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我們今天來講一講帕斯卡三角形與費馬小定理之間的關係。它們之間聯繫的橋梁是素數。
（1）先說帕斯卡三角形與素數之間的一個關係（我之前十來篇的時候講過這個關係，在本文後面將給出連結）。
如下面的帕斯卡三角形所示。注意，右側天藍色數字代表帕斯卡三角形的行數，是從第0行開始的。我們的結論是：在第素數行中，除兩端的兩個「1」以外的其他一切數皆可以被這個素數行數整除。比如，7為素數，則在第7行中，除兩端的「1」以外的其他數是7,21,35,35,21,7，它們都能被7整除，確實如此。對第11行，則11,55,165,330,462,462,330,165,55,11都能被11整除。
（2）下面我們講一講費馬小定理。費馬小定理有兩種形式（其實是相通的）。我們考慮其中的一種。
（3）那麼，帕斯卡三角形與費馬小定理有什麼關係呢？
前面帕斯卡三角形與素數的關係導致下面的結論成立：
這個結論很容易理解，因為上式左邊進行二項式展開後，根據前面第(1)條所說，中間的項都可以被素數p整除，所以，這個同餘式便成立了。
（4）我們取a=1，b=0，則由上式得到
若取a=1，b=1，則得到
若取a=2，b=1，則得到
若取a=3，b=1，則得到
繼續做下去，我們便得到對於一切小於p的正整數n，都有
由於對於0上式也成立，所以對0,1,2, ..., (p-1)，上式都成立。我們又知道，對任意正整數，它們都與0,1,2, ..., (p-1)中的某一個同餘。所以，就可以得出對一切正整數，下式都成立：
於是我們就從帕斯卡三角形與素數的關係，推導出了費馬小定理。
（5）我們舉個例子驗證一下費馬小定理。取n=3，p=53(素數)。我們計算3的53次冪除以53所得的餘數是不是3。首先需要知道下面這些與二進位有關的等式：
於是，任意一個正整數都可以表示成2的不同次冪相加的形式。比如：
於是，3的53次冪可以寫成：
我們先計算下面這些冪取模53的結果：
所以，
即
相關閱讀：
《費馬小定理與素數》
《帕斯卡三角形與素數》