這是奇數的求和公式，下圖是當 n=8時的情形。
5.平方數的求和公式
一個很漂亮的公式，證明的過程更令人眼前一亮。
6.立方數的求和公式
立方數的求和證明與平方數的求和證明方法有些相像。
7.斐波那契數列的恆等式
可謂家喻戶曉的斐波那契數列指的是這樣一個數列：1、1、2、3、5、8、13、21 ……這個數列從第三項開始，每一項都等於前兩項之和，即 F n+1 = F n + F n-1 ，
它的通項公式是，
有趣的是，這樣一個完全是自然數的數列，通項公式居然是用無理數來表達的，而且當n無窮大時，F n-1 / F n 越來越逼近黃金分割數0.618，正因為它的種種神奇性質，美國數學會甚至從1960年代起出版了《斐波納契數列》季刊。
關於斐波那契數列，有一個恆等式是這樣的，
這個等式很漂亮，不需要藉助複雜的數學推導，它有一個很直觀的證明方法。
8.結果為1/3的一組分子式
下面是一組分子式，他們的結果都等於1/3：
讓我們用若干個小球看待這個公式，
9.最受數學家喜愛的無字證明
1989 年的《美國數學月刊》（American Mathematical Monthly）上有一個貌似非常困難的數學問題：下圖是由一個個小三角形組成的正六邊形棋盤，現在請你用右邊的三種（僅朝向不同的）菱形把整個棋盤全部擺滿（圖中只擺了其中一部分），證明當你擺滿整個棋盤後，你所使用的每種菱形數量一定相同。
《美國數學月刊》提供了一個非常帥的「證明」，把每種菱形塗上一種顏色，整個圖形瞬間有了立體感，看上去就成了一個個立方體在牆角堆疊起來的樣子，三種菱形分別是從左側、右側、上方觀察整個立體圖形能夠看到的面，它們的數目顯然應該相等。
它把一個純組合數學問題和立體空間圖形結合在了一起，實在讓人拍案叫絕，這個問題及其鬼斧神工般的「證明」流傳甚廣，深受數學家們的喜愛。
10.棋盤上的數學證明
在一個8×8的西洋棋棋盤上，我們可以用32張多米諾骨牌（是兩個相連正方形的長方形牌）覆蓋整個棋盤上的64個方格，
如果將對角線上的兩個方格切掉，剩下來的62個格子還能用31張骨牌覆蓋住嗎？
答案是不能的，
每一張骨牌在棋盤上必是覆蓋住兩個相鄰方格，一白一黑，所以31張骨牌應該可以蓋住31個黑格和31個白格，而這被切了角的棋盤上的方格有32個是一種顏色，另一種顏色是30個，因此是不能被31張骨牌覆蓋的。
但是如果我們切掉的不是顏色相同的兩個呢？
假如我們從棋盤的任何部位切掉兩個顏色不同的方格，那麼剩下來的62格是否一定能被31張骨牌完全蓋住？我可以告訴你這是一定能做到的，並且關於這個結論，存在一個非常漂亮的證明。
上圖就是那個漂亮的證明，粗黑線條將整個棋盤轉變為一條首尾相連、黑白格相間的封閉路線，從這棋盤上切掉任何兩個顏色不同的方格，會讓這個封閉線路變成兩段線路（如果切掉的方格是相連的，那就是一條線路），在這兩段（或一段）線路中，兩種顏色的格子數量都是偶數，故分別都可以被若干張骨牌覆蓋，從而證明整個棋盤可以被31張骨牌完全覆蓋。
這個著名的棋盤問題是數學遊戲大師馬丁•加德納提出的，而上述精妙絕倫的證明則是數學家哥莫瑞（Ralph Gomory）找到的，它們後來被收錄在《意料之外的絞刑和其他數學娛樂》這本書裡。
「你們十大證明的實力確實不錯，但是在我們十大偉大公式的面前根本不值得一提，接下來就讓你們見識見識我們十大公式的厲害」。
NO.10 圓的周長公式(The Length of the Circumference of a Circle)
創立者：古人
意義：自然界之美的數學表達。
這公式賊牛逼了，初中學到現在，目前，人類已經能得到圓周率的2061億位精度，現代科技領域使用的-圓周率值，有十幾位已經足夠了，如果用 35位精度的圓周率值，來計算一個能把太陽系包起來的一個圓的周長，誤差還不到質子直徑的百萬分之一。
No.9 傅立葉變換(The Fourier Transform)
創立者：讓·巴普蒂斯·約瑟夫·傅立葉
意義：任何不規則的信號都可以表示為規則的正弦波無限疊加，它是數位訊號處理領域的很重要的方法。
簡要地說沒有這個式子沒有今天的電子計算機，所以你能在這裡上網除了感謝黨感謝政府還要感謝這個完全看不懂的式子，另外傅立葉雖然姓傅，但他是個法國人。
No.8 德布羅意方程組(The de Broglie Relations)
創立者：路易·維克多·德布羅意
意義：德布羅意認為，任何物質既有粒子性，又有波動性，或者說，任何物質也可以看成是一種波，包括人本身，人不但是作為一種物質存在，某種意義上也是一種波。
這個東西也挺牛逼的，高中物理學到光學的話很多概念跟它是遠親，簡要地說德布羅意這人覺得電子不僅是一個粒子，也是一種波，它還有 「波長」，於是搞啊搞就有了這個物質波方程，表達了波長、能量等等之間的關係，同時他獲得了1929年諾貝爾物理學獎。
No.7 1+1=2
這個公式簡直兇殘到不行，殘暴到無話可說。
