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由英國人牛頓(Issac Newton, 1643-1727)與德國人萊布尼茨(Gottfried Leibniz, 1646-1716)分別獨立發明，微積分是人類文明史上最偉大的遺產。它誕生於十七世紀的下半葉，為四百年前近代科學的興起提供了數學的語言。
伽利略(Galileo Galilei, 1564-1642)曾說過：「自然界的大書是以數學符號寫出來的。」微積分在科學技術中有著廣泛的用途。因此，《微積分》早已是大學裡的一門基礎課，對所有的理工科大學生也是必修課。但是，微積分的教法在中國和美國有諸多不同。
在這篇文章中，我們討論如何學習微積分，希望能夠拋磚引玉，激發國內各大學的數學老師對微積分教學的理念與方法作進一步的探索，以便引導廣大的學生更有效地理解微積分的思想和理論。
撰文 | 熊斌 陳果良（華東師範大學數學科學學院）
丁玖（南密西西比大學數學與自然科學學校）
葉寧軍（伊曼紐爾學院數學系）
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中國的「等級文化」到處存在，一典型例子莫過於大學微積分課程的設置。
數學系的新生是所有理工科大學生中的「數學驕子」，一進校就學最最難的微積分，不過課程的名字改成《數學分析》。這個名字來自於蘇聯，因為中國高等教育從20世紀50年代起開始效仿蘇聯，包括課程的設計和教科書的名稱。
不是數學系，就要分三六九等對號入座了。比如說物理、天文、氣象這三個系，儘管招收的學生也「才氣十足」，但跟數學系的學生一比，在學習微積分這件事上則淪為「二等公民」。不過，他們在非數學專業當中的待遇還是高人一等，修的是甲類《高等數學》，難度較高。課程的名字有些誤導人，似乎教的是所有的高等數學。那怎麼可能呢？其實，從這門課中所學到的「高等數學」，只是高等數學的一部分，相當於從大水缸裡舀出的一杯水。
其它的幾個理科系，比如生物、化學、地質、地理等，就是「三等公民」了，所用的微積分教材為乙等《高等數學》，難度大概相當於上世紀中國發行量最大的微積分教材、樊映川（1900-1967）先生所著的《高等數學講義》。在20世紀80年代初，文革前考上南京大學化學系的溫元凱被請回母校大禮堂做演講，其中說到「化學系需要什麼數學時才學什麼數學」，刻畫了數學專業以外的同學對待高等數學的一般態度。
在我們讀大學的時代，哲學系可能是文科裡僅有的要修微積分的系，修的是丙類《高等數學》。在牛頓的時代，科學的別名叫自然哲學。牛頓的劃時代著作書名就是《自然哲學的數學原理》。由於這個歷史的緣故，歐洲幾百年來的博士學位大都稱為哲學博士(Doctor of Philosophy，簡寫為Ph.D.)。因此自然科學與哲學密切相關。
其他的文科學生恐怕就沒有哲學系那樣的運氣了。中文、歷史、外文等專業的學生大概進入大學就可以與數學說拜拜了，更不要說微積分了。當然，經濟系卻另當別論。到處出現數學公式的數理經濟或充斥統計術語的計量經濟，微積分是逃不掉的。不過我們尚不知道他們學的《高等數學》到底是第幾類，這可能與學校和系裡的要求有關。
至於工程學科，微積分當然是大一新生的必修課，其所用的微積分教材難度大致與乙類《高等數學》相當。大部分工程系的高等數學課不會比物理系的難度大。人們普遍認為工程學科的學生不需要那麼多的數學理論，時間應該多多用於鑽研工程領域的專門知識。這一做法也是源於蘇聯的模式：集中培養專業人才。
在美國，微積分的教學分成初級階段和高級階段。在初級階段，學生學初等微積分；在高級階段，則學高等微積分。其實，即使在中國，一門學科分成初級、高級兩步教的例子也很多。比如說，我們在中學就學物理和化學了，也就是初等物理和初等化學。到了大學，我們學的普通物理和普通化學，處理的基本對象與中學的大致一樣，只不過用的數學工具從代數、幾何、三角上升到微積分所代表的高等數學。
