熟悉我的粉絲知道，我是數學系出身，本科學應用數學，研究生是概率統計專業的，目前在雙鴨山大學（哈哈，中山大學）的統計系擔任專業碩士導師，每年參與研究生答辯。
所以自從開始討論教育，就有很多粉絲在後臺問我， 如何激發孩子學習數學的興趣？學而思的奧數班到底有沒有用？
日常生活中我也碰到過很多家長，自己對數學毫無興趣，卻格外關注數學學習。
有的出於應試考慮，希望「學而思」等課外機構學奧數，在升學考試中取得好成績，進而獲得一個好學位；
有的可能看得更遠，希望培養孩子的數學思維，人工智慧已經步步逼近，可能未來就是一個算法的世界，是數學家統治的世界，感覺不學好數學，未來的精英之門都要向TA關閉了。（其實也沒這麼誇張，還有藝術之門呢）
看來，談教育就很難繞得過學而思，也很難繞得過數學這個 「難題」、「話題」 。
到底什麼是數學思維？數學思維在我們的人生中到底有多重要？如何培養數學思維？ 今天我們就談談這個問題。
什麼是數學思維？
先跟大家說件最近聽說的事兒，大家也練練腦：
朋友的公司最近正在招人，由於公司效益好，簡歷特別多。 一開始他們只是設定了專業的要求，沒有設置學歷的要求。朋友就跟HR說，我們要提高招聘標準，不然面試的人數太多。 隨後HR就給出了一個新的招人條件—— 原先只看專業，現在的條件變成「先看專業，如果專業不合格就看學歷」，只要學歷高，也可以進面試。這就是這位HR理解的所謂「提高」了面試條件。 我這個朋友是學理科出身，當時就樂了。
我聽了之後，也是笑壞了。
這個HR說，先看專業，專業不行的再看學歷，這哪裡是提高招聘標準的意思？這明明是降低標準嘛。
用數學的語言來解釋—— 原先只看了專業，如果要提高標準，應該是取專業合格且學歷也合格的交集； 若是先看專業再看學歷，這就變成了專業和學歷的併集，只要專業和學歷有一個達標就可以進入下一級了。
相信很多朋友看了這一段還是雲裡霧裡的，其實這個故事就是一個典型的缺乏數學思維的HR鬧出來的笑話。
交集和併集 ，這是高中學的數學知識點，相信大部分人都學過，卻早已經還給老師了。
把具體問題抽象到數學思考裡，我還可以講一個著名數學家 亞伯拉罕·瓦爾德 （Abraham Wald）與失蹤彈孔 的故事。
1902年，亞伯拉罕·瓦爾德出生於當時的克勞森堡，隸屬奧匈帝國（後隸屬羅馬尼亞）。瓦爾德是一位天生的數學家，憑藉出眾的數學天賦，他被維也納大學錄取。後來去了紐約。 二戰期間，瓦爾德都在哥倫比亞大學的統計研究小組（SRG）中工作。統計研究小組是一個秘密計劃的產物，它的任務是組織美國的統計學家為「二戰」服務。 當時軍方需要解決飛機被擊落的概率問題，只要降低飛機被擊落的概率，就可以奪得空戰的優勢。 數據分析後，有人發現返航的飛機中，大部分的彈孔出現在機翼和機身，而發動機幾乎沒有彈孔，所以軍方就認為應該對機翼和機身披上裝甲。 瓦爾德卻給出了一個完全不同的答案。 他說，需要加裝裝甲的地方不應該是留有彈孔的部位，而應該是沒有彈孔的地方，也就是飛機的引擎。 瓦爾德的獨到見解可以概括為一個問題： 飛機各部位受到損壞的概率應該是均等的， 但是引擎罩上的彈孔卻比其餘部位少，那些失蹤的彈孔在哪兒呢？瓦爾德深信，這些彈孔應該都在那些未能返航的飛機上。勝利返航的飛機引擎上的彈孔比較少，其原因是引擎被擊中的飛機未能返航。大量飛機在機身被打得千瘡百孔的情況下仍能返回基地，這個事實充分說明機身可以經受住打擊（因此無須加裝裝甲）。 如果去醫院的病房看看，就會發現腿部受創的病人比胸部中彈的病人多，其原因不在於胸部中彈的人少，而是胸部中彈後難以存活。 當然，瓦爾德是對的。 為什麼瓦爾德能看到軍官們無法看到的問題？ 根本原因是瓦爾德在數學研究過程中養成的思維習慣。從事數學研究的人經常會詢問：「你的假設是什麼？這些假設合理嗎？」 在這個例子中，軍官們在不經意間做出了一個假設：返航飛機是所有飛機的隨機樣本。如果這個假設真的成立，我們僅依據倖存飛機上的彈孔分布情況就可以得出結論。但是，一旦認識到自己做出了這樣的假設，我們立刻就會知道這個假設根本不成立，因為我們沒有理由認為，無論飛機的哪個部位被擊中，倖存的可能性是一樣的。用數學語言來說，飛機倖存的概率與彈孔的位置具有相關性。 ——素材選自《魔鬼數學：大數據時代，數學思維的力量》
