高中物理處理共點力平衡問題的常見方法

物體所受各力的作用線（或其反向延長線）能交於一點，且物體處於靜止狀態或勻速直線運動狀態，則稱為共點力作用下物體的平衡。它是靜力學中最常見的問題，下面主要介紹處理共點力作用下物體平衡問題的一些思維方法。

1. 解三個共點力作用下物體平衡問題的方法

解三個共點力作用下物體平衡問題的常用方法有以下五種：

（1）力的合成、分解法：對於三力平衡問題，一般可根據「任意兩個力的合成與第三個力等大反向」的關係，即利用平衡條件的「等值、反向」原理解答。

例1. 如圖1所示，一小球在紙面內來回振動，當繩OA和OB拉力相等時，擺線與豎直方向的夾角

為：（ ）

圖1

A. 15°

B. 30°

C. 45°

D. 60°

解析：對O點進行受力分析，O點受到OA繩和OB繩的拉力FA和FB及小球通過繩子對O點的拉力F三個力的作用，在這三個力的作用下O點處於平衡狀態，由「等值、反向」原理得，FA和FB的合力F合與F是等值反向的，由平行四邊形定則，作出FA和FB的合力F合，如圖2所示，由圖可知

，故答案是A。

圖2

（2）矢量三角形法：物體受同一平面內三個互不平行的力作用平衡時，這三個力的矢量箭頭首尾相接，構成一個矢量三角形；反之，若三個力矢量箭頭首尾相接恰好構成三角形，則這三個力的合成必為零，因此可利用三角形法，求得未知力。

例2. 圖3中重物的質量為m，輕細線AO和BO的A、B端是固定的。平衡時AO是水平的，BO與水平面的夾角為

。AO的拉力

和BO的拉力

的大小是：（ ）

圖3

A.

B.

C.

D.

解析：因結點O受三力作用而平衡，且

與mg垂直，所以三力應組成一個封閉的直角三角形，如圖4所示，由直角三角形知識得：

，所以選項B、D正確。

圖4

（3）正弦定理法：三力平衡時，三個力可構成一封閉三角形，若由題設條件尋找到角度關係，則可用正弦定理列式求解。

例3. 如圖5（a）所示，質量為m的物體用一輕繩掛在水平輕杆BC的C端，B端用鉸鏈連接，C點由輕繩AC系住，已知AC、BC夾角為

，則輕繩AC上的張力和輕杆BC上的壓力大小分別為多少？

圖5

解析：選C點為研究對象，受力情況如圖5（b）所示，由平衡條件和正弦定理可得

即得

和

所以由牛頓第三定律知，輕繩AC上的張力大小為

，輕杆BC上的壓力大小為

。

（4）三力匯交原理：如果一個物體受到三個不平行外力的作用而平衡，這三個力的作用線必在同一平面上，而且必為共點力。

例4. 如圖6所示，兩光滑板AO、BO與水平面夾角都是60°，一輕質細杆水平放在其間，用豎直向下的力F作用在輕杆中間，杆對兩板的壓力大小為____________。

圖6

解析：選輕杆為研究對象，其受三個力而平衡，因此這三力必為共點力（匯交於O」），作出受力分析如圖7所示。

圖7

由圖可知，FTA與FTB對稱分布，所以

，且這兩力的夾角為120°，其合力F」應與F相等，以FTA，FTB為鄰邊構成的平行四邊形為菱形，其性質為對角線垂直且平分，根據三角形知識，有

又因為

所以

2. 解多個共點力作用下物體平衡問題的方法

多個共點力作用下物體的平衡問題，常採用正交分解法。可將各力分別分解到x軸上和y軸上，運用兩坐標軸上的合力等於零的條件，即

、

求解。值得注意的是，對x、y方向選擇時，要儘可能使落在x、y軸上的力多，且被分解的力儘可能是已知力，不宜分解待求力。

例5. 在機械設計中亦常用到下面的力學原理，如圖8所示，只要使連杆AB與滑塊m所在平面間的夾角

大於某個值，那麼，無論連杆AB對滑塊施加多大的作用力，都不可能使之滑動，且連杆AB對滑塊施加的作用力越大，滑塊就越穩定，工程力學上稱之為「自鎖」現象。為使滑塊能「自鎖」，