在美國大學生學習微積分的初級階段，不管是什麼專業，只要是理工科的必修課或是其它系的選修課，所用的教材英文名字都是一個單詞：Calculus，其中文翻譯應該用兩個單詞：初等微積分。即便是數學系的同學，也只能先修初等微積分，而不是修等價於中國數學系一年級新生必修的《數學分析》的《高等微積分》(英文書名一般是Advanced Calculus)。從初等微積分起步，是美國的微積分教學的基本特點。
當然，初等微積分也不是全美統一的教法。比如，普通大學商學院的初等微積分教材往往與眾不同，常常冠以《商業微積分》(Business Calculus)的書名。它的內容甚至可能比一般的初等微積分還要淺，書也薄得多，一般只講求函數導數、求定積分的基本方法。不過特點之一是側重於應用，提供了許多與商業實踐有關的章節和習題，讓學生接觸到具體實用的微積分應用範例。在美國，商學院是高中畢業生報考大學的熱門之選。但一般而言，學科齊全的巨無霸型公立大學的學生求學態度與知識水準，普遍低於規模較小、班級不大的私立大學或學院。對於這樣的商學院學生，通常會降低初等微積分的要求。即便是這樣，不及格的學生比例有時會高得嚇人。當然，像哈佛大學這種學校的商學院本科生，可能會到數學系去修研究生課。這就是美國的「因材施教」法。對大多數學生是「放羊式教育」，順其自然。對天才學生，提供最好的教育機會與課程設置，讓他們快速成長，很快冒尖。
其它特殊的初等微積分還包括用於生命科學的微積分 (Calculus for the Life Sciences) 和適合應用技術類學生的微積分 (Applied Technology Calculus)。這些教材帶有相關專業的應用特點，概括起來是數學理論少，應用實例多。
即便是初等微積分，不同的教授的教學水平和教育理念也會教出不同的學生。作者之一所任教的私立人文學院的數學教授非常重視學生是否真懂概念，諸如導數所揭示的「瞬間變化率」，而不是一味地教死方法。有學生在一位教授的班上拿了一個B後，很不服氣，因為此學生在高中時候修的「AP微積分課程」拿了A，而且一直是班上的數學「佼佼者」。而一個在教師甲班上不及格的學生，後來重修這門課後換了教師乙後居然能拿A，這也是在美國校園裡常見的現象。
那麼什麼是初等微積分？這是不學「極限理論」或「ε - δ語言」的微積分。或更簡單地說，它是牛頓和萊布尼茨所發明的微積分。它的內容等價於中國的《高等數學》，難度介乎於甲類和乙類之間，但比國內的教材包含了多得多的應用例子與習題。因為強調應用是美國數學教科書的一個特色。初等微積分包含了微積分的思想和計算方法，而不強調微積分的理論基礎，即基於實數的完備性而邏輯推導出的極限理論。
在美國，《初等微積分》的課程一般修三個學期到四個學期。研修四學期的教學大綱中典型的內容分配是：第一學期學微分部分，第二學期是定積分，第三學期覆蓋級數等，第四學期則講多元微積分。這是面向全校的公共數學課。任何專業的學生，無論是必修選修，不管是大一還是大四，都可註冊此課。沒有學過微積分的部分研究生，只要願意或系裡要求，也可以註冊修課。
正因為每個大學生都可去修初等微積分，一些興趣廣泛或者對自己的未來定位還沒來得及深思熟慮的文科學生也修了它。其中的一部分甚至愛上了它，並因此改變人生了的航道。一個最有說服力的例子是威騰(Edward Witten, 1951-)。他的本科主修專業是歷史學，輔修語言學。某天某日他註冊了初等微積分這門課。大概他從這門課發覺了數學的美，後來改念物理，最終拿到物理的博士學位。他在現代純粹數學上作出了巨大的貢獻，甚至獲得了數學界的最高獎——菲爾茲獎。
初等微積分學完以後，數學系的學生基本上已修了初等線性代數及初等微分方程。這時候，他們對微積分的概念比較清楚了，也對高等數學的其它學科有了一定的了解。《高等微積分》自然而然地放在了他們面前。對大多數高校，這是數學系大三或大四的必修課。但也有許多大學，數學系的研究生才開始修作為必修課的高等微積分。正是因為高年級大學生和研究生都有高等微積分的需求，很多學校的數學系乾脆將這門兩學期的課程標記為大學生課和研究生課。例如，在南密西西比大學，高等微積分兩學期的課程號碼是441/541和442/542，其中441與442表示是大學生的課程，而541及542說明是研究生的課。因此，經常可以看到大學生和研究生包括博士研究生同堂上課。