這就是典型的數學思維。 導致彈孔問題的是一種叫作「 倖存者偏差 」（survivorship bias ）的現象。 這種現象幾乎在所有的環境條件下都存在，包括金融界。
其實數學家得出的這個結論，如果用概率論的詳細分布公式去驗證，是極為複雜的。 這種先假設求證，再在現實中不斷反覆推演的思維方式，才是真正的數學思維。
數學帶來安全感？
個體心理學的大家阿德勒曾經這樣談論「數學」：
我們將一個孩子是否運用數學視為一個孩子是否心理健康的重要指標。因為數學是少數幾個給人安全感的學科之一。
數學上的思想操作，可以讓我們周圍混亂的世界，通過數學間的運算而穩定下來。但具有強烈不安全感的人，通常在數學方面都有欠缺。
——《兒童的人格教育》
聽起來，在心理學大師眼裡，數學也是極為重要的。當然，除了數學，他也提到了寫作、繪畫、體操和舞蹈等。
我的理解是，為什麼數學能帶來安全感？因為世界是無常的，而數學能夠通過形式邏輯把事情變得確定。
當然，就算數學這種方法是可信的、科學的，可是由於掌握的數據不足，我們依然不能完全把握自己的命運。每個人都是在這種安全與不安全之中游離。
如果只看到那些我們把握不了的東西，毫無疑問，心理就會不健康，沒有安全感。所以，我們需要去思考那些能把握的東西，而能把握的東西，其實本質上就是我們的思維方式、邏輯推理的方式。
數學教育渠道有哪些？
數學對於未來教育而言，非常重要。
現在的孩子，能夠接觸到的所有跟數學相關的教育渠道有哪些呢？
從家長們的討論看，自己數學不好，想提高孩子的數學思維感覺就是無門了，好像必須推給「學而思」了。
其實，在網際網路時代，什麼資源都不缺。這些年，關於數學思維的討論多了，數學學習資源也多了。
第一類，最常見的就是課內數學的補充，比如學而思這種課外輔導班、奧數班；
第二類，不以應試為目的的數學思維啟發課程，以低齡為主，一般針對5-10歲的孩子；
第三類，網絡課程資源，比如說像可汗學院這樣從數學起步的慕課課程，可以從數數一直教到微積分複變函數實變函數，經過很多人驗證，完全可以達到相應的數學層級的要求。
這麼多資源，如果要培養數學思維，真正可以用得上是哪些資源呢？
關於奧數班
奧數班、學而思到底好不好？
我從小學開始進入奧數班，一直到中學六年，後來又專業讀數學。雖然不才，沒有成為數學家，好歹也有些經驗。
坦白講，我認為 解答難題 是進入數學思維的開始。如果永遠談基礎要紮實，不斷把過去學過的簡單知識反覆應用，這是無助於數學思維的，這叫 理科學習文科化、數學學習政治化 。天天把加減法背到爛熟，也和數學思維沒有一毛錢關係。我們中國的老太太，在菜市場可以輕鬆玩轉加減法，她們可不一定有數學思維。
最近，國內有個教育機構邀請了美國奧數隊的教練，卡耐基梅隆大學的數學教授羅博深做了一個講座，他也談到這個問題：中國孩子做題很快，而數學真正的樂趣在於做難題，挑戰自己，而不是重複計算機可以做的事情。
我讀書時還沒有什麼課外輔導班，都是學校老師召集一些尖子生在搞奧數；現在聽說已經不同了，學校老師不敢z也不願意去承擔這項工作，奧數也不再是少數人的事情，全民學奧數，成了商業機構的盈利點。
學而思或者奧數班，能夠推動孩子們，從具體到抽象，去解決較難的、進階的問題，這是好的一面。
可是我們見到的奧數班普遍存在著一種傾向——同一類問題的熟練程度掌握（刷題）。雖然提高難度很有意義，可是難度提高之後，就在這個難度上反覆訓練直至熟練掌握套路，這就犯了與課內教育相同的錯誤，又偏離了向數學思維行進的方向。
