ）。

 

　　A、75°                   B、60°                    C、45°                    D、30°

 

　　2、如圖9，已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠A+∠B=90°，M、N分別是AB、CD的中點。求證：MN=

（AB-CD）。

 

 

　　2020年數學學習方法:談梯形輔助線的作法

 

　　3、在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=8，AC=6，BD=8，求此梯形的高。

 

　　4、如圖10，在梯形ABCD中，∠DCB=90°，AB∥DC，AB=25，BC=24。將該梯形摺疊，點A恰好與點D重合，BE為摺痕。那麼，AD的長為        。

 

　　2020年數學學習方法:談梯形輔助線的作法

 

　　5、例6變式練習：條件不變，結論改變。求證：（1）AM⊥DM；（2）AB+CD=AD。

 

　　提示：1、利用第五種作法。2、利用第二種作法，並利用直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半。3、利用第三種作法，由勾股定理逆定理得出直角三角形，並利用面積公式

（a、b為直角邊長，c為斜邊長，h是斜邊上的高）。4、先在Rt△BCD中求出DC，再自D作DF⊥AB於F。在Rt△ADF中求AD。

 

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