世界十大數學界猜想(難題)

數學[英語：mathematics，源自古希臘語μθημα（máthēma）；經常被縮寫為math或maths]，是研究數量、結構、變化、空間以及信息等概念的一門學科。

數學是人類對事物的抽象結構與模式進行嚴格描述的一種通用手段，可以應用於現實世界的任何問題，所有的數學對象本質上都是人為定義的。從這個意義上，數學屬於形式科學，而不是自然科學。不同的數學家和哲學家對數學的確切範圍和定義有一系列的看法。在人類歷史發展和社會生活中，數學發揮著不可替代的作用，同時也是學習和研究現代科學技術必不可少的基本工具。下面，我們從世界十大數學猜想及其證明情況來認識一下數學的魅力。

世界十大數學猜想：NP完全問題、霍奇猜想、龐加萊猜想、黎曼假設、楊－米爾斯理論、納維爾－斯託克方程、BSD猜想，費爾馬大定、四色問題、哥德巴赫猜想。

其中，世界近代三大數學難題：1、費爾馬大定理，2、哥德巴赫猜想，3、四色問題。世界七大數學難題：1、P(多項式時間)問題對NP(nondeterministicpolynomial time，非確定多項式時間)問題，2、霍奇(Hodge)猜想，3、龐加萊(Poincare)猜想，4、黎曼(Riemann)假設，5、楊－米爾斯(Yang-Mills)存在性和質量缺口，6、納維耶－斯託克斯(Navier-Stokes)方程的存在性與光滑性，7、貝赫(Birch)和斯維訥通－戴爾(Swinnerton-Dyer)猜想。這十大數學猜想只證明了兩個，龐加萊猜想和四色問題已被解決。

1、費馬猜想

又稱「費馬大定理」或「費馬問題」，1637年由法國數學家費馬提出，若用不定方程來表示，費馬大定理即當整數n>2時，關於x,y,z的方程x+y=z沒有正整數解。用數學語言來表達就是：形如x n＋y n＝z n的方程，當n大於2時沒有正整數解。劍橋大學 懷爾斯在1995年徹底解決了這一大難題。

費馬

該研究源自費馬在閱讀丟番圖(Diophatus)《算術》拉丁文譯本時，曾在第11卷第8命題旁寫道：「將一個立方數分成兩個立方數之和，或一個四次冪分成兩個四次冪之和，或者一般地將一個高於二次的冪分成兩個同次冪之和，這是不可能的。關於此，我確信已發現了一種美妙的證法，可惜這裡空白的地方太小，寫不下。」(拉丁文原文&34;)。

2. 四色猜想

世界近代三大數學難題之一，四色猜想的提出來自英國。1852年，畢業於倫敦大學的 弗南西斯·格思裡，來到一家科研單位搞地圖著色工作時，發現了一種有趣的現象：「看來，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國家著上不同的顏色。」這個結論能不能從數學上加以嚴格證明呢?他和在大學讀書的弟弟格裡斯決心試一試。兄弟二人為證明這一問題而使用的稿紙已經堆了一大疊，可是研究工作沒有進展。1976年，美國數學家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學的兩臺不同的電子計算機上，用了1200個小時，做了100億次判斷，終於完成了四色猜想的證明。

四色定理

3. 哥德巴赫猜想

世界近代三大數學難題之一。1742年6月7日，哥德巴赫寫信給當時的大數學家歐拉，提出了以下想法：任何一個大於等於6的偶數，都可以表示成兩個奇質數之和；任何一個大於等於9的奇數，都可以表示成三個奇質數之和。這就是著名的哥德巴赫猜想。至今仍沒人能證明，最接近成功的是陳景潤的證明。

陳景潤

世界近代三大數學難題之一，哥德巴赫是德國一位中學教師，也是一位著名的數學家，生於1690年，1725年當選為俄國彼得堡科學院院士。1742年，哥德巴赫在教學中發現，每個不小於6的偶數都是兩個素數(只能被和它本身整除的數)之和，如6＝3＋3, 12＝5＋7等等。