關於數學思維啟蒙班
上周，我就帶著8歲多的兒子， 親身去體驗了一個數學思維啟發課程：教具十分新穎，教學思路也比課堂和輔導班有趣得多。
可是它的不足在於，它的高度並不是逐層向上累進，而是一種散點式的頭腦體操，比如說今天拼個圖，明天做個棋類的數字遊戲。對數學思維的培養，只能起到一半的作用。
關於網絡學習資源及其他
可汗學院的數學課應該大家都比較熟悉了，現在也已經有了中文版，不了解的可以到度娘查一查。
剛才說的羅博深教授也做了一個網站（https://www.expii.com/solve），據說是選出了350道有趣的題目讓大家免費挑戰。
現在也有很多翻譯著作非常好，如我已經推薦過的《數學很好玩》（具體名字記不清了），就是從身邊的數學談起，引申到6個數學難題，展示了數學之美與深奧。
《迷人的數學》這本書，是兒子的同學家長借給我的，也是很不錯的書，適合中學的孩子了解數學史。
這類關於數學思維的書籍，近些年來隨著這個概念的興起，而不斷傳入中國。有心人都可以找到。
我來總結一下，數學思維培育的大致路徑是這樣：
通過課內學習，已經初步具備解決基礎數學問題的能力 → 通過一些數學思維課進一步激發學數學的興趣 → 找到可汗學院這樣的系統學習平臺，通過不斷推進學習新知識來強化舊知識的掌握 → 有興趣的同學學奧數解決數學難題
有了這種抽象的思維能力之後，再去看待現實生活中發生的頭緒紛雜的事情，能夠根據已有的形式的符號代入，來解決實際的問題，這才是真正的數學思維的一種循環。
怎麼規劃數學學習？
雖然越來越多家長意識到數學思維的重要性，可是有多少家長會對如何進行數學學習這個問題做系統性的思考呢？根據我的觀察，很少很少。
很多家長本身從小就對數學充滿了恐懼，現在忽然意識到數學思維是影響孩子未來成長的重要因素，既茫然又焦慮，更容易無方向地亂撞亂試。
到底該如何制定一個有目標的整體的數學學習規劃？
數學能力的培養，離不開兒童認知的發展。所以，我們還是有必要先看一看皮亞傑的兒童認知發展四階段理論。到目前為止，這還是被廣泛認同的。
1
第一階段：感知運動階段（0-2歲）；
2
第二階段：前運算階段（2-7歲），兒童認知出現象徵或符號功能。這一階段又劃分為兩個階段：前概念或象徵思維階段（2～4歲）和直覺思維階段（4～7歲）。
3
第三階段：具體運算階段（7-12歲）：兒童這時進行的運算仍需具體事物的支持，對那些不存在的事物或從沒發生過的事情還不能進行思考。
4
第四階段：形式運算階段（12-15歲）：思維不必從具體事物和過程開始，可以利用語言文字，在頭腦中想像和思維，重建事物和過程來解決問題。
並不是所有兒童都在同一年齡完成相同的階段，但這些階段都是必經的。
在此，給大家幾點可以操作的建議：
01
直覺思維階段
在孩子早期的時候，例如四到六七歲，可以用形象的方式讓孩子對數學開始有感覺。比如說各種各樣的遊戲，包括益智類桌面遊戲；還有現在層出不窮的數學繪本。蒙特梭利教具，也是這一階段不錯的選擇。
在早期，孩子對抽象思維是沒有興趣的，應該用形象的遊戲化的方式激發孩子的興趣。
我十分認可這種引導孩子學習數學的入門做法。可是，作為一個專業學數學的人，我也得明確告訴大家—— 真正的數學思維恰恰在於抽象的能力，不要指望完全通過形象化的方式來建立數學思維。
根據皮亞傑的觀點（《智力心理學》），很多孩子的智力不差，但是數學能力卻不好，這是一個世界常見的現象。為什麼會出現這種情況呢？
什麼是智力？智力是我們解決問題本身的邏輯思考能力。可是數學卻是了解邏輯結構的專屬科學。
我們不了解邏輯結構但依然可以用邏輯用得很好，就好比很多人不了解樂理，但是唱歌唱得很好，但這樣的人不能說他音樂素養很高。同理，很多智力很高、數學能力很差的孩子也佐證了這一點。
