有源濾波器中的相位關係

在使用濾波器的應用中，通常人們對幅值響應的興趣要比對相位響應的興趣更濃厚。但是，在某些應用中，濾波器的相位響應也很重要。一個實例是濾波器用於過程控制環路中的情形。這裡，人們關心的是總的相移量，因為它影響到環路的穩定性。用來搭建濾波器的拓撲結構是否會造成在某些頻率點處符號出現相反，是非常重要的。

將有源濾波器視為兩個級聯的濾波器是一個有用的方法。如圖1所示，其中一個濾波器是理想的濾波器，用於體現傳遞函數；另一個是構成濾波器的放大器。在閉環的負反饋環路中所採用的放大器可以被視為一個具有一階響應的、簡單的低通濾波器。當頻率超過某一點後，增益將隨著頻率的增長而出現滾降現象。此外，如果放大器使用反相放大結構的話，則所有頻率點上還將出現附加的180°相移。



圖1. 以兩個級聯的傳遞函數的形式表示的濾波器

濾波器設計過程可分為兩步。首先選定濾波器的響應特性，接下來選出適當的電路結構來實現它。濾波器的響應是指衰減曲線的形狀，這常常可以歸為經典的響應特性中的一種，如Butterworth、Bessel或者某種Chebyshev型。雖然這些響應特性的選擇往往會影響幅值響應特性，但它們也會影響相位響應特性的形狀。在本文中，為了進行比較，忽略幅值響應，認為其幾乎不變。

濾波器的複雜性往往通過濾波器的「階數」來定義，該參數與儲能元件（電感和電容）的數量有關。濾波器傳遞函數分母的階數定義了隨著頻率的上升而呈現的衰減速率。漸近線型的濾波器滾降速率為－6ndB/倍頻程，或者－20ndB/十倍頻程，其中n是極點的數量。倍頻程是指頻率的二倍或者一半，十倍頻程是頻率的十倍增長或者縮減。因此，一個一階（或者單極點）濾波器的滾降速率為－6dB/倍頻程或者－20dB/十倍頻程。類似的，一個二階（或者2極點）濾波器的滾降速率為－12dB/倍頻程或者－40dB/十倍頻程。更高階次的濾波器往往是由級聯的一階和二階基本單元所構成的。自然，我們可以利用單個有源放大電路級來構建三階、甚至四階濾波器，但是對於元件值的敏感，以及元件之間的相互作用對頻率響應所造成影響的大幅度上升，會使這些選擇不那麼具有吸引力。

傳遞函數

首先，我們考察一下傳遞函數的相位響應。對於同樣階數的濾波器選項來說，它們的傳遞函數的相移特性都相同。

對於單極點、低通的情形，傳遞函數的相移為φ，由下式給出。

（¹）

式中：ω = 頻率（弧度/秒）

ω₀= 中心頻率（弧度/秒）

以弧度/秒為單位的頻率等於2π乘以以Hz為單位的頻率，這是因為每個360°周期對應著2π弧度。由於上面的表達式是一個無量綱的比值，故f和ω都可以採用。

中心頻率還可以被稱為截止頻率（即該單極點、低通濾波器的幅值響應特性下降3dB——約30％——的頻率點）。在相位關係方面，中心頻率是相移量達到其最終值－–90°（在這個例子中）的50％時的頻率點。圖2是一幅半對數圖，描述了公式1所表述的相位響應關係，其頻率範圍是中心頻率以下的兩個十倍頻程至中心頻率以上的兩個十倍頻程。中心頻率（＝1）處的相位移動為–45°。



圖2. 一個單極點、低通濾波器在中心頻率附近的相位響應（同相，左軸；反相響應，右軸） 圖中：Normalized Frequency——歸一化頻率，Phase Angle（in－phase）——相角（同相），Phase Angle（inverted）——相角（反相）

類似的，一個單極點的高通濾波器可以由下式給出：

(2)

圖3描繪了公式2所表示的、在中心頻率以下兩個十倍頻程至中心頻率以上兩個十倍頻程這一範圍內的響應特性。其歸一化的中心頻率（＝1）處的相移為+45°。

顯然，高通和低通特性類似，只是相互間存在90°的相位差（π/2 radians）



圖3. 一個單極點、低通濾波器在中心頻率 1 附近的相位響應（同相，左軸；反相響應，右軸） 圖中：Normalized Frequency——歸一化頻率，Phase Angle（in－phase）——相角（同相），Phase Angle（inverted）——相角（反相）

