建模回顧之多目標規劃

2021-02-21 XJTLU數學建模

五一小長假（考試周）來襲

小夥伴們在放鬆休息的同時不要忘了複習哦

除了數學社精心準備的資料外

由張若男老師帶來的建模講座

以及王若樸同學的建模小課總結

Objective function: 目標函數

Decision variable：決策變量

Constraints：約束條件

Feasible solution: 可行解

Optimal solution: 最優解

生活中做決策的時候，通常要多個目標一起考慮——多目標決策

權重的大小常常由該領域專家決定，但是在實際建模問題中，我們可以自己取

實際問題中，目標函數相互衝突是很常見的，例如購買汽車時，要求花費少且舒適度高或者要求性能好油耗低，這種問題並沒有絕對最優解（因為並沒有確定多個目標的權值），但是我們可以根據自己的需要選擇一個相對好的（達到我們想要的最佳平衡）

為了尋求這種「最佳平衡」，我們介紹帕累託最優（Pareto optimal）

首先介紹「主導(dominate)」的概念

我們說多目標優化問題中的可行解b主導可行解a，

當：b 在每一個目標上都不比a差

        b 在至少一個目標上比a好

·  一個帕累託最優解不可能被任何其他的解主導

·  如果沒有其他的偏好（權值），那麼所有的帕累託最優解都是一樣好的

二維空間中，我們可以作圖看出求帕累託最優的過程，x軸代表目標1，y軸代表目標2，那麼這個圖像我們叫做有效邊界（efficient frontier），或者說是權衡曲線(trade-off curve).

經過對比我們發現，可行解A和B主導C，而A和B一樣好，都是帕累託最優解

·  寫出雙目標優化模型

·  畫圖來表示目標函數值

·  確定帕累託最優解

其中第二步：作出權衡曲線圖像前，首先要將其中一個目標表示成關於另一個目標的函數，為了作圖，我們需要知道：

目標函數定義域

值域

奇偶性

極值點

單調性

拐點（f』』(x)=o）

凹凸性（concavity）

有了這些性質，我們就可以做出權衡曲線，通過比較可行解找到帕累託最優解。

王若樸同學的保姆式教學

                  媽媽再也不用擔心我的學習

數學規劃是運籌學的一個分支，在給定的約束條件下，如何按照某一衡量指標（目標函數）來尋求最優解決方案（即：求目標函數在一定約束條件下的極值問題）

所有規劃問題都要轉化為標準型才能用matlab進行求解

· 如果不存在不等式約束，則可用「[]」代替A和b，不存在等式約束同樣處理

· 無上下界時用「-inf」「+inf」代替上下界

· 可能無解或有無數解

· 如果目標函數是max，要在最後給fval加負號

(要求一個或多個決策變量必須是整數的數學規劃問題）

0-1規劃：也是intlinprog函數，在上下界做文章（建模比賽中應用較多）

兩道例題及他們的matlab寫法：

(一個規劃問題中有多個目標，比如企業生產時既要保證利潤最大又要保證汙染最小)

· 將多個目標函數統一成一個

· 要將多個目標函數統一成最大或最小化問題才可以加權

· 加權之前要消除目標函數的量綱

今天的回顧到這裡就結束啦

祝小夥伴們假期愉快

期中ALL PASS

還記得講座最後的兩道帕累託最優的練習題嗎？

題目就不放出來了，可以到釘釘群裡裡下載文件看

這裡是一份手寫答案（有些潦草大家見諒）

每周四晚

19：00-20：00

每周一晚

20：00-？

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