從這個角度，益智遊戲是可以激發人的智力，但是如果不加引導，還是無法轉化為數學思維。
2
具體運算階段
這個階段大概在7-12歲，就是小學階段。這個階段，家長應該開始密切觀察，當孩子對這些益智遊戲有感和某些數學難題有興趣的時候，要開始進入數學思維的引導。
如果家長自己無法把遊戲轉化為數學語言，就要藉助專業機構的一些課程，比如學校的數學學習，或者可汗學院的初級課程。課外的某些數學思維課程，也是可以嘗試的。這些課程普遍會在形式上下功夫，比較有趣。
這類數學遊戲其實在某寶上特別多，大同小異，可以讓孩子玩玩，不要太迷信就是了，會玩遊戲和學數學還是兩碼事。
3
形式運算階段
到了初中階段（12-15歲），就是真正塑造數學思維的階段了。在這個時候，如果真要培養數學思維，就應該快速向前，推動孩子從形象表達、圖形表達中迅速上升到抽象表達，要鼓勵孩子邁過 抽象 這個難關，這可能才是真正培養數學思維的開始。
當觀察到孩子通過形象化的方式對數學建立起一定的認知，能夠解決一些簡單的數學問題後，要馬上進入下一步，進入抽象的能力。
什麼叫抽象的能力？前面說的失蹤彈孔的故事說的是一個抽象能力，把具體的現實生活中的問題，抽象成數學的語言，再通過數學中已有的結論來解決。
這個過程恰恰是形象思維的反過程，是真正體現數學思維的過程。
我認為數學思維有兩個不可缺少的因素：
第一個是用數學的方式把具體問題抽象出來的能力；
第二個是感受純數學之美的能力。
數學之美的傳遞，絕不是依靠機械傳統的數學教育，很多數學家都在數學教育方面做出了努力，父母自己也可以先去看看。
在《愛與數學》這本書中， 著名的數學家愛德華.弗倫克爾這段 話寫得非常好，就好像是我們中國的數學教育的寫照，看來全世界的數學教育都差不多——
如果學校在我們必修的「美術課」上只教給我們粉刷籬笆的方法，卻從來不各我們展示達文西與畢卡索的作品，那麼大家會有什麼樣的感覺呢？這樣做能提高藝術鑑賞力嗎？你還會有學習的欲望嗎？我想答案是否定的。。。但是，學校就是這樣教授數學的。因此，在大多數人眼中，學習數學毫無意義，就像在籬芭旁邊坐等油漆幹透。 想要看到美術大師們的畫作並不那麼困難，但是數學大師們的研究成果卻通常被束之高閣。
數學教育是如此僵化，我們也只能依靠自己了。
要敢於去理解抽象，敢於去挑戰，這是建立數學思維需要具備的能力。這是父母必須傳遞給孩子的，鼓勵他們，而不僅僅是把他們送到輔導機構，學會刷題。
當然，到了這個階段，自學能力是更為重要的，父母除了精神鼓勵、幫忙找找學習資源之外，已經很難進行具體的指導了。
關於進入形式運算階段的年齡， 按照皮亞傑的觀點，可能要到12歲以上，才會有這種抽象思維的能力。不過很多偉大的物理學家、數學家可能十四五歲時已經在學微積分了。
皮亞傑的時代已經過去幾十年，時代環境都在變化，其實是不能迷信的。但是目前很多早教和兒童發展的觀點還是延用了他的觀點。
我的態度是，每個孩子的情況不同，需要家長細心觀察。
前面提到的數學思維，其實並不屬於專業的數學家範疇。
數學家愛德華說，我們學幾個和弦可能就能彈奏吉他來點綴生活，但絕不是要求你成為一個音樂家或吉他演奏專家。
我們了解數學的基本概念，有一定的抽象能力，能夠感受數學之美，就能在生活中、學習其他學科時遊刃有餘了，並不是要求孩子們都成為數學家。
殘忍地說一句，如果你不想當甩手掌柜，數學思維的培養，某種程度上來說還是要依靠家長自身的視野和對資源的把控力（另外，你自己首先要克服當年對數學的恐懼吧，否則這種心態也是會傳染的）。
在這個日新月異的時代，一個數學的學習尚且如此，更不要說給孩子制定更加系統的成長和學習的規劃了。
本文編輯：小豬
（本文首發於2017.6.29）
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