當我們人類第一個意識到1+1=2，進而認識到兩個數相加得到另一個確定的數時，這一刻是人類文明的偉大時刻，因為他發現了一個非常重要的性質——可加性，這個性質及其推廣正是數學的全部根基，它甚至說出數學為什麼用途廣泛的同時，告訴我們數學的局限性。
No.6 薛丁格方程(The Schr?dinger Equation)
創立者：埃爾溫·薛丁格
意義：在量子力學中描述物體的狀態不能像經典力學中一樣用位移、速度等，而只能用一個物理量的函數來描述，這個物理量也不再是某個確定的值，而是一個隨時間分布的概率，每一個微觀系統都有相應的薛丁格方程，薛丁格方程在量子力學中的意義與牛頓第二定律在經典力學中的意義一樣。
薛丁格方程是世界原子物理學文獻中應用最廣泛、影響最大的公式，由於對量子力學的傑出貢獻，薛丁格獲得1933年諾貝爾物理獎。
No.5 質能方程(Mass–energy Equivalence)
創立者：阿爾伯特·愛因斯坦
意義：質能方程深刻地揭示了質量與能量之間的關係，在此之前，人們毫無疑問的認為，質量是質量，能量是能量，兩者間沒有聯繫，正是質能方程的發現才有原子彈、氫彈的爆炸，這個方程更重要的是徹底地顛覆了人類固有思想，促進人類文明的進步。
好像從來沒有一個科學界的公式有如此廣泛的意義，在物理學「奇蹟年」1905年，由一個叫做愛因斯坦的年輕人提出，同年他還發表了《論動體的電動力學》——俗稱狹義相對論，這個公式告訴我們，愛因斯坦是牛逼的，能量和質量是可以互換的,另外他有個副產品：原子彈。
No.4 勾股定理/畢達哥拉斯定理(Pythagorean Theorem)
創立者：畢達哥拉斯（也有認為我國商代就已經出現勾股定理並加以證明）
意義：勾股定理是用數學方法解決圖形問題的典型方法，目前有400多種的證明形式，勾三股四弦五是如此深入每一個地球人的心靈。
做數學不可能沒用到過吧，不多講了。
No.3 牛頓第二定律(Newton’s Second Law of Motion)
創立者：艾薩克·牛頓
意義：牛頓第二定律是經典物理學的核心，它適用於我們日常生活的方方面面，它標誌著真正物理學研究的開始，沒有牛頓，人類文明會在黑暗的世界中度過更長的時間。
有史以來最偉大的沒有之一的科學家在有史以來最偉大沒有之一的科學巨作《自然哲學的數學原理》當中的被認為是經典物理學中最偉大的沒有之一的核心定律，動力的所有基本方程都可由它通過微積分推導出來。
No.2 歐拉公式(Euler’s Identity)
創立者：萊昂哈德·歐拉
意義：數學上有許多公式都是歐拉發現的，因此歐拉公式並不是某單一的公式，歐拉公式廣泛分布於數學的各個分支中，瑞士教育與研究國務秘書Charles Kleiber曾表示：「沒有歐拉的眾多科學發現，今天的我們將過著完全不一樣的生活」，法國數學家拉普拉斯則認為：讀讀歐拉，他是所有人的老師，
歐拉是歷史上最多產的數學家，也是各領域(包含數學的所有分支及力學、光學、音響學、水利、天文、化學、醫藥等)最多著作的學者，數學史上稱十八世紀為「歐拉時代」。
歐拉出生於瑞士，31歲喪失了右眼的視力，59歲雙眼失明，但他性格樂觀，有驚人的記憶力及集中力。他一生謙遜，很少用自己的名字給他發現的東西命名，不過還是命名了一個最重要的一個常數——e。
關於e，以前有一個笑話說：在一家精神病院裡，有個病患整天對著別人說，「我微分你、我微分你」，也不知為什麼，這些病患都有一點簡單的微積分概念，總以為有一天自己會像一般多項式函數般，被微分到變成零而消失，因此對他避之不及，然而某天他卻遇上了一個不為所動的人，他很意外，而這個人淡淡地對他說，「我是e的x次方」。
這個公式的巧妙之處在於，它沒有任何多餘的內容，將數學中最基本的e、i、π放在了同一個式子中，同時加入了數學也是哲學中最重要的0和1，再以簡單的加號相連。
高斯曾經說：「一個人第一次看到這個公式而不感到它的魅力，他不可能成為數學家」.
No.1 麥克斯韋方程組(The Maxwell’s Equations)
創立者：詹姆斯·克拉克·麥克斯韋
意義：將電場和磁場有機地統一成完整的電磁場。並創立了電磁場理論，而沒有電磁學理論，就不會有現在的社會文明。
積分形式：
微分形式：
任何一個能把這幾個公式看懂的人，一定會感到背後有涼風——如果沒有上帝，怎麼解釋如此完美的方程?這組公式融合了電的高斯定律、磁的高斯定律、法拉第定律以及安培定律。
比較謙虛的評價是：「一般地，宇宙間任何的電磁現象，皆可由此方程組解釋」，到後來麥克斯韋僅靠紙筆演算，就從這組公式預言了電磁波的存在。
這個方程組完美統一了整個電磁場，讓愛因斯坦始終想要以同樣的方式統一引力場，並將宏觀與微觀的兩種力放在同一組式子中：即著名的「大一統理論」。
愛因斯坦直到去世都沒有走出這個隧道，而如果一旦走出去，我們將會在隧道另一頭看到上帝本人。
當十大帥氣證明和十大兇殘公式紛紛介紹完之後，一場天昏地暗的群毆之戰就這樣展開了。
小編：田美
來源：數學競賽那些事兒
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