如何理解金屬材料的導熱係數?

2021-02-24 熱設計之家

大家好，本期內容以銅為對象討論金屬材料的導熱係數。從事熱設計工作，材料的熱物性參數（thermophysicalproperties data）極其重要。但是很多工程師僅僅把這些參數作為分析的輸入，進而導致缺乏對材料屬性自身的鑑別，甚至影響對計算結果的合理判斷。

金屬材料含合金材料的導熱係數可根據影響拆分成兩個分量：一是電子分量（electronic term），λe ；二是晶格分量（lattice term），λg。於是

當然從導熱機理上講，不只有這兩種影響因素。但是對於金屬而言，大多數材料的導熱係數主要受λe和λg的影響。導熱係數電子分量λe表徵載能電子對導熱的影響，而晶格分量λg表徵晶格振動對導熱的影響，即質子的影響。

在純金屬中，一方面導熱係數的晶格分量（latticeterm）λg所佔比重通常小於20%，大部分甚至小於5%；另一方面，理論上更容易計算出低溫金屬材料的電子分量λe，於是金屬材料的導熱係數是基於電子分量λe來計算的，並通過修正項來考慮晶格分量的影響，以及考慮高溫下的實測導熱係數數據。

在低溫環境下，導熱係數電子分量λe主要受制於兩種機制：1）電子與質子間的相互作用，2）電子與晶格缺陷的相互作用。電子與質子相互作用產生的熱阻Ri大約與溫度的平方（T2）成正比，比例係數α為常量與金屬材料的類型相關，也就是說該比例係數是金屬材料的固有屬性。電子與晶格缺陷的相互作用產生的熱阻Ro與溫度成反比，其比例係數β也是常量，並取決於晶格缺陷比率。

因此，低溫金屬材料導熱係數的電子分量可表示為

其中，n=2。

為了更準確地描述金屬導熱係數，需要基於實驗數據對該表達式進行修正。修正的方法是令n為大於2的某個精確小數，以及通過調節α來考慮晶格缺陷的微弱影響。但是這種修正結果僅僅在最大導熱係數對應溫度的1.5倍溫度範圍內成立。對於銅、鋁、鋼、鎢鋼等材料，前述修正方法適應溫度的極限為40K。如果溫度超過40K，實際材料的導熱係數隨溫度下降的幅度小於預測公式計算結果。固體物理理論預測金屬材料高溫度下的導熱係數接近某個常數，考慮金屬材料的這些實際結果，Cezairliyan 和 Touloukian對前述表達式進一步修正。修正的方法是向表達式中引入電子——質子因素Ri與電子——晶格缺陷因素Ro間的耦合關係，結果如下：

其中，

其中Pi(i=1,2,3,4,5,6,7)是對實驗數據進行最小二乘法擬合獲得的係數。數學上Rc是Ri微分近似後高階餘項，並且也是隨溫度而變化的，並需要根據金屬材料的類型確定。

最終修正的公式源自於退火體積材料樣品的實驗結果，這是因為薄片材料存在較大的機加工表面，進而晶格缺陷比率高於體積材料，同樣退火工藝會使金屬晶格更為均勻，也是考慮降低晶格缺陷比率。也就是說，最終的修正公式致力於表徵材料本身內在的導熱係數，即金屬材料的化學雜質及晶格缺陷都是非常小的情況。

最後，我們需要意識到金屬材料總對導熱係數影響不僅限於此，還有物理缺陷、尺寸效應（特別是微納尺度或納米尺度）、電磁效應等因素。

下面給大家發福利！！！

對於純銅材的導熱係數，基於式（3）我們有如下係數

這裡需要給出一個參數RRR（residual resistivity ratio），剩餘電阻率比率，它用於表徵材料純度（一致性）。根據馬西森定律，金屬材料的電導率包括兩部分：剩餘電阻率ρo（因金屬材料缺陷引起的）和內在電阻率ρi（單純有質子和電子相互作用引起的），即

在超低溫環境（液氦溫度，約4K以內）金屬材料的內在電阻率接近於0，於是可用此時的電阻率估算剩餘電阻率ρo以表徵材料純度。馬西森定律同樣也給人以巨大的誘惑，低溫下金屬材料電阻率極小的現象被稱作超導。全世界大量科研人員極盡所能地研究常溫下降低內在電阻率ρi的方法，目前來看還需要相當長的時間。

為了便於工程分析，剩餘電阻率比率（residualresistivity ratio）定義如下

即為常壓冰點下內在電阻率ρi237除以剩餘電阻率ρo加上1。顯然純度越高的材料RRR越大。對應的工程測量方法也比較簡單，即在超低溫環境下測量剩餘電阻率ρo，並在常壓冰點下測量總的電阻率，然後基於式（8）就可計算出剩餘電阻率比率。

基於修正關係式（3），不同剩餘電阻率比率下銅材導熱係數如下圖所示（注意對數坐標）。

從絕對0度到約20K以內，銅材的導熱係數幾乎線性增加的，並且RRR對曲線的影響為Y軸截距位置，即純度（一致性）高的材料低溫環境下導熱係數顯著變大，這與導導電性能一致。

從約30K到100K，銅材的導熱係數呈銳減趨勢，並且材料純度（一致性）的影響逐漸被抑制。

約100K以後，銅材的導熱係數幾乎材料純度（一致性）無關。

Reference

1. National Bureau of Standards U. S. Department of Commerce Boulder, Thermalconductivity of aluminum, copper, iron and tungsten for temperatures from 1K tothe melting point, 1984

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