「a + b」問題的推進

1920年，挪威的布朗證明了「9 + 9」。

1924年，德國的拉特馬赫證明了「7 + 7」。

1932年，英國的埃斯特曼證明了「6 + 6」。

1937年，義大利的蕾西先後證明了「5 + 7」, 「4 + 9」, 「3 + 15」和「2 + 366」。

1938年，蘇聯的布赫夕太勃證明了「5 + 5」。

1940年，蘇聯的布赫夕太勃證明了「4 + 4」。

1956年，中國的王元證明了「3 + 4」。稍後證明了 「3 + 3」和「2 + 3」。

1948年，匈牙利的瑞尼證明了「1+ c」，其中c是一很大的自然數。

1962年，中國的潘承洞和蘇聯的巴爾巴恩證明了「1 + 5」， 中國的王元證明了「1 + 4」。

1965年，蘇聯的布赫 夕太勃和小維諾格拉多夫，及義大利的朋比利證明了「1 + 3 」。

1966年，中國的陳景潤證明了 「1 + 2 」。

1、P(多項式時間)問題對NP(nondeterministicpolynomial time，非確定多項式時間)問題

P類問題：所有可以在多項式時間內求解的判定問題構成P類問題。判定問題：判斷是否有一種能夠解決某一類問題的能行算法的研究課題。

NP類問題：所有的非確定性多項式時間可解的判定問題構成NP類問題。非確定性算法：非確定性算法將問題分解成猜測和驗證兩個階段。算法的猜測階段是非確定性的，算法的驗證階段是確定性的，它驗證猜測階段給出解的正確性。設算法A是解一個判定問題Q的非確定性算法，如果A的驗證階段能在多項式時間內完成，則稱A是一個多項式時間非確定性算法。有些計算問題是確定性的，例如加減乘除，只要按照公式推導，按部就班一步步來，就可以得到結果。但是，有些問題是無法按部就班直接地計算出來。比如，找大質數的問題。有沒有一個公式能推出下一個質數是多少呢？這種問題的答案，是無法直接計算得到的，只能通過間接的「猜算」來得到結果。這也就是非確定性問題。而這些問題的通常有個算法，它不能直接告訴你答案是什麼，但可以告訴你，某個可能的結果是正確的答案還是錯誤的。這個可以告訴你「猜算」的答案正確與否的算法，假如可以在多項式（polynomial）時間內算出來，就叫做多項式非確定性問題。

2、霍奇(Hodge)猜想

霍奇猜想是代數幾何的一個重大的懸而未決的問題。由威廉·瓦倫斯·道格拉斯·霍奇提出，它是關於非奇異復代數簇的代數拓撲和它由定義子簇的多項式方程所表述的幾何的關聯的猜想。

對於(1,1)類的霍奇猜想已經在霍奇本人提出本猜想前的1924年由 Lefschetz證明。換句話說，霍奇猜想對於H^2成立。實際上，這是霍奇提出其猜想的動機之一。

除此以外，還成立以下定理：如果霍奇猜想對於度數p的霍奇類成立，其中p<n，n是上述射影代數簇的維數，那麼對於度數為2n-p的霍奇類，霍奇猜想也成立。

3、龐加萊(Poincare)猜想

龐加萊猜想（Poincaré conjecture）是法國數學家龐加萊提出的一個猜想，是克雷數學研究所懸賞的七個千禧年大獎難題。其中三維的情形被俄羅斯數學家格裡戈裡·佩雷爾曼於2003年左右證明。2006年，數學界最終確認佩雷爾曼的證明解決了龐加萊猜想。龐加萊猜想是一個拓撲學中帶有基本意義的命題，將有助於人類更好地研究三維空間，其帶來的結果將會加深人們對流形性質的認識。

龐加萊猜想

4、黎曼(Riemann)假設

黎曼猜想（或稱黎曼假設）是關於黎曼ζ函數ζ(s)的零點分布的猜想，由數學家波恩哈德·黎曼於1859年提出。德國數學家戴維·希爾伯特在第二屆國際數學家大會上提出了20世紀數學家應當努力解決的23個數學問題，其中便包括黎曼假設。現今克雷數學研究所懸賞的世界七大數學難題中也包括黎曼假設。

雖然在知名度上，黎曼猜想不及費爾馬猜想和哥德巴赫猜想，但是它在數學上的重要性要遠遠超過後兩者，是當今數學界最重要的數學難題，當今數學文獻中已有超過一千條數學命題以黎曼猜想（或其推廣形式）的成立為前提。2018年9月，麥可·阿蒂亞聲明證明黎曼猜想，於9月24日海德堡獲獎者論壇上宣講。 9月24日，麥可·阿蒂亞貼出了他證明黎曼假設（猜想）的預印本，但是這一證明並不成立 。

黎曼猜想與費馬大定理已經成為廣義相對論和量子力學融合的m理論幾何拓撲載體。黎曼猜想屬於二階邏輯問題 。

5、楊－米爾斯(Yang-Mills)存在性和質量缺口

楊-米爾斯存在性和質量缺口：楊-米爾斯理論，是現代規範場理論的基礎，20世紀下半葉重要的物理突破，旨在使用非阿貝爾李群描述基本粒子的行為，是由物理學家楊振寧和米爾斯在1954年首先提出來的。這個當時沒有被物理學界看重的理論，通過後來許多學者於1960到1970年代引入的對稱性自發破缺與漸進自由的觀念，發展成今天的標準模型。

6、納維耶－斯託克斯(Navier-Stokes)方程的存在性與光滑性

起伏的波浪跟隨著我們的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的氣流跟隨著我們的現代噴氣式飛機的飛行。數學家和物理學家深信，無論是微風還是湍流，都可以通過理解納維葉－斯託克斯方程的解，來對它們進行解釋和預言。雖然這些方程是19世紀寫下的，我們對它們的理解仍然極少。挑戰在於對數學理論作出實質性的進展，使我們能解開隱藏在納維葉－斯託克斯方程中的奧秘。

7、貝赫(Birch)和斯維訥通－戴爾(Swinnerton-Dyer)猜想

貝赫和斯維訥通-戴爾猜想（Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture）稱為「千古難題」之七，指的是對有理數域上的任一橢圓曲線, 其L函數在1的化零階等於此曲線上有理點構成的Abel群的秩。

數學家總是被諸如x²＋Y²=Z²那樣的代數方程的所有整數解的刻畫問題著迷。歐幾裡德曾經對這一方程給出完全的解答，但是對於更為複雜的方程，這就變得極為困難。事實上，正如馬蒂雅謝維奇(Yu. V. Matiyasevich)指出，希爾伯特第十問題是不可解的，即不存在一般的方程來確定這樣的方法是否有一個整數解。當解是一個阿貝爾簇的點時，貝赫和斯維訥通－戴爾猜想認為，有理點的群的大小與一個有關的蔡塔函數z(s)在點s=1附近的性態。特別是，這個有趣的猜想認為，如果z(1)等於0,那麼存在無限多個有理點(解)，相反，如果z(1)不等於0,那麼只存在有限多個這樣的點。