對於二階、低通的情形，傳遞函數的相移可以由下式近似表示為

(3)

式中α是濾波器的阻尼比。它將決定幅值響應曲線上的峰值以及相位曲線過渡段的陡峭程度。它是電路的Q值的倒數，這也決定了幅值滾降或相位偏移的陡峭程度。 Butterworth響應的α為1.414（Q＝0.707），可以產生最大平坦度響應特性。更低的α會使幅值響應特性曲線上出現尖峰。



圖4. 一個雙極點、低通濾波器的中心頻率 1 附近的相位響應（同相，左軸；反相響應，右軸） 圖中：Normalized Frequency——歸一化頻率，Phase Angle（in－phase）——相角（同相），Phase Angle（inverted）——相角（反相）

圖4描繪了該式所表示的（α＝1.414）、在中心頻率以下兩個十倍頻程至中心頻率以上兩個十倍頻程這一範圍內的響應特性。這裡，中心頻率（＝1）處出現的相位偏移為–90°。一個2極點、高通濾波器的相位特性響應可以由下式近似表示

⁽⁴⁾

圖5描繪了該式所表示的響應特性（同樣有α＝1.414），其範圍是中心頻率（＝1）以下兩個十倍頻程至中心頻率以上兩個十倍頻程，相應的相移為



圖5. 一個雙極點、高通濾波器的中心頻率 1 附近的相位響應（同相，左軸；反相響應，右軸） 圖中：Normalized Frequency——歸一化頻率，Phase Angle（in－phase）——相角（同相），Phase Angle（inverted）——相角（反相）

同樣的，顯然高通和低通相位響應是類似的，僅僅存在180°的相位偏移（π弧度）。在更 高階數的濾波器中，每個附加段的相位響應都累加到總的相移量之上。這一特性將在下面進一步予以討論。為了與通常的實踐保持一致，所示出的相移被限制為±180°的範圍之內。例如，–181° 事實上等價於 +179°，360°等價於0°，依此類推。

一階濾波器段
一階濾波器段可以以多種方式來構建。圖6示出最簡單的一種結構，即使用無源的R－C架構。該濾波器的中心頻率為1/(2πRC)。它之後往往接一個同相的緩衝放大器，以防止濾波器之後的電路對其產生負載效應，負載會改變濾波器的響應特性。此外，緩衝器還可以提供一定的驅動能力。相位響應如圖2所示，即在中心頻率點處產生45°的相移，正如傳遞函數所預測的那樣，這是因為沒有另外的元件改變相移特性。這種響應特性將被稱為同相、一階、低通響應特性。只要緩衝器的帶寬顯著高於濾波器，那麼緩衝器就不會帶來相移。



圖6. 無源低通濾波器

請記住，這些圖中的頻率值是歸一化的，即相對於中心頻率的比值。例如，若中心頻率是5kHz，則這些圖將展示50Hz到500kHz範圍內的相位響應特性。

圖 7示出另外一種結構。該電路增加了一個並聯電阻，對積分電容進行連續放電，從根本上來說它是一個有損耗的積分器。其中心頻率同樣是1/(2πRC)。因為該放大器是以反相模式工作的，故反相模式將在相移特性上引入附加的180°相位。圖2示出了輸入－輸出的相位差隨頻率的變化，其中包括了放大器引入的反相（右軸）。該響應特性將被稱為反相的、一階、低通響應。



圖7. 利用工作在反相模式的運放搭建的有源、單極點、低通濾波器

上面所示的電路可以衰減高頻分量而通過低頻分量，均屬於低通濾波器。可以通過高頻分量的電路則與之類似。圖8示出一個無源的一階、高通濾波器電路結構，其相位隨著歸一化頻率的變化特性則示於圖3中（同相響應）。



圖8. 無源高通濾波器

圖3（左軸）的曲線被稱為同相、一階、高通響應特性。該高通濾波器的有源電路示於圖9中。其相位隨頻率的變化示於圖3中（右軸）。這將被稱為反相、一階、高通響應。



圖9. 有源、單極點、高通濾波器

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