非數學系的大學生，高等微積分一般不是院系所要求的必修課。但是，選修總是可以的。而且，一部分有鴻鵠之志的理工科學生，從不局限於與自己專業有關的那些專門知識。其中有那麼幾個幸運兒，竟然通過高等微積分發掘出自己的天才和真正的愛好，跳槽到數學系。最好的一個例子當推控制論之父維納(Norbert Wiener, 1894-1964)的得意弟子列文森(Norman Levinson, 1912-1975)。這個數學天才開始在麻省理工學院的電子工程系讀本科。是維納發現了他，引導他修完了數學系所有的課程。之後，他被送到劍橋大學，並在一年內寫出兩篇數學論文，回到母校，馬上被授予數學博士學位。他後來成了麻省理工數學系發展壯大時期的靈魂人物，就「黎曼猜想」的問題做出了當時最好的工作。
密西根州立大學數學系的「大學傑出教授」李天巖在臺灣的普及雜誌《數學傳播》上發表過一篇文章《回首來時路》，回憶了他在臺灣新竹清華大學的本科時代。這是一篇聲討臺灣式「數學教學法」的檄文。
「沒想到一進入大學，差點就被初等微積分裡那些莫名其妙的ε – δ語言給逼瘋了。」 李天巖在文章的第一段就如此寫道。他說，那會兒室友都被ε – δ的抽象概念搞得睡不著覺，甚至還有同學因微積分太難而打草稿寫遺書。
當然，上述引文中的「初等微積分」比當今的初等微積分難多了，至少嵌入了ε – δ的內容。它與大陸的《數學分析》等價。在李天巖讀書的那個年代，臺灣的數學教授們「好像都覺得能用愈深的教科書，學生自然就會變得『高檔次』吧！」
教學確實如此。李天巖教授回憶道：「看那！我在念大二的三高時，高等微積分用的是Apostol的數學分析；高等幾何用的是Halmos的有限維向量空間；高等代數用的是N. Jacobson的抽象代數講義；微分方程用的是Coddington的常微分方程導讀。大三念近世代數時，用的是van der Waerden的現代代數；念複變函數論用的是Ahlfors的複分析。另外，大三還念了拓撲學、數論；大四念了泛函分析、李群、實變函數論（用的是Royden的實分析）、微分幾何（用的是Hicks的微分幾何講義）。」
結果是，「這些課不但都修過，而且成績都不錯（大四修的課都在90分以上）」。高深的課程表及全優的成績單把他後來的博士論文導師約克(James Yorke, 1941-)教授嚇了一大跳，「以為我是那路殺來的高手，功力無比深厚」。
然而，李天巖教授回想起來，「那個檔案裡所記錄的實在是有極大的誤導性」。他進一步解釋，「抽象數學的出發點多半起始於對實際問題所建立的數學模式，然後將解決問題的方式建立理論，再抽象化，希望能覆蓋更一般性的同類問題。因此在學習較高深的抽象數學理論之前，多多少少要對最原始的出發點和工具有些基本的認識。」他認為，若是一開始就搞些莫名其妙的抽象定義，推些莫名其妙的抽象定理，學生根本無法知道到底是在幹些什麼，但為了考試過關，只好跟著背定義，背定理，背邏輯。
李天巖教授的感覺應該得到很多數學系學生的共鳴。拿南京大學數學系七七級招進的計算數學班來說，那年南大數學系和天文系的錄取分並列全校各系之冠。應該說計算數學班七七級新生的智商和水準是相當高的了。但是，第一學期的《數學分析》就讓部分同學洩氣了。任憑他們晚上宿舍強制熄燈後潛入臭氣難聞的廁所裡偷光，或下樓到校園路燈的範圍內借光，或在被窩裡手執電筒藉助幽靈之光，測驗時逃脫不了不及格的悲慘命運。這是為什麼呢？
一步到位的《數學分析》教學法，強調的是關於微積分理論的邏輯推理，而非微積分思想的直覺原理。後者是牛頓和萊布尼茨眼中的微積分運算，而前者是他們死後兩百年間慢慢所形成的一套理論。在微積分的初創時期，實數的「完備性」還在虛無縹緲之中，甚至微積分所處理的最基本的對象函數概念還是一個迷。
