2017考研高數四大定理:積分中值定理的證明

　　考研數學高等數學部分的四大定理證明在考研數學中非常重要，為了方便大家複習，今天小編為大家整理分享四大定理之一的積分中值定理的證明，供大家參考。

　　積分中值定理

　　該定理條件是定積分的被積函數在積分區間(閉區間)上連續，結論可以形式地記成該定積分等於把被積函數拎到積分號外面，並把積分變量x換成中值。如何證明?可能有同學想到用微分中值定理，理由是微分相關定理的結論中含有中值。可以按照此思路往下分析，不過更易理解的思路是考慮連續相關定理(介值定理和零點存在定理)，理由更充分些：上述兩個連續相關定理的結論中不但含有中值而且不含導數，而待證的積分中值定理的結論也是含有中值但不含導數。

　　若我們選擇了用連續相關定理去證，那麼到底選擇哪個定理呢?這裡有個小的技巧——看中值是位於閉區間還是開區間。介值定理和零點存在定理的結論中的中值分別位於閉區間和開區間，而待證的積分中值定理的結論中的中值位於閉區間。那麼何去何從，已經不言自明了。

　　若順利選中了介值定理，那麼往下如何推理呢?我們可以對比一下介值定理和積分中值定理的結論：介值定理的結論的等式一邊為某點處的函數值，而等號另一邊為常數A。我們自然想到把積分中值定理的結論朝以上的形式變形。等式兩邊同時除以區間長度，就能達到我們的要求。當然，變形後等號一側含有積分的式子的長相還是挺有迷惑性的，要透過現象看本質，看清楚定積分的值是一個數，進而定積分除以區間長度後仍為一個數。這個數就相當於介值定理結論中的A。

　　接下來如何推理，這就考察各位對介值定理的熟悉程度了。該定理條件有二：1.函數在閉區間連續，2.實數A位於函數在閉區間上的最大值和最小值之間，結論是該實數能被取到(即A為閉區間上某點的函數值)。再看若積分中值定理的條件成立否能推出介值定理的條件成立。函數的連續性不難判斷，僅需說明定積分除以區間長度這個實數位於函數的最大值和最小值之間即可。而要考察一個定積分的值的範圍，不難想到比較定理(或估值定理)。

　　（實習小編：陳曉波）

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