797乘369的積除以5的餘數是多少,這個可以口算 - 專注小學數學

2020-12-14 專注小學數學

小學的整數的除法，可分為整除，以及有餘數的除法。其實從二年級開始，大家就已經接觸了帶餘數除法。

帶餘除法可用字母表示成：A÷B=c……d

在這個等式中d<B，把公式進行變換一下A=B×C+d。

帶餘除法的作用還是挺多的，在做周期問題的時候我們就需要用到。著名典故《韓信點兵》就是利用餘數的性質，減同餘，然後分類逐級滿足，快速算出士兵人數。

圖片來自網絡

若a,b均為整數（a>b>0)除以c的餘數相同，那麼，(a-b)能被c整除。

例如，28、13除以5的餘數都是3。

那麼，(28-13)可以被5整除。

餘數具有可加、可減、可乘（推導出可乘方）性。根據這些性質，可幫助我們將大數變小，轉化求解減少運算量。

比如我們我們要判斷，797乘以369的積除以5的餘數，大家會怎麼算呢？直接算出兩數相乘的積？然後再除以5嗎？如果只是求餘數。這種方法，當然是可以，但是沒有必要，這兩個數相乘之後，積會非常大，然後再做除法，運算量太大。我們如果根據積的餘數等於餘數的積，將它轉化成求2乘4的積除以5的餘數，直接可以口算餘數是3。

一般情況下大家都喜歡整除，這種帶餘除法其實也可以轉換成整除或兩數相乘的形式。A-d=B×C，也就是說A-d的差不但是B的倍數同時也是C的倍數。一旦變成整除的形式我們可以將這個數進行分解質因數。

這是一種逆向思維，這種方法在解題過程中的作用還是挺大的。

我們一起看一道例題，如何將不同餘的轉換成同餘，再進行解答的。

一個大於1的數去除290，235，200時，得到的餘數分別為a，a+2，a+5，則這個自然數是多少？

分析：我們之前強調過除與除以是完全不同的意思。這裡首先要搞清楚，這個數是除數還是被除數？除這三個數說明這個數是除數。

如果三個餘數相同，題目相對來說會簡單一些，但是題目給我們的三個餘數是不相同的。我們有沒辦法把轉換成同餘？比如說把這三個餘數全部變成a？這個當然是可以實現的。

將235-2=232，200-5=195，這時三個除法算式的餘數都是a。

根據同餘定理，如果這三個數關於某個數同餘的話，那麼這幾個數的差一定是這個除數的倍數。

當這三個數進行相減，所得的最大公因數是這個數的倍數，換句話說，這個除數是最大公因數的約數。我們發現這個最大公約數是19，它是質數，只能拆分成19=1×19

解：設這個除數為A。可得下列等式。

290÷A=……a

235÷A=……a+2

200÷A=……a+5

將這三個被除數轉換成同餘，轉換成下列等式。

290÷A=……a

（235-2）÷A=……a

（200-5）÷A=……a

233-195=38，290-233=57

A是38與57的最大公因數的約數。

（38，57）=19，而19是個質數，所以A=19

答這個自然數是19。

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