欲速則不達。只有初等數學基礎的學生，一下子要越過牛頓和萊布尼茨兩百年，趕上柯西(Augustin-Louis Cauchy, 1789-1857)和魏爾斯特拉斯(Karl Weierstrass, 1815-1897)耗費多年精心打造的極限語言，還要費勁全力地搞懂戴德金(Julius Dedekind, 1831-1916)或康託爾(Georg Cantor, 1845-1918)成功的實數構造過程。這種訓練，對於當今高等學校的大眾教育，實質上是超前灌輸。它不符合科學發現的藝術和數學文化的要義。數學的發展始終遵循數學文化的一個要旨：數學定理的誕生，往往起始於直覺，而完成於邏輯。牛頓、萊布尼茨的微積分就是最好的例子。當微積分的思想愈來愈成熟後，邏輯推理的神奇就會盡顯風流，導致作為微積分大廈基礎的實數理論和極限理論應運而生。如果在充分理解微積分思想和基本方法之前，就被動地接受微積分的邏輯基礎，結果就會像揚州大學數學科學學院的董琪翔老師所觀察到的：「一年級學數學分析，大部分學不好，造成對今後學習信心不足。」
傑出數學家及數學教育家龔升(1930-2011)教授在其著作《微積分五講》之第一講「回顧中學數學」中，首先引用了希爾伯特(David Hilbert, 1862-1943) 在1900年國際數學家大會上所講的一段話：「數學中每一步真正的進展都與更有力的工具和更簡單的方法的發現密切聯繫著。這些工具和方法同時會有助於理解已有的理論並把陳舊的、複雜的東西拋到一邊。數學科學發展的這種特點是根深蒂固的。」他然後指出：「回顧一下我們從小開始學習數學的過程，就是在重複這個數學發展的過程。一些數學雖然後來被更有力的工具和更簡單的方法所產生的新的數學所替代了，但在人們一生所學數學的過程中，卻不能只學習『高級』的，而完全不學習『低級』的，完全省略掉學習『低級』的過程。這是因為隨著人們年齡的不斷增長，學習與他的年齡與智力發育相當的數學才是最佳選擇，學習數學是一個循序漸進的過程，沒有『低級』的數學打好基礎，很難理解與學習好『高級』的數學。」
正因為「學習『高檔次』的數學理論，絕對必須從對『低檔次』數學的理解出發」，今天的密西根州立大學數學系，「根本禁止在一、二年級初等微積分的課程裡灌輸學生這些 ε – δ 的抽象概念」。學生進入高年級甚至研究生階段，才會和高等微積分相知相識，從容不迫地進入了分析數學的新天地。
如果我們再仔細檢視微積分的教材，就會發現：微積分的思想概念處處出現在初等微積分中，而微積分的邏輯推理則處處出現在高等微積分中。對於初學者而言，先學會思想遠比推導定理來得重要。先學了基於直覺的初等微積分，基於邏輯的高等微積分就不太那麼令人生畏了。這對數學系學生的好處是：思想先行於邏輯，推理讓位於直覺，慢慢走向嚴格化。對其它系學生的好處是：第一步雪裡送炭，第二步錦上添花，領悟數學之美與深刻。
結 語
微積分是大學生最重要的一門數學課。由於數學發現的過程是直觀性導致抽象性，在教學的實踐中，微積分思想的傳播比邏輯推理更重要。遵循「理解高檔次數學前應該通曉低檔次數學」這一原則，在大學數學系及全校公共課的設置上，初等微積分理應成為高等微積分之序曲。
因此，我們有如下的建議。大學新生不分專業，先學初等微積分。如果學生在高中階段已經修了初等微積分並且成績優良，可以繼續修下去或直接進入高等微積分。數學系的學生在修完初等微積分後，應該接著修高等微積分。其它系的學生可以選修高等微積分。最後，初等微積分應成為全校所有專業的必修課或選修課。
1976年4月30日，身體虛弱的毛澤東給剛剛擔任國務院總理的華國鋒寫道：「慢慢來，不要著急」。這句話可以借用來結束本文——中國大學數學系的微積分課程的教學，也應該「慢慢來，不要著急」：先學初等微積分，再學高等微積分。
定稿於2018年12月3日
製版編輯 | 皮皮魚
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