七年級數學（下）知識點
第六章 實數
一、平方根
1、平方根
（1）平方根的定義：如果一個數x的平方等於a，那麼這個數x就叫做a的平方根．即：如果x2=a，那麼x叫做a的平方根．
（2）開平方的定義：求一個數的平方根的運算，叫做開平方．開平方運算的被開方數必須是非負數才有意義。
（3）平方與開平方互為逆運算：±3的平方等於9，9的平方根是±3
（4）一個正數有兩個平方根，即正數進行開平方運算有兩個結果；一個負數沒有平方根，即負數不能進行開平方運算；0的平方根是0.
（5）符號：正數a的正的平方根可用
表示，也是a的算術平方根；正數a的負的平方根可用-表示．
（6） <—>
a是x的平方 x的平方是a
x是a的平方根 a的平方根是x
2、算術平方根
（1）算術平方根的定義： 一般地，如果一個正數x的平方等於a，即，那麼這個正數x叫做a的算術平方根．a的算術平方根記為，讀作「根號a」，a叫做被開方數．
規定：0的算術平方根是0.
也就是，在等式 (x≥0)中，規定 x=。
（2）的結果有兩種情況：當a是完全平方數時，是一個有限數；當a不是一個完全平方數時，是一個無限不循環小數。
（3）當被開方數擴大時，它的算術平方根也擴大；
當被開方數縮小時與它的算術平方根也縮小。
（4）夾值法及估計一個（無理）數的大小
（5） (x≥0) <—>
a是x的平方 x的平方是a
x是a的算術平方根 a的算術平方根是x
（6）正數和零的算術平方根都只有一個，零的算術平方根是零。
（7）平方根和算術平方根兩者既有區別又有聯繫：
區別在於正數的平方根有兩個，而它的算術平方根只有一個；
聯繫在於正數的正平方根就是它的算術平方根，而正數的負平方根是它的算術平方根的相反數。
二、立方根
1、立方根的定義：如果一個數x的立方等於a，這個數叫做a的立方根（也叫做三次方根），即如果，那麼x叫做a的立方根。求一個數的立方根的運算，叫做開立方。
2、一個數a的立方根，記作，讀作：「三次根號a」，其中a叫被開方數，3叫根指數，不能省略，若省略表示平方。
3、一個正數有一個正的立方根；
0有一個立方根，是它本身；一個負數有一個負的立方根； 任何數都有唯一的立方根。
4、利用開立方和立方互為逆運算關係，求一個數的立方根，就可以利用這種互逆關係，檢驗其正確性，求負數的立方根，可以先求出這個負數的絕對值的立方根，再取其相反數，即。
5、 <—>
a是x的立方 x的立方是a
x是a的立方根 a的立方根是x
6、，這說明三次根號內的負號可以移到根號外面。
三、實數
實數的概念及分類
無理數：像前面的很多數的平方根和立方根都是無限不循環小數，無限不循環小數又叫無理數。
實數：有理數和無理數統稱實數。
1、實數的分類
2、無理數
在理解無理數時，要抓住「無限不循環」這一時之，歸納起來有四類：
（1）開方開不盡的數，如
（2）有特定意義的數，如圓周率π，或化簡後含有π的數，如+8等；
（3）有特定結構的數，如0.1010010001…等；
二、實數的倒數、相反數和絕對值
1、相反數
實數與它的相反數是一對數（只有符號不同的兩個數叫做互為相反數，零的相反數是零），從數軸上看，互為相反數的兩個數所對應的點關於原點對稱，如果a與b互為相反數，則有a+b=0，a=—b，反之亦成立。
數a的相反數是—a，這裡a表示任意一個實數。
2、絕對值
一個數的絕對值就是表示這個數的點與原點的距離，|a|≥0。零的絕對值是它本身，也可看成它的相反數，若|a|=a，則a≥0；若|a|=-a，則a≤0。
一個正實數的絕對值是它本身，一個負實數的絕對值是它的相反數，零的絕對值是0。
正數大於零，負數小於零，正數大於一切負數，兩個負數，絕對值大的反而小。
3、倒數
如果a與b互為倒數，則有ab=1，反之亦成立。倒數等於本身的數是1和-1。零沒有倒數。
4. 實數與數軸上點的關係：
每一個無理數都可以用數軸上的一個點表示出來，
數軸上的點有些表示有理數，有些表示無理數，
實數與數軸上的點就是一一對應的，即每一個實數都可以用數軸上的一個點來表示；反過來，數軸上的每一個點都是表示一個實數。
三、科學記數法和近似數
1、有效數字
一個近似數四捨五入到哪一位，就說它精確到哪一位，這時，從左邊第一個不是零的數字起到右邊精確的數位止的所有數字，都叫做這個數的有效數字。
2、科學記數法
把一個數寫做±a×10n的形式，其中1≤a＜10，n是整數，這種記數法叫做科學記數法。
四、實數大小的比較
1、數軸
規定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸（畫數軸時，要注意三要素缺一不可）。
解題時要真正掌握數形結合的思想，理解實數與數軸的點是一一對應的，並能靈活運用。
2、實數大小比較的幾種常用方法
（1）數軸比較：在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大。
（2）求差比較：設a、b是實數，
（3）求商比較法：設a、b是兩正實數，
（4）絕對值比較法：設a、b是兩負實數，。
（5）平方法：設a、b是兩負實數，則。
五、實數的運算
6、實數混合運算時，對於運算順序有什麼規定？
實數混合運算時，將運算分為三級，加減為一級運算，乘除為二能為運算，乘方為三級運算。同級運算時，從左到右依次進行；不是同級的混合運算，先算乘方，再算乘除，而後才算加減；運算中如有括號時，先做括號內的運算，按小括號、中括號、大括號的順序進行。
7、有理數除法運算法則就什麼？
兩有理數除法運算法則可用兩種方式來表述：第一，除以一個不等於零的數，等於乘以這個數的倒數；第二，兩數相除，同號得正，異號得負，並把絕對值相除。零除以任何一個不為零的數，商都是零。
8、什麼叫有理數的乘方？冪？底數？指數？
相同因數相乘積的運算叫乘方，乘方的結果叫冪，相同因數的個數叫指數，這個因數叫底數。記作: an
9、有理數乘方運算的法則是什麼？
負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數。正數的任何次冪都是正數。零的任何正整數冪都是零。
10、加括號和去括號時各項的符號的變化規律是什麼？
去（加）括號時如果括號外的因數是正數，去（加）括號後式子各項的符號與原括號內的式子相應各項的符號相同；括號外的因數是負數去（加）括號後式子各項的符號與原括號內式子相應各項的符號相反。