應滿足什麼條件？（設滑塊與所在平面間的動摩擦因數為

）

圖8

解析：滑塊m的受力分析如圖9所示，將力F分別在水平和豎直兩個方向分解，則：

圖9

在豎直方向上

在水平方向上

由以上兩式得

因為力F可以很大，所以上式可以寫成

故

應滿足的條件為

3. 研究對象的靈活選擇–整體法與隔離法

用整體法還是用隔離法，其實質就是如何合理選取研究對象，使受力分析和解題過程簡化。對一個較為複雜的問題，兩者應靈活選用、有機結合，才能到達迅速求解的目的。

例6. 在粗糙水平面上有一個三角形的木塊，在它的兩個粗糙斜面上分別放有兩個質量m1和m2的小木塊，

，如圖10所示，已知三角形木塊和兩個小木塊都是靜止的，則粗糙水平面對三角形木塊（ ）

圖10

A. 有摩擦力的作用，摩擦力的方向水平向右；

B. 有摩擦力的作用，摩擦力的方向水平向左；

C. 有摩擦力的作用，但摩擦力的方向不能確定，因m1、m2和

、

的數值並未給出；

D. 以上結論都不對。

解析：因為三角形木塊和兩個小木塊都靜止，所以可將三者看成一個整體如圖11所示，其在豎直方向受重力和水平面的支持力，合力為零。在水平方向沒有受其他力的作用，所以整體在水平方向上沒有相對水平面的運動趨勢，因此粗糙水平面對三角形木塊沒有靜摩擦力。

圖11

例7. 如圖12所示，兩塊相同的豎直木板之間有質量均為m的四塊相同的磚，用兩個大小為F的水平壓力壓木板，使磚塊靜止不動。設所有接觸面均粗糙，則第3塊磚對第2塊磚的摩擦力為（ ）

圖12

A. 0

B.

C. mg

D. 2mg

解析：將4塊磚為整體進行受力分析如圖13所示，可知兩側木板對磚的靜摩擦力均為豎直向上，且大小為2mg；再把第1、2兩塊磚為整體進行受力分析如圖14所示，由圖可知木板對磚的靜摩擦力與磚的重力2mg是一對平衡力，這表明第3塊與第2塊磚之間沒有靜摩擦力。所以選項A正確。

4. 求共點力作用下物體平衡的極值問題的方法

共點力作用下物體平衡的極值問題是指研究平衡問題中某個力變化時出現的最大值或最小值，處理這類問題常用解析法和圖解法。

例8. 如圖15所示，物體的質量為2kg，兩根輕細繩AB和AC的一端連接於豎直牆上，另一端繫於物體上，且AC繩水平時，兩繩所成角為

。在物體上另施加一個方向與水平線成

的拉力F，若要使繩都能伸直，求拉力F的大小範圍。

圖15

解析：作出A受力示意圖，並建立直角坐標如圖16所示，由平衡條件有：

圖16

由以上兩式得

①

及

②

要使兩繩都能繃直，需有

③

④

由①③兩式得F有最大值

由②④兩式得F有最小值

綜合得F的取值範圍為

例9. 重量為G的木塊與水平地面間的動摩擦因數為

，一人慾用最小的作用力F使木塊做勻速運動，則此最小作用力的大小和方向應如何？

解析：由於

，所以不論FN如何改變，

與FN的合力F1的方向都不會發生變化，如圖17（甲）所示，合力F1與豎直方向的夾角一定為

。

由木塊做勻速運動可知F、F1和G三力平衡，且構成一個封閉三角形，當改變F的方向時，F和F1的大小都會發生改變，由圖17（乙）知，當F和F1的方向垂直時F最小。故由圖中幾何關係得

。

圖17

5. 共點力平衡問題中的「變」與「不變」

物體在共點力作用下處於平衡狀態時，即使在一些量變的過程中某些本質並不變。因此尋找變化中保持不變的部分，乃是解決平衡問題的一種重要方法。

例10. 三個相同的支座上分別擱著三個質量和直徑都相等的光滑圓球a、b、c，支點P、Q在同一水平面上，a球的重心

位於球心，b球和c球的重心

、

分別位於球心的正上方和球心的正下方，如圖18所示，三球均處於平衡狀態，支點P對a球的彈力為

，對b球和c球的彈力分別為

、

，則（ ）

圖18

A.

B.

C.

D.

解析：本題的幹擾因素是三個球的重心在豎直方向的位置發生了變化（a在球心、b在球心之上、c在球心之下）。但是三個球的質量和直徑都相等，重力方向均豎直向下，而且支點的支持力方向也完全相同，所以它們受力情況完全相同，支持力大小也必然相同，所以選項A正確。

評析：在變化中求不變的思想是最普遍的物理思想，本題中圓球重心的高度雖然發生了變化，但問題的本質–圓球的受力情況並不變化，所以支點P對三球的彈力應相同。

點擊下方「了解更多」即可在線了解1對1量身定製教學！（幼升小、小升初、初升高、暑假班）