黎曼幾何學習筆記(六):曲率與子流形幾何初步(1)

2021-02-20 炸醬麵就疙瘩湯
4 曲率與子流形幾何初步4.1 幾種曲率

定義4.1.1: 對任意,, 不平行, 定義, . 其中稱為的截面曲率, 也記作.

注4.1.1: 此定義中暗含了給定後, 截面曲率無關於的選取, 這個事情需要小作驗證. 於是乎若記為的所有二維子空間, 將會是Grassman叢上的光滑函數.

注4.1.2: 可以完全決定曲率算子, 並依決定.

當的所有截面曲率具有公共上界時, 也記為, 上界、嚴格上界、嚴格下界的記號類似.

定義4.1.2: 對, 定義Ricci曲率張量為為. 對, 稱為處沿方向的Ricci曲率.

在的一組標準正交基下, , . 我們也約定Ricci曲率大於等於（或大於）某個數就是那一點處Ricci曲率張量的最小特徵值大於等於（或大於）某個數; Ricci曲率小於等於（或小於）某個數就是那一點處Ricci曲率張量的最大特徵值小於等於（或小於）某個數, 也記為這種形式.

定義4.1.3: 處的數量曲率為.

在的一組標準正交基下, 顯然有.

顯而易見, 依定義計算某個黎曼流形的曲率是非常困難的, 我們需要引入一些工具來簡化計算.

4.2 第二基本型與Gauss公式、Codazzi公式

定義4.2.1: 一個黎曼子流形是指一個等距嵌入, $n法空間為在中的正交補, 其中元素稱為法向量; 上的法叢.

對於, 記為其關於和的分解.

命題4.2.1: 令和分別為和上的Levi-Civita聯絡. 對任意, , , 有.

Proof. , 容易驗證保度量且無撓, 這說明它是上的Levi-Civita聯絡.

下面均默認是一個黎曼子流形且二者的Levi-Civita聯絡分別為, 並且其上定義了法叢.

定義4.2.2: 對稱雙線性映射, , 其中是在中的任意延拓, 此定義實際上不依賴於的選取, 其被稱為的第二基本型.對任意, 有時也被稱為第二基本型.

這裡可以驗證其對稱性: 將分別延拓為, 則.其雙線性性和張量性的驗證從略.

定義4.2.3: 定義為的自伴隨線性算子被稱作形狀算子.

事實上設延拓了, 延拓了, 由於, 可得.

注4.2.1: 形狀算子有時也被稱作「Weingarten映射」.

定義4.2.4: 或的特徵值稱為沿的主曲率, 所有特徵值之和稱為平均曲率, 記為.

當時, 的選擇在相差一個符號的意義下唯一, 此時可以省略或的下標.

下面我們介紹「Gauss公式」.

定理4.2.1: 令分別是的曲率張量, 分別是二者的截面曲率, 則對, , 有: (1); (2); (3).

Proof. 我們只證明(1), (2)(3)就都是簡單的計算了. 因為這些符號的定義都不依賴於延拓的選取, 故以下計算中的聯絡的分量都默認已經選好延拓, 延拓後的向量場仍用原本的字母表示.

.

這給了我們從大流形的幾何推出小流形上幾何的強有力手段, 但我們想從小流形去推斷大流形信息的話還需要關注法方向的. 對, 我們可以把分解為切方向和法方向, 切方向上文中已歸結到對形狀算子的研究, 而對於法方向, 我們也有類似的公式.

定義4.2.5: 在法叢上定義的聯絡如下: .

定義的合理性留作自證. 下面我們來介紹「Codazzi公式」.

定理4.2.2: . 其中, 另一項含義類似.

這個證明是平凡的, 將Gauss公式的證明稍作改動（換為）即可得到.

注4.2.2: 這裡其實是把的定義延拓到了張